同濟(jì)高數(shù)下冊答案

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)同濟(jì)高數(shù)下冊答案目錄第一章引言第二章二階微分方程的解法第三章二重積分第四章曲線與曲面積分第五章向量場與基本積分定理第六章微分方程的應(yīng)用與矩陣初值問題第一章引言本章為引言，沒有具體的題目和答案。第二章二階微分方程的解法2.14.求解二階齊次線性微分方程：y″答案：特征方程為：${\\lambda}^2-3{\\lambda}+2=0$，解得${\\lambda}_1=1，{\\lambda}_2=2$。所以齊次方程的通解為：y=c1ex2.27.求解二階非齊次線性微分方程：y″答案：特征方程為：${\\lambda}^2-5{\\lambda}+6=0$，解得${\\lambda}_1=2，{\\lambda}_2=3$。先求得齊次方程的通解y=c1e2x+c2e3第三章二重積分3.15.計(jì)算二重積分$I=\\iint_Dxy\\,dA$，其中D為由直線x=0，x=1，答案：將積分區(qū)域分割成無窮多個(gè)小矩形，每個(gè)小矩形面積dA為$dx\\,dy$。所以$I=\\int_0^1\\int_0^2xy\\,dy\\,dx=\\int_0^1\\frac{1}{2}x(2)^2\\,dx=\\int_0^2x\\,dx=\\frac{1}{2}x^2\\Big|_0^1=\\frac{1}{2}$3.26.計(jì)算二重積分$I=\\iint_D(y^2+x)\\,dA$，其中D為由曲線y=x2答案：將積分區(qū)域分割成無窮多個(gè)小矩形，每個(gè)小矩形面積dA為$dx\\,dy$。所以$I=\\int_0^1\\int_{x^2}^{2x}(y^2+x)\\,dy\\,dx=\\int_0^1\\left(\\frac{1}{3}y^3+\\frac{1}{2}xy\\right)\\Big|_{x^2}^{2x}\\,dx=\\int_0^1\\left(\\frac{8}{3}x^3+\\frac{3}{2}x^2-\\frac{1}{3}x^6\\right)\\,dx=\\frac{8}{12}+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}=\\frac{7}{6}$第四章曲線與曲面積分4.13.計(jì)算曲線積分$I=\\int_C(xy^2\\,dx+x^2y\\,dy)$，其中曲線C為從點(diǎn)(0,0答案：參數(shù)方程為x=t，y=4.25.計(jì)算曲線積分$I=\\int_C(x^2+y^2)\\,ds$，其中曲線C為從點(diǎn)(1,0答案：參數(shù)方程為x=t,y=1?第五章向量場與基本積分定理5.14.計(jì)算環(huán)量$I=\\oint_C(x^2+y^2)\\,ds$，其中曲線C為單位圓周x2答案：參數(shù)方程為$x=\\cost，y=\\sint$，$0\\leqt\\leq2\\pi$?？傻?\\frac{dx}{dt}=-\\sint，\\frac{dy}{dt}=\\cost$。積分化簡為$I=\\int_0^{2\\pi}[(\\cos^2t+\\sin^2t)(-\\sintdt+\\costdt)]+\\int_0^{2\\pi}[(\\cos^2t+\\sin^2t)(-\\costdt-\\sintdt)]=0$。5.26.計(jì)算曲面積分$I=\\iint_S(x+y+z)\\,dS$，其中曲面S為上半球x2答案：參數(shù)方程為$x=\\sin\\phi\\cos\\theta，y=\\sin\\phi\\sin\\theta，z=\\cos\\phi$，$0\\leq\\phi\\leq\\frac{\\pi}{2}$，$0\\leq\\theta\\leq2\\pi$。可得$\\frac{\\partial(x,y,z)}{\\partial(\\phi,\\theta)}=-\\sin\\phi$。積分化簡為$I=\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\int_0^{2\\pi}(\\sin\\phi\\cos\\theta+\\sin\\phi\\sin\\theta+\\cos\\phi)(-\\sin\\phi)\\,d\\theta\\,d\\phi=\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}(-\\cos\\phi\\sin^2\\phi-\\sin\\phi\\cos\\phi+1)\\,d\\phi=\\left[-\\frac{1}{3}\\cos^3\\phi-\\frac{1}{2}\\sin^2\\phi+\\phi\\right]_0^{\\frac{\\pi}{2}}=\\frac{\\pi}{2}$。第六章微分方程的應(yīng)用與矩陣初值問題6.14.求解初值問題$\\begin{cases}y''+4y=x\\\\y(0)=1,y'(0)=2\\end{cases}$。答案：特征方程為${\\lambda}^2+4=0$，解得${\\lambda}_1=-2i，{\\lambda}_2=2i$。所以齊次方程的通解為$y=c_1\\cos(2x)+c_2\\sin(2x)$，對(duì)非齊次方程，設(shè)其特解為y=A，代入方程解得$A=\\frac{1}{5}$。所以非齊次方程的通解為$y=c_1\\cos(2x)+c_2\\sin(2x)+\\frac{1}{5}$。代入初值條件y(0)=1，得$c_1+\\frac{1}{5}=1$，解得$c_1=\\frac{4}{5}$。代入初值條件y6.27.解方程組$\\begin{cases}x'=2x+y\\\\y'=x+2y\\end{cases}$。答案：該方程組可表示為矩陣形式$\\begin{pmatrix}x'\\\\y'\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}2&1\\\\1&2\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}x\\\\y\\end{pmatrix}$。求解矩陣$\\begin{pmatrix}2&1\\\\1&2\\end{pmatrix}$的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，得到特征方程$(\\lambda-3)(\\lambda-1)=0$，所以特征值為$\\lambda_1=3，\\lambda_2=1$。對(duì)應(yīng)于特征值$\\lambda_1=3$的特征向量為$\\begin{pmatrix}1\\\\1\\end{pmatrix}$，對(duì)應(yīng)于特征值$\\lambda_2=1$的特征向量為$\\begin{pmatrix}1\\\\-1\\end{pmatrix}$。由于特征值都為實(shí)數(shù)，所以基本矩陣為$X=\\begin{pmatrix}1&e^t\\\\1&-e^t\\end{pmatrix}$。將原方程組右邊的向量$\\begin{pmatrix}2x\\\\2y\\end{pmatrix}$表示為基本矩陣的形式，得到$\\begin{pmatrix}e^t&-e^t\\\\e^t&e^t\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}2x\\\\2y\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}2e^tx\\\\2e^ty\\end{pmatrix}$。所以方程組的解為$\\begin{pmatrix}x\\\\y\\end{pmatrix}=X\\begin{pmatrix}2e^tx\\\\2e^ty\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}e^t&-e^t\\\\e^t&e^t\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}2e^tx\\\\2e^ty\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}e^{2t}-e^{2t}x\\\\e^{2t}+e^{2t}x\\end{pmatrix}=\\