高斯小學(xué)奧數(shù)六年級上冊含答案第04講-對應(yīng)計數(shù)

第四講對應(yīng)計數(shù)有9個球排成一行：我們往其中插入兩塊（相同的）木板，就能夠把這9個球分成三堆，例如：可以看到，插入兩塊木板把9個球分成三堆的方法很多，那么到底有多少種插入木板的方法呢？每相鄰兩個小球之間有一個空隙，一共有8個空隙．插入的兩塊木板要把小球分成三堆，說明兩塊木板要放在兩個不同的空隙之中．8個空隙選兩個，共有種方法．如果要把三堆小球分別裝入顏色為紅、黃、藍(lán)的三個袋子里，又有多少種裝法呢？其實，所謂裝入紅、黃、藍(lán)三個袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是28．這樣我們就把“小球裝袋”問題轉(zhuǎn)化成“小球插板”問題來求解了，這種方法我們稱之為“插板法”．放入紅色袋子放入紅色袋子放入黃色袋子放入藍(lán)色袋子“插板法”是一種特殊的對應(yīng)技巧，能夠幫我們解決很多計數(shù)問題．

把20個蘋果分給3個小朋友，每個小朋友至少分1個，共有多少種分蘋果的方法？如果可以有小朋友沒有分到蘋果，共有多少種分法？

【分析】

「分析」題目的第一問與我們上面的小球插板問題非常相似，如何用“插板法”求解呢？第二問允許有的“小朋友沒有分到蘋果”，還能不能用“插板法”呢？

練習(xí)1、龜丞相把7個頂級烏龜殼分給4只小烏龜．如果每只小烏龜至少分一個，共有多少種分法？如果可以有的小烏龜沒有分到烏龜殼，共有多少種方法？

某班40名學(xué)生參加了一項關(guān)于“超市是否應(yīng)該提供免費塑料袋”的調(diào)查，每人均在“應(yīng)該提供”、“不應(yīng)該提供”和“無所謂”三個選項中做出了選擇．請問：三個選項的統(tǒng)計數(shù)字共有多少種不同的可能？「分析」題目只關(guān)心三個選項的統(tǒng)計數(shù)字，需要具體考慮每個學(xué)生所作的選擇嗎？

練習(xí)2、8名同學(xué)做同一道單選題，它有A、B、C、D四個選項，每個同學(xué)都選了其中一個選項．老師為了調(diào)查同學(xué)們的做題情況，把選擇各個選項的人數(shù)都做了統(tǒng)計，則有多少種可能的統(tǒng)計結(jié)果？

最早的計數(shù)方法——對應(yīng)法我們這一講學(xué)習(xí)對應(yīng)的計數(shù)方法，這種計數(shù)方法有很強(qiáng)的技巧性，很考驗思維能力．也許你覺得這種對應(yīng)法不是那么容易掌握，但它其實是非常有用，而且歷史悠久的．人類最早使用的計數(shù)方法不是枚舉，不是排列組合，也不是遞推，而是對應(yīng)！對應(yīng)法最早的應(yīng)用是結(jié)繩計數(shù)．最早期的時候，人類還沒有發(fā)明數(shù)字．因而用枚舉等其他方法來記錄數(shù)量的多少是不可能辦到的．這時，人們的計數(shù)方法是在繩子上打結(jié)或者在樹上刻痕．用繩子上的結(jié)的數(shù)目或者樹上劃痕的道數(shù)來記錄補(bǔ)獲了多少獵物，采集了多少花果．這個時期持續(xù)了很長時間，因為人類的歷史已經(jīng)有幾百萬年，而數(shù)字的發(fā)明距今還不到1萬年，在人類歷史上的大部分時間，使用的計數(shù)方法是對應(yīng)法——結(jié)繩計數(shù)．結(jié)繩記數(shù)這種方法，不但在遠(yuǎn)古時候使用，而且一直在某些民族中沿用下來．宋朝人在一本書中說：“韃靼無文字，每調(diào)發(fā)軍馬，即結(jié)草為約，使人傳達(dá)，急于星火．”這是用結(jié)草來調(diào)發(fā)軍馬，傳達(dá)要調(diào)的人數(shù)呢！其他如藏族、彝族等，雖都有文字，但在一般不識字的人中間都還長期使用這種方法．中央民族大學(xué)就收藏著一副高山族的結(jié)繩，由兩條繩組成：每條上有兩個結(jié)，再把兩條繩結(jié)在一起．有趣的是，結(jié)繩計數(shù)不止在我們中國古代用過，在國外也有很多結(jié)繩計數(shù)的記載．傳說古波斯王有一次打仗，命令手下兵馬守一座橋，要守60天．為了讓將士們不少守一天也不多守一天，波斯王用一根長長的皮條，把上面系了60個扣．他對守橋的官兵們說：“我走后你們一天解一個扣，什么時候解完了，你們就可以回家了．”對應(yīng)是最原始的計數(shù)方法，充分蘊含著人類的智慧．

在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如下圖所示的由4個單位小正方形組成的“L”型？

「分析」要把“L”型放入的方格棋盤的方格盤中，按照放的方向分，可以有8種情形，那么是不是需要對每一個方向的“L”型分別進(jìn)行計數(shù)呢？

練習(xí)3、在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如下圖所示的由3個單位小正方形組成的圖形？

（1）一只青蛙沿著一條直線跳躍4次后回到起點．如果它每一次跳躍的長度都是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？

（2）如果這只青蛙在一個方格邊長為1分米的方格紙上沿格線跳躍4次后回到起點，每次跳躍的長度仍是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？

「分析」（1）青蛙在直線上跳躍4次后要回到起點，如果一直往一個方向跳，顯然是不行的．那么青蛙應(yīng)該怎么跳呢？

（2）青蛙在方格表上跳躍4次后要回到起點，現(xiàn)在青蛙有哪些跳躍的方向，每個方向上各應(yīng)該跳躍多少次呢？

練習(xí)4、一只青蛙沿著一條直線跳躍6次后回到起點．如果它每一次跳躍的長度都是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？

對應(yīng)法是一種很巧的計數(shù)方法，但如何建立對應(yīng)關(guān)系，是其中的難點．之前幾道題，對應(yīng)關(guān)系的建立相對比較直接，而有些問題，則需要通過大量的分析，才能找出隱藏的對應(yīng)關(guān)系．

常昊與古力兩人進(jìn)行圍棋“棋圣”冠軍爭霸賽，誰先勝4局即獲得比賽的勝利．請問：比賽過程一共有多少種不同的方式？ 「分析」由對稱性，只需求出常昊獲勝的比賽過程有多少種．比賽最多進(jìn)行7場，其中常昊一定勝4場．如果我們按比賽先后順序給每場比賽編號，那么常昊勝的4場比賽編號，就決定了整個比賽流程．而常昊獲勝的比賽可以是哪4場呢？

海淀大街上一共有18盞路燈，區(qū)政府為了節(jié)約用電，打算熄滅其中的7盞．但為了行路安全，任意相鄰的兩盞燈不能同時被熄滅，請問：一共有多少種熄燈方案？「分析」你能用插板法求解這道題嗎？

最早的密碼戰(zhàn)最早的密碼戰(zhàn)公元前405年，雅典和斯巴達(dá)之間的伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭已進(jìn)入尾聲．斯巴達(dá)軍隊逐漸占據(jù)了優(yōu)勢地位，準(zhǔn)備對雅典發(fā)動最后一擊．這時，原來站在斯巴達(dá)一邊的波斯帝國突然改變態(tài)度，停止了對斯巴達(dá)的援助，意圖是使雅典和斯巴達(dá)在持續(xù)的戰(zhàn)爭中兩敗俱傷，以便從中漁利．在這種情況下，斯巴達(dá)急需摸清波斯帝國的具體行動計劃，以便采取新的戰(zhàn)略方針．正在這時，斯巴達(dá)軍隊捕獲了一名從波斯帝國回雅典送信的雅典信使．斯巴達(dá)士兵仔細(xì)搜查這名信使，可搜查了好大一陣，除了從他身上搜出一條布滿雜亂無章的希臘字母的普通腰帶外，別無他獲．情報究竟藏在什么地方呢？斯巴達(dá)軍隊統(tǒng)帥萊桑德把注意力集中到了那條腰帶上，情報一定就在那些雜亂的字母之中．他反復(fù)琢磨研究這些天書似的文字，把腰帶上的字母用各種方法重新排列組合，怎么也解不出來．最后，萊桑德失去了信心，他一邊擺弄著那條腰帶，一邊思考著弄到情報的其他途徑．當(dāng)他無意中把腰帶呈螺旋形纏繞在手中的劍鞘上時，奇跡出現(xiàn)了．原來腰帶上那些雜亂無章的字母，竟組成了一段文字．這便是雅典間諜送回的一份情報，它告訴雅典，波斯軍隊準(zhǔn)備在斯巴達(dá)軍隊發(fā)起最后攻擊時，突然對斯巴達(dá)軍隊進(jìn)行襲擊．斯巴達(dá)軍隊根據(jù)這份情報馬上改變了作戰(zhàn)計劃，先以迅雷不及掩耳之勢攻擊毫無防備的波斯軍隊，并一舉將它擊潰，解除了后顧之憂．隨后，斯巴達(dá)軍隊回師征伐雅典，終于取得了戰(zhàn)爭的最后勝利．公元前405年，雅典和斯巴達(dá)之間的伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭已進(jìn)入尾聲．斯巴達(dá)軍隊逐漸占據(jù)了優(yōu)勢地位，準(zhǔn)備對雅典發(fā)動最后一擊．這時，原來站在斯巴達(dá)一邊的波斯帝國突然改變態(tài)度，停止了對斯巴達(dá)的援助，意圖是使雅典和斯巴達(dá)在持續(xù)的戰(zhàn)爭中兩敗俱傷，以便從中漁利．在這種情況下，斯巴達(dá)急需摸清波斯帝國的具體行動計劃，以便采取新的戰(zhàn)略方針．正在這時，斯巴達(dá)軍隊捕獲了一名從波斯帝國回雅典送信的雅典信使．斯巴達(dá)士兵仔細(xì)搜查這名信使，可搜查了好大一陣，除了從他身上搜出一條布滿雜亂無章的希臘字母的普通腰帶外，別無他獲．情報究竟藏在什么地方呢？斯巴達(dá)軍隊統(tǒng)帥萊桑德把注意力集中到了那條腰帶上，情報一定就在那些雜亂的字母之中．他反復(fù)琢磨研究這些天書似的文字，把腰帶上的字母用各種方法重新排列組合，怎么也解不出來．最后，萊桑德失去了信心，他一邊擺弄著那條腰帶，一邊思考著弄到情報的其他途徑．當(dāng)他無意中把腰帶呈螺旋形纏繞在手中的劍鞘上時，奇跡出現(xiàn)了．原來腰帶上那些雜亂無章的字母，竟組成了一段文字．這便是雅典間諜送回的一份情報，它告訴雅典，波斯軍隊準(zhǔn)備在斯巴達(dá)軍隊發(fā)起最后攻擊時，突然對斯巴達(dá)軍隊進(jìn)行襲擊．斯巴達(dá)軍隊根據(jù)這份情報馬上改變了作戰(zhàn)計劃，先以迅雷不及掩耳之勢攻擊毫無防備的波斯軍隊，并一舉將它擊潰，解除了后顧之憂．隨后，斯巴達(dá)軍隊回師征伐雅典，終于取得了戰(zhàn)爭的最后勝利．聰明人制造了密碼，等待更聰明的人去毀滅它．課堂內(nèi)外

作業(yè)一部電視連續(xù)劇共8集，電視臺要在周一到周四這4天內(nèi)按順序播完，其中可以有若干天不播，共有多少種安排播出的方法？

現(xiàn)在有12道競賽題，卡莉婭要在今天、明天、后天這三天內(nèi)按順序做完，但每一天可以做很多道題也可以一道不做．共有多少種安排做題的方案？

阿呆在玩PSP格斗游戲，游戲采用的是五局三勝制（阿呆VS電腦），誰先勝三場誰就獲得勝利．如果最后阿呆獲勝，那么一共有多少種可能的比賽過程？（只考慮每場比賽的勝負(fù)）

在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如圖所示的由5個單位小正方形組成的“凹”字形？

（1）有8個雞蛋，每天至少吃1個，一共吃了5天，有多少種不同的吃法？

（2）有8個雞蛋，每天至少吃2個，一共吃了3天，有多少種不同的吃法？

（注：這8個雞蛋看作完全相同）

第四講對應(yīng)計數(shù)例題：答案：171；231

詳解：第一問用課文里所說的“插板法”即可解決．20個蘋果，共有19個空隙，分給3個小朋友需要塊隔板，將2塊隔板插入19個空隙中的某兩個中，就是從19個空隙中挑出兩個用來插板子，方法有；第二問同樣用插板法，仍然是20個蘋果和2塊隔板．但此時隔板不一定要放在19個空隙中，也可以放在所有蘋果的最左端或者最右端，而且它們也不一定插入兩個不同的空隙，插入同一個空隙也是可以的．因此，我們只要把20個蘋果和2塊隔板隨意排成一行即可．這個對象排成一行會占22個位置，從這22個位置中挑出2個來放隔板，剩余的20個位置自然就是放蘋果，因此共有種不同的方法．

答案：861

詳解：本題相當(dāng)于把40個蘋果放入3個盤子里，每個盤子都允許為空．因此共有40個蘋果和2塊隔板．方法數(shù)等于．

答案：336個

詳解：如右圖所示，每個的長方形內(nèi)都包含了4個不同的“L”型．因此只要求出圖中有幾個小長方形即可．利用幾何計數(shù)（五年級上冊第9講）的知識不難得知，的長方形（包括橫的和豎的）共有個，所以共有“L”型個．

答案：（1）6；（2）361234詳解：青蛙要能夠回到起點，必須向左跳兩次，向右跳兩次．例如（左，左，右，右），（左，右，右，左）等．不難看出，只要從4步中挑出21234詳解：現(xiàn)在青蛙需要朝四個方向跳，我們記四個方向為1、2、3、4（如圖所示）．如果想要跳回原地，必須保證四步之內(nèi)1和2一樣多，3和4一樣多．于是可以分為兩類情形：第一類，1、2、3、4各一個，共有種方法；第二類，只有1、2或者只有3、4，共有種方法．兩者相加共36種．

答案：70

詳解：由對稱性，只需求出常昊獲勝的比賽過程有多少種，再乘以2即可．比賽最多進(jìn)行7場，其中常昊一定勝4場，而且比賽一定是在常昊獲得第4場勝利時結(jié)束的，因此常昊獲勝的那4場比賽的編號就決定了整個比賽流程．

答案：

詳解：本題從題面上看，是要從18盞燈中選出7盞來熄滅．但實際解決的時候，需要換一個角度：如何把滅掉的7盞燈，插入另外11盞亮著的燈之間．如下圖所示，在11盞亮燈之間插入熄滅的燈時，每個空隙最多插1盞，否則滅燈就相鄰了，因此必須挑7個空隙，每個空隙插一盞，而可供插入的空隙有12個（兩端也可），因此答案為．

練習(xí)：答案：；

簡答：用插板法即可解決，具體過程略．答案：

簡答：相當(dāng)于把8個球放入4個籃子，每個籃子都可以為空．答案：100

簡答：每個田