2021考研數(shù)學(xué)一歷年真題及詳解

2021考研數(shù)學(xué)一歷年真題及詳解一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置上)C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0【答案】D【考點(diǎn)】【解析】故f(x)在x=0處連續(xù)。因?yàn)?.設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2,f(x,x2)=2x21nx,則df【答案】C【考點(diǎn)】【解析】記3f/δx=f1’,記af/ay=f2’,則題給兩式對(duì)x求導(dǎo)得f(x,x2)+2xf,(x,x2)=4xlnx+2x(2)將分別代入(1)(2)式有f(1,1)+f?(1,1)=1,f(1,1)+2f?(1,1)=2聯(lián)立可得f1'(1,1)=0,f2′(1,1)=1,df(1,1)=f1′(1,1)dx+f2′(1,1)dy=dy,3.設(shè)函數(shù)在x=0處的3次泰勒多項(xiàng)式為ax+bx2+cx3,則()。【答案】A【考點(diǎn)】麥克勞林公式；【解析】根據(jù)麥克勞林公式有與題給多項(xiàng)式相比較，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，則【答案】B【考點(diǎn)】【解析】由定積分的定義知，將(0,1)分成n份，取中間點(diǎn)的函數(shù)值，則故選B項(xiàng)。5.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)依次為()?！敬鸢浮緽【考點(diǎn)】【解析】f(xl,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2=2x22+2x1x2+所以,故特征多項(xiàng)式為令上式等于0,得特征值為-1,3,0,故該二次型的正慣性指數(shù)為1,負(fù)慣性指數(shù)為1,選B項(xiàng)。11β1-12β2,若β1,β2,β3兩兩正交，則11,12依次為()。【答案】A【考點(diǎn)】斯密特正交化；【解析】利用斯密特正交化方法知β1=a1,故,7.設(shè)A,B為n階實(shí)矩陣，下列不成立的是()?！敬鸢浮緾分塊矩陣的秩；【解析】B項(xiàng)，AB的列向量可由A的列線性表定能由A的列線性表示；D項(xiàng)，BA的行向量可由A的行線性表示故本題選C項(xiàng)。8.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且0<P(B)<1,下列命題中不成立的是()?！敬鸢浮緿【考點(diǎn)】【解析】由條件概率公式以及和事件的運(yùn)算公式得因?yàn)镻(A|AUB)>P(A|AUB),故有P(A)>P(B)-P(AB),故選D項(xiàng)。B.0不是θ的無偏估計(jì)，C.0是θ的無偏估計(jì)，D.θ不是0的無偏估計(jì)，【答案】C【考點(diǎn)】【解析】因?yàn)閄,Y是二維正態(tài)分布，所以X與Y也服從二維正態(tài)分布，則X—Y也服從二維正態(tài)分布，即又由方差公式得D(?)=D(X-F)=D(X)+D(F)則0是0的無偏估計(jì)。故選C項(xiàng)。是來自總體N(μ,4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題：H0:表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃{X≥11},其中,則μ=11.5時(shí)，該檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率為()。D.1一φ(2)【答案】B【考點(diǎn)】犯第二類錯(cuò)誤的概率；【解析】所求概率為P{X<11},X～N(11.5,4),故二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上)【答案】【考點(diǎn)】【解析】2.設(shè)參數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程【答案】【考點(diǎn)】【解析】=0代入得3.微分方程x2y+xy′-4y=0滿足條件y(1)=1,y′(1)=2,得解為y=。【答案】【考點(diǎn)】【解析】原方程化為,特征方程為λ2-4=0,特征根為λ1=2,λ2=-2,則通解為y=Cle2t+C2e-2t=C1x2+C2x-2,y'=2C1x-2C2x-3,將初始條件y(1)=1,y′(1)=2代入得C1=1,C2=0,故滿足初始條件的解為y=x2。4.設(shè)≥為空間區(qū)域表面的外側(cè)，則曲面積分【答案】【考點(diǎn)】【解析】由高斯公式得則5.設(shè)A=aij為3階矩陣，Aij為代數(shù)余子式，若A的每行元素之和均為2,且|A|=3,A11【答案】【考點(diǎn)】代數(shù)余子式的計(jì)算；【解析】由于A的每行元素之和均為2,所以AX=2X,其中X=(1,1,1)T,因此λ=2為A的特征值，屬于此特征值的特征向量為a=(1,1,1)T。Aa=2α→A*Aα=2A*α→|A|a=2A*a>A*a=(|A|/2)a,因此|A|/2=3/2是A*的一個(gè)特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量為a=(1,6.甲乙兩個(gè)盒子中各裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙根據(jù)協(xié)方差的定義式計(jì)算得根據(jù)協(xié)方差的定義式計(jì)算得Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)盒中，再?gòu)囊液兄腥稳∫磺颉Ａ頧,Y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)為?！敬鸢浮俊究键c(diǎn)】二維離散隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)；【解析】X,Y的聯(lián)合分布律為PX01PY01P計(jì)算得pXY=1/5。三、解答題(本題共6小題，共70分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)1.(本題滿分10分)求極限【答案】將上式代入得【考點(diǎn)】利用泰勒展開式求極限；2.(本題滿分12分)設(shè),求級(jí)數(shù)的收斂域及和函【答案】,因此收斂半徑R=1/p=1,收斂域?yàn)閇一1,1]。綜上級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0,1),將S(x)分成兩部分討論，【考點(diǎn)】3.(本題滿分12分)【答案】L(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x2+2y2-z-【考點(diǎn)】4.(本題滿分12分)設(shè)DCR2是有界連通閉區(qū)域，取得最大值的積分區(qū)域(2)計(jì)算【答案】(1)由二重積分的幾何意義知，當(dāng)且僅當(dāng)4—x2-y2在D上大于0時(shí)，I(D)達(dá)到最大，故D1:x2+y2≤4,則【考點(diǎn)】5.(本題滿分12分)(1)求正交矩陣P,使得PTAP為對(duì)角矩陣；(2)求正交矩陣C,使得C2=(a+3