上海市普陀區(qū)市級(jí)名校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

上海市普陀區(qū)市級(jí)名校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．如果，，那么（）A. B.C. D.2．在中，為邊的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.3．已知集合，，則（）A. B.C. D.4．已知全集，集合，，則（）A. B.C D.5．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則（）A.2 B.4C.2或-2 D.4或-46．在下列命題中，不是公理的是A.平行于同一條直線的兩條直線互相平行B.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)C.空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線7．直線l過點(diǎn)A(3,4)，且與點(diǎn)B(－3,2)的距離最遠(yuǎn)，則直線l的方程為()A.3x－y－5＝0 B.3x－y＋5＝0C.3x＋y＋13＝0 D.3x＋y－13＝08．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是A.函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.函數(shù)偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.函數(shù)是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)9．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B.C. D.10．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，若方程有唯一的實(shí)數(shù)解，則（）A.2 B.4C.8 D.1611．（）A. B.C. D.112．的值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．某高中校為了減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高育人質(zhì)量，在全校所有的1000名高中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，了解他們完成作業(yè)所需要的時(shí)間（單位：h），將數(shù)據(jù)按照0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3，3,3.5，分成6組，并將所得的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由圖中數(shù)據(jù)可知a=___________；估計(jì)全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時(shí)間不少于3h的人數(shù)為14．已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.15．若，則________16．已知集合，若，則________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．如圖，正方形ABCD所在平面與半圓孤所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）若正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，求四棱錐M﹣ABCD體積的最大值18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，四邊形中，，，，，、分別在、上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面（）若，是否存在折疊后的線段上存在一點(diǎn)，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由（）求三棱錐的體積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的定義域；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．設(shè)兩個(gè)向量，，滿足，.（1）若，求、的夾角；（2）若、夾角為，向量與夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）（1）求||，||的值；（2）若=m+n，求實(shí)數(shù)m，n的值；（3）若（+）∥（－+k），求實(shí)數(shù)k的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，從而得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，得，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.2、B【解析】由平面向量的三角形法則和數(shù)乘向量可得解【詳解】由題意，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】化簡(jiǎn)集合A，由交集定義直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)可得，又所以.故選：B.4、C【解析】根據(jù)集合補(bǔ)集和交集運(yùn)算方法計(jì)算即可.【詳解】表示整數(shù)集Z里面去掉這四個(gè)整數(shù)后構(gòu)成的集合，∴.故選：C.5、B【解析】設(shè)冪函數(shù)代入已知點(diǎn)可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)冪函數(shù)又函數(shù)過點(diǎn)(4，2)，，故選：B.6、C【解析】A,B,D分別為公理4,公理1,公理2,C為角平行性質(zhì),選C7、D【解析】由題意確定直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】由題意直線l與AB垂直，所以，選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率與直線方程，考查基本求解能力.8、A【解析】求出的定義域，判斷的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而可得解.【詳解】的定義域?yàn)镽，且；∴是奇函數(shù)；又和都是R上的增函數(shù)；是R上的增函數(shù)故選A【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性的判斷，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】選項(xiàng)是非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)是奇函數(shù)但在定義域的每個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，不能說是定義域上的減函數(shù)，故符合題意.10、B【解析】由條件可得，為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，設(shè)，則得到偶函數(shù)，由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，則，從而得到答案.【詳解】由得，即，從而，所以為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為6，所以.設(shè)，將的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，即，即，解得，所以故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，得到為周期函數(shù)，設(shè)的圖象，且為偶函數(shù).由有唯一的實(shí)數(shù)解，得有唯一的零點(diǎn)，從而偶函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，屬于中檔題.11、B【解析】先利用誘導(dǎo)公式把化成，就把原式化成了兩角和余弦公式，解之即可.【詳解】由可知，故選：B12、B【解析】由誘導(dǎo)公式可得，故選B.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①.0.1②.50【解析】利用頻率之和為1可求a，由圖求出完成作業(yè)時(shí)間不少于3h的頻率，由頻數(shù)=總數(shù)×【詳解】由0.5×2a+0.3+0.4+0.5+0.6=1可求a=0.1；由圖可知，全校高中學(xué)生中完成作業(yè)時(shí)間不少于3h的頻率為0.5×0.1=0.05故答案為：0.1；5014、【解析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，符合題意所以【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.15、##0.5【解析】利用誘導(dǎo)公式即得.【詳解】∵，∴.故答案為：.16、0【解析】若兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中的元素完全相同.,又,故答案為0.點(diǎn)睛：利用元素的性質(zhì)求參數(shù)的方法（1）確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)先證明BC⊥平面CMD,推出DM⊥BC,然后證明DM⊥平面BMC,由線面垂直推出面面垂直;(2)當(dāng)M位于半圓弧CD的中點(diǎn)處時(shí)，四棱錐M﹣ABCD的高最大，體積也最大,相應(yīng)數(shù)值代入棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1）證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD，∵BC⊥CD，BC在平面ABCD內(nèi)，∴BC⊥平面CMD，故DM⊥BC，又DM⊥CM，BC∩CM＝C，∴DM⊥平面BMC，又DM在平面AMD內(nèi)，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）依題意，當(dāng)M位于半圓弧CD的中點(diǎn)處時(shí)，四棱錐M﹣ABCD的高最大，體積也最大，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為1，所以半圓的半徑為，此時(shí)四棱錐M﹣ABCD的體積為，故四棱錐M﹣ABCD體積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,考查棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性求解即可；（2）由題意原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分與兩種情況分類討論，求出最值解不等式即可.【詳解】(1)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)榻獾貌坏仁降慕饧癁?2)設(shè)，由題意知，解得，在上恒成立在上恒成立令，的圖象是開口向下，對(duì)稱軸方程為的拋物線.①時(shí)，上恒成立等價(jià)于解得，這與矛盾.②當(dāng)時(shí)，在上恒成立等價(jià)于解得或又綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分類討論去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上最大值或最小值，是解題的關(guān)鍵所在，屬于中檔題.19、(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)存在，使得平面，此時(shí)，即，利用幾何關(guān)系可知四邊形為平行四邊形，則，利用線面平行的判斷定理可知平面成立(2)由題意可得三棱錐的體積，由均值不等式的結(jié)論可知時(shí)，三棱錐的體積有最大值，最大值為建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的法向量為，故點(diǎn)到平面的距離試題解析：（）存在，使得平面，此時(shí)證明：當(dāng)，此時(shí)，過作，與交，則，又，故，∵，，∴，且，故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面成立（）∵平面平面，平面，，∴平面，∵，∴，，，故三棱錐的體積，∴時(shí)，三棱錐的體積有最大值，最大值為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則，，∴∴點(diǎn)到平面的距離20、（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式，令真數(shù)位置大于，解不等式即可求解；（2）由題意可得，整理可得只有一解，分別討論，時(shí)是否符合題意，再分別討論和有且只有一個(gè)是方程①的解，結(jié)合定義域列不等式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，由，即，因?yàn)椋?故的定義域?yàn)?【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程①的解集中只有一個(gè)元素.由，可得，即，所以②，當(dāng)時(shí)，，無意義不符合題意，當(dāng)，即時(shí)，方程②的解為.由（1）得的定義域?yàn)?，不在的定義域內(nèi)，不符合題意.當(dāng)是方程①的解，且不是方程①的解時(shí)，解得：，當(dāng)是方程①的解，且不是方程①的解時(shí)，解得：且，無解.綜上所述：的取值范圍是.21、（1）；（2）且.【解析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算以及結(jié)果，結(jié)合模長(zhǎng)，即可求得，再根據(jù)數(shù)量積求得夾角；（2）根據(jù)夾角為鈍角則數(shù)量積為負(fù)數(shù)，求得的范圍；再排除向量與不為反向向量對(duì)應(yīng)參數(shù)的范圍，則問題得解.【詳解】（1）因，所以，即，又，，所以，所以，又，所以向量、的夾角是.（2）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以，且向量與不反向共線，即，又、夾角為，所以，所以，解得，又向量與不反向共線，所以，解得，所以的取值范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量夾角，以及由夾角范圍求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.22、（1）||=5；；（2）；（3）.【解析】