系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-1系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本概念§5-2Routh〔勞斯〕穩(wěn)定判據(jù)§5-3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)§5-4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性4．系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性3．Nyquist(N氏)穩(wěn)定判據(jù)2．Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)1．系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念主要內(nèi)容：一、定義：§5-1系統(tǒng)穩(wěn)定性的根本概念圖5-1第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)特征方程的全部特征根均具有負(fù)部。假設(shè)控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過(guò)渡過(guò)程〔輸出〕隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的能力，那么稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定。二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件EXE§5-2Routh〔勞斯〕穩(wěn)定判據(jù)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部。因此，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性需要求特征根，當(dāng)系統(tǒng)階次較高時(shí)，求解較為困難。為此，Routh提出用特征方程的系數(shù)來(lái)判別根的正負(fù)。1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：一、Routh判據(jù)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性假設(shè)系統(tǒng)特征方程為：D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a0=0那么全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，必須：即特征方程各項(xiàng)系數(shù)ai>0an>0,an-1>0,…,a0>02．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性Routh表第一列元素均不為零，且符號(hào)相同。注：特征方程中實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)等于

Routh表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)。以六階特征方程為例：D(s)=a6s6+a5s5+a4s4+a3s3+a2s2+a1s1+a0=0

000s0000s100s200s30s40

a5s5a2a4a6s6a0

a1536451aaaaaA-=516252aaaaaA-=0553aaaaAo==125311AAaaAB-=135112AAaaAB-=121211BBAABC-=01312aBABC==121211CCBBCD-=0121aDCDE==a3第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一列符號(hào)無(wú)改變，系統(tǒng)無(wú)實(shí)部為正的特征根→穩(wěn)定第一列符號(hào)改變n次，那么有n個(gè)實(shí)部為正的特征根→不穩(wěn)定第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性1〕系數(shù)排成兩行anan-2…an-1an-3…2〕列出Routh表每一行元素可以同時(shí)乘以或除以相同數(shù)3〕由穩(wěn)定判據(jù)判斷穩(wěn)定性

∴判別系統(tǒng)穩(wěn)定性步驟：解：列Routh表：002s000s10s20110s3253s47.41013510=×-×21003210=×-×2.37.421017.4-=×-×第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=3s4+10s3+5s2+s+2=0試判別系統(tǒng)穩(wěn)定性3．Routh判據(jù)的特殊情況第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一列：3104.7－3.22∵第一列符號(hào)改變兩次∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有兩個(gè)實(shí)部為正的特征根。1〕Routh表中某行第一列元素為零，其余列元素不全為零，那么以很小的正數(shù)0第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性∵第一列符號(hào)改變兩次∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根。02s00s120(

)s2-31s3-3-2

例：D(s)=s3-3s+2=0試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：D(s)=s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0解:005s000-2s105s20s3521s4321s5)(012121e=×-×ee22+215131-=×-×∵第一列符號(hào)改變兩次∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根。第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性處理方法：2〕Routh表某行元素全為零：〔假設(shè)第k行〕第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性a)以上一行〔k-1〕行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程〔階次一般為偶數(shù)〕Sn-k+2b)對(duì)該輔助方程求導(dǎo)，所得系數(shù)代替k行c)繼續(xù)計(jì)算Routh表該情況表示特征根中存在以原點(diǎn)對(duì)稱的根iii)兩對(duì)復(fù)根，實(shí)部符號(hào)相異，虛部相同這些根可由輔助方程求得。i)存在一對(duì)絕對(duì)值相等的正負(fù)實(shí)根ii)一對(duì)共軛純虛根∵第一列元素符號(hào)沒(méi)有變化∴系統(tǒng)穩(wěn)定例：

D(s)=s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性0000s0000s100s2000(3)0(1)s3016(8)

s4016(8)12(6)2(1)s5162081s62212182=×-×12216202=-×311361=×-×81081=-×31(1)(6)輔助方程2s+12s2+16=0或s4+6s2+8=0求導(dǎo)得4s3+12s=0或s3+3s=0

4

D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a0=0二、Hurwitz(赫爾維茲)判據(jù)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性onnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaan2123142531000000000LLMMMMLLL--------=DL2〕Hurwitz行列式k>0(k=1,2,…,n)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：1〕特征方程各項(xiàng)系數(shù)均大于零第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1=an-1>0

n>00>=an-2anan-3an-1D2>00=D3an-3an-1an-6an-4an-2an-5an-3an-1

Hurwitz行列式直接由系數(shù)排列，規(guī)律簡(jiǎn)單而明確，因此，比列Routh表要簡(jiǎn)單些，使用也較為方便，但對(duì)六階以上的系統(tǒng)，由于行列式計(jì)算麻煩，故應(yīng)用較少。對(duì)于簡(jiǎn)單形式：000000:400000:3000:22304213210123430120123012>-->>>>>=>->>>>=>>>=aaaaaaaaaaaanaaaaaaaanaaanEXE§5-3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性1)()()()()()(mnsNsMsHsGsGK>==2.)()(1)()(sHsGsGsGB+=

3輔助函數(shù)：)()()()()(1)()(1)(sNsMsNsNsMsHsGsF+=+=+=一、GK(s)、GB(s)、F(s)及其零、極點(diǎn)關(guān)系G(s)Xo(s)H(s)Xi(s)圖5-2第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性由此可見：3〕系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GB(s)的全部極點(diǎn)在s平面的左半部F(s)的全部零點(diǎn)在s平面的左半面。Z1Z2，…，Zn為F(s)的零點(diǎn)P1P2，…，Pn為F(s)的極點(diǎn)1〕F(s)的極點(diǎn)就是GK(s)的極點(diǎn)2〕F(s)的零點(diǎn)就是GB(s)的極點(diǎn)二、幅角原理設(shè)：)())(()())(()(S-pnS-p2S-p1S-ZnS-Z2S-Z1KsF=LL第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)于s平面和F(s)平面上的點(diǎn)而言，它們之間存在映射關(guān)系，即s平面上任一點(diǎn)，一定在F(s)平面上找到與之相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；假設(shè)某點(diǎn)在s平面上運(yùn)動(dòng)形成封閉曲線，那么在F(s)平面上也一定有一條封閉曲線與之映射。()[])()()()()(pnsp2sp1sZnsZ2sZ1ssF-D++-D+-D--D++-D+-D=DLL()第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性映射定理：設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)有p個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)被s平面內(nèi)某一封閉曲線所包圍，并且這一封閉曲線不經(jīng)過(guò)F(s)的任何極點(diǎn)或零點(diǎn)。當(dāng)復(fù)變量s順時(shí)針?lè)较蜓卮朔忾]曲線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面內(nèi)的映射曲線將順時(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo)原點(diǎn)〔Z-p〕。oj

圖5-3[s]Z1Zs-sr補(bǔ)充：第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性假設(shè)s平面上的一條封閉曲線是一條順時(shí)針?lè)忾]曲線，且不經(jīng)過(guò)任何奇點(diǎn)，那么在F(s)平面上封閉曲線F的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)次數(shù)與F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。其關(guān)系由幅角原理說(shuō)明。ReIm[F(s)]o圖5-4從幾何關(guān)系可知，當(dāng)s沿封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，所有未被封閉曲線包圍的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量幅角變化都為零，只有那些被封閉曲線包圍的極點(diǎn)和零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的向量的幅角變化才是-2

。

說(shuō)明：第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性3．假設(shè)s平面上，s內(nèi)包含Z個(gè)零點(diǎn)，P個(gè)極點(diǎn)，那么F(s)幅角變化F(s)=-360P-360Z=-360〔Z-P〕即F逆時(shí)針包圍原點(diǎn)〔P-Z〕圈。1．s平面上，順時(shí)針繞零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，F(xiàn)(s)平面上

F順時(shí)針繞原點(diǎn)一周。

FZi(s)=-3602．s平面上，順時(shí)針繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，F(xiàn)(s)平面上

F逆時(shí)針繞原點(diǎn)一周。FPi(s)=-360三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性P：右半s平面上開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)p包圍次數(shù)2N=N氏穩(wěn)定判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)，它分為開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定兩種情況。1．假設(shè)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖不包圍〔-1,jo〕點(diǎn)2．若系統(tǒng)在開環(huán)形態(tài)下是不穩(wěn)定的，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖逆時(shí)針包圍（-1,jo）點(diǎn)次2P第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性一單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為T1,T2，T3均大于0試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ReImo圖5-5-121w=p0w=0例：

))()(()(=T3s+1T2s+1T1s+1KsGK解：由GK(s)得，開環(huán)系統(tǒng)不存在極點(diǎn)落在s平面的右邊，即P=0開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定1〕設(shè)GK(j)的N氏圖如右：曲線①→K1由圖可知，N氏圖不包圍(-1,jo)點(diǎn)?！啻藭r(shí)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定

K1

K2放大倍數(shù)增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定不穩(wěn)定2〕假設(shè)GK(j)的N氏圖包圍(-1,jo)點(diǎn)，如曲線②→K2那么系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試判別系統(tǒng)閉環(huán)后的穩(wěn)定性

=oReImo圖5-6

=

(-1,jo)故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例：()12-=ssGK解：由GK(s)得，開環(huán)系統(tǒng)有一正極點(diǎn)∴開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定P=1GK(j

)的N氏圖如右。GK(j)正向包圍(-1,jo)點(diǎn)半圈221PN==第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性2〕開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但如果合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù)，那么閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定。由上述兩例可以看出：1〕開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但如果系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)不當(dāng)，那么閉環(huán)系統(tǒng)不一定穩(wěn)定。四、應(yīng)用第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性-1Re0Im(-1,jo)+1圖5-71〕假設(shè)GK(s)中包含個(gè)積分環(huán)節(jié)，那么必須先增補(bǔ)開環(huán)幅頻特性曲線。1．假設(shè)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，沿增加的方向，如果(-1,jo)點(diǎn)在幅頻特性曲線GK(j)的N氏圖〕的左側(cè)，那么系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。2．開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法增補(bǔ)方法：從開環(huán)幅頻特性曲線

=o+開始，以原點(diǎn)為中，以無(wú)窮大為半徑畫圓弧，逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角到=0gp×2第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性在[-1,-

]段實(shí)軸上，由實(shí)軸開始而上，或由下而上到實(shí)軸終止，包圍次數(shù)N=-0.5=-

21-0.5Re0Im(-1,jo)0.50.5-0.5圖5-82〕計(jì)算N氏曲線包圍(-1,jo)點(diǎn)的次數(shù)總的包圍次數(shù)：N=N正+N負(fù)在[-1,-

]段實(shí)軸上，曲線由上而下穿越，包圍次數(shù)N=+1

在[-1,-

]段實(shí)軸上，曲線由下而上穿越，包圍次數(shù)N=-121在[-1,-

]段實(shí)軸上，由實(shí)軸開始而下，或由上而下到實(shí)軸終止，包圍次數(shù)N=0.5=第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性3）由N=，來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。P：GK(s)落在s平面右半面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)解：由GK(s)知p=0∴開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定2p的幅頻特性曲線如圖，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

則：已知GK(s)=()()111.010++sss增補(bǔ)幅頻曲線后，N氏圖不包含(-1,jo),即N=0Re(-1,jo）

oIm

o+圖5-9o

o+Im

o

圖5-10(-1,jo）oRe第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：由圖知P=1

故：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定ImRe

o+

o(-1,jo）o圖5-11若GK(s)=的N氏圖如圖，)1(+TsK試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：∴開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定增補(bǔ)N氏圖后，21-=N∵

2PN1EXE§5-4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性由于Bode圖和N氏圖存在下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此可在Bode圖上應(yīng)用N氏穩(wěn)定性判據(jù)來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1．根本概念1〕極坐標(biāo)圖中的單位圓〔|GK(j)|=1〕和Bode圖上的0分貝線相對(duì)應(yīng)。2〕極坐標(biāo)圖中的負(fù)實(shí)軸和Bode圖中的-180水平線相對(duì)應(yīng)。一、Bode判據(jù)—N氏判據(jù)的引申第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性ReIm-10-180

圖5-12N氏圖極坐標(biāo)圖中單位圓外的局部，|GK(j)|>1，對(duì)應(yīng)Bode中20lg|GK(j)|>0，0dB線以上。

0dB20dBL(

)0

(

)-180

Bode圖圖5-13第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性3〕N氏圖上，曲線正、負(fù)穿越[-1,-]段實(shí)軸，對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)相頻上正、負(fù)穿越-180相頻線。

(

)

0

-1+1+圖5-1521-21注意：兩者正負(fù)穿越的區(qū)別(-1,jo)+++1-1oReIm圖5-1421212121--第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性4〕幅值穿越頻率c與相位穿越頻率gImRe

=

g

c

=o+0-1圖5-16

0dBL(

)dB

c

-180

(

)

g圖5-17

c：N氏軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，此頻率點(diǎn)輸入與輸出幅值相等。g：N氏軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率，此時(shí)〔g〕=-180第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性假設(shè)c=g，那么閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定假設(shè)c<g，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定假設(shè)c>g，那么閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定2．Bode判據(jù)1〕p=0時(shí)〔此系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定〕第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性ReIm0

g

c

=0+圖5-18

0dBL(

)

c-180

(

)

g圖5-19∵

g=c∴閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定例：第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性在0到

c范圍內(nèi)，正、負(fù)穿越-180相頻線次數(shù)的代數(shù)和為2P這里：

c=max{c1,c2,…}2)p0時(shí)〔系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定〕，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性某閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)頻率響應(yīng)的N氏圖和Bode圖如下p=0，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0dBL(

)

c

(

)0

+1-1-180

圖5-21∵N=－1+1=0∴系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定例：Im

o+1-1

0Re圖5-20(-1,jo)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ImRe0

=0-2

=

圖5-22odBL(

)

(

)0

-1-180

dB6dB0.1110-20dB/dec90

N=1圖5-2321∵P=1∴開環(huán)不穩(wěn)定∴閉環(huán)穩(wěn)定又21=N

已知：G(s)=12-s解：二、系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)正常工作的必要條件是系統(tǒng)穩(wěn)定，設(shè)計(jì)時(shí)，我們還要求系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)南鄬?duì)穩(wěn)定性。相對(duì)穩(wěn)定性：在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，系統(tǒng)穩(wěn)定性能上下的程度。來(lái)定量表示相位裕度相對(duì)穩(wěn)定性可由：幅值裕度kg

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：在

=

c時(shí)，相頻特性曲線

(

)距-180線的相位差值

，稱為相位裕度。

=180

+

(

c)意義：表示在c時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)從穩(wěn)定變?yōu)榕R界穩(wěn)定,允許相位再增加一個(gè)相位裕度的相位。1．相位裕度

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性ReIm0

ω=∞

g

cω=0-1圖5-24ωL(ω)dBodBω

(ω)-180

cKg(dB)

g圖5-25圖示：極坐標(biāo)中，軌跡與單位圓交點(diǎn)的向量與負(fù)實(shí)軸之間的夾角：負(fù)實(shí)軸上：-負(fù)實(shí)軸下：+第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性Bode圖中，對(duì)數(shù)相頻特性曲線距-180

線的相位差

-180

線上：+

-180線下：-判據(jù)：p=0時(shí)，若

>0系統(tǒng)穩(wěn)定

=0系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

<0系統(tǒng)不穩(wěn)定第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

c=

g-10

=

ImRe

=0圖5-26圖5-28

=

oImRe