第二章策略型博弈

博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)

GameTheoryandInformationEconomics第二部分非協(xié)作博弈實(shí)際第二章戰(zhàn)略型博弈第三章擴(kuò)展型博弈第四章貝葉斯博弈第五章動(dòng)態(tài)貝葉斯博弈

主要內(nèi)容第一節(jié)戰(zhàn)略型博弈的表示第二節(jié)反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略平衡第三節(jié)納什平衡第四節(jié)混合戰(zhàn)略納什平衡第五節(jié)納什平衡的存在性第二章戰(zhàn)略型博弈——同時(shí)行動(dòng)，如何決策

戰(zhàn)略型(規(guī)范型〕表述——適宜表示靜態(tài)博弈擴(kuò)展型表述——適宜表示動(dòng)態(tài)博弈

博弈有兩種表述方法一、戰(zhàn)略型博弈的含義完全信息靜態(tài)博弈又稱為戰(zhàn)略型博弈。完全信息是指局中人對本人與其他局中人的一切與博弈有關(guān)的事前信息〔戰(zhàn)略空間、支付函數(shù)等〕有充分的了解(局中人的支付函數(shù)是共同知識)。靜態(tài)博弈是指在博弈中，局中人同時(shí)采取行動(dòng)，或者局中人的行動(dòng)有先有后，但后行動(dòng)者不能知道先行動(dòng)者的行動(dòng)選擇。第一節(jié)戰(zhàn)略型博弈的表示二、戰(zhàn)略型博弈的三個(gè)要素：1、局中人〔Players):1,2,…,n；2、戰(zhàn)略〔Strategies):;3、支付函數(shù)〔Payofffunctions)表示為：第一節(jié)戰(zhàn)略型博弈的表示1、有限博弈：(1)博弈中局中人人數(shù)有限;(2)每個(gè)局中人只需有限個(gè)戰(zhàn)略。2、零和博弈：博弈中局中人所獲支付之和為零，即一方所得為另一方所失。三、兩種特殊博弈類型1、局中人：甲，乙2、策略：{坦率,不坦率}3、支付函數(shù)——支付矩陣〔雙人有限博弈〕每個(gè)位置上第一個(gè)數(shù)字表示局中人1在對應(yīng)的戰(zhàn)略組合中得到的支付，第二個(gè)數(shù)字表示局中人2的相應(yīng)所獲支付。例2.1囚徒姿態(tài)及其戰(zhàn)略型表示

(Tucker,1950)

乙甲坦白不坦白坦白-6，-6-1，-8不坦白-8，-1-2，-2囚徒姿態(tài)的支付矩陣

乙甲石頭剪刀布石頭0，01，-1-1，1剪刀-1，10，01，-1布1，-1-1，10，1例2.2石頭、剪刀、布的支付矩陣

田忌齊王上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下3，-31，-11，-11，-1-1，11，-1上下中1，-13，-31，-11，-11，-1-1，1中上下1，-1-1，13，-31，-11，-11，-1中下上-1，11，-11，-13，-31，-11，-1下上中1，-11，-11，-1-1，13，-31，-1下中上1，-11，-1-1，11，-11，-13，-3例2.3田忌賽馬的支付矩陣

局中人：男，女策略：男：看足球，看芭蕾女：看足球，看芭蕾支付矩陣：見下一頁

例2.4性別大戰(zhàn)〔battleofthesexes)

女男足球芭蕾足球3，21，1芭蕾-1，-12，3性別大戰(zhàn)的支付矩陣一、根本思想：假設(shè)一個(gè)局中人在任何情況下從某種戰(zhàn)略中得到的支付均小于從另一種戰(zhàn)略中得到的支付，那么顯然對他而言，前一種戰(zhàn)略劣于后一種戰(zhàn)略。從個(gè)人利益出發(fā)，被剔除的戰(zhàn)略不會(huì)被局中人采用。從而可以利用剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略的概念來簡化博弈局勢，能夠會(huì)得到博弈的解。第二節(jié)反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略平衡,假設(shè)存在，對于一切的都有且其中至少有一個(gè)為嚴(yán)厲不等式，那么稱是第i個(gè)局中人的一個(gè)嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略。二、嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略的定義1、根據(jù)理性的局中人不會(huì)選擇嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略這一原那么，可以經(jīng)過反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略的方法對博弈進(jìn)展求解。2、其方法是：對每個(gè)局中人尋覓嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略，由于它不會(huì)被局中人選擇實(shí)施，所以找到一種后就可以將其從博弈局勢中剔除，從而得到一種新的縮減后的博弈局勢，對這種新局勢反復(fù)上述過程，直到無法找到新的嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略為止。三、反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略對局中人甲而言，無論局中人乙采取何種戰(zhàn)略，采用“不坦率〞戰(zhàn)略得到的支付都小于采用“坦率〞戰(zhàn)略。局中人甲的“不坦率〞戰(zhàn)略嚴(yán)厲劣于“坦率〞戰(zhàn)略.“不坦率〞戰(zhàn)略都是一種嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略，從而可以剔除。博弈中局中人各自從本身利益出發(fā)的理性選擇〔博弈平衡解〕就是〔坦率，坦率〕。四、囚徒姿態(tài)的解

乙甲坦白不坦白坦白-6，-6-1，-8不坦白-8，-1-2，-2例2.1囚徒姿態(tài)的支付矩陣

甲：“不坦率〞相對于“坦率〞是嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略

乙甲坦白不坦白坦白-6，-6-1，-8乙：“不坦率〞相對于“坦率〞是嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略

乙甲坦白坦白-6，-6·例2.5利用反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略求解

乙甲左中右上1，01，20，1下0，30，12，0·乙：“右〞相對于“中〞是嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略

乙甲左中右上1，01，20，1下0，30，12，0·甲：“下〞相對于“上〞是嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略

乙甲左中上1，01，2下0，30，1·乙：“左〞相對于“中〞是嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略

乙甲左中上1，01，2·反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略平衡是(上,中)

乙甲中上1，21、每一步剔除需求局中人間相互了解的更進(jìn)一步假定，假設(shè)我們把這一過程運(yùn)用到恣意多步，需求假定“局中人是理性的〞是共同知識。2、這一方法對博弈結(jié)果的預(yù)測經(jīng)常是不準(zhǔn)確的.五、反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略有兩個(gè)缺陷

乙甲石頭剪刀布石頭0，01，-1-1，1剪刀-1，10，01，-1布1，-1-1，10，0例2.2石頭、剪刀、布的支付矩陣

利用反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略無法求解例2.6利用反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略無法求解

乙甲左中右上0，44，05，3中4，00，45，3下3，53，56，6大多數(shù)的博弈局勢中運(yùn)用剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略的方法可以對博弈局勢進(jìn)展簡化，但能夠得不到博弈的平衡解。需求引入非協(xié)作博弈實(shí)際中的中心概念——納什平衡(NashEquilibrium)。六、留意一、納什平衡的思想“雙贏〞或“多贏〞第三節(jié)納什平衡它是關(guān)于博弈結(jié)局的一致性預(yù)測假設(shè)一切局中人預(yù)測一個(gè)特定的納什平衡會(huì)出現(xiàn)，那么這種平衡就會(huì)出現(xiàn)。只需納什平衡才干使每個(gè)局中人均認(rèn)可這種結(jié)局，而且他們均知道其他局中人也認(rèn)可這種結(jié)局。二、納什平衡的意義1、博弈的納什平衡是這樣一種最優(yōu)戰(zhàn)略組合，是一種他好、我好大家都好的理性結(jié)局，其中每一個(gè)局中人均不能也不想一方面改動(dòng)本人的戰(zhàn)略而添加收益，每個(gè)局中人選擇的戰(zhàn)略是對其他局中人所選戰(zhàn)略的最正確反響。

三、納什平衡的定義2、數(shù)學(xué)定義：在戰(zhàn)略型博弈中，假設(shè)對于每個(gè)局中人i，存在，都有

或那么稱戰(zhàn)略組合是此博弈G的一個(gè)納什平衡。三、納什平衡的定義1、雙人有限博弈：雙劃線法首先對局中人2的每一個(gè)戰(zhàn)略，局中人1尋覓支付最大的戰(zhàn)略，在其對應(yīng)支付下劃線；然后對局中人1進(jìn)展相應(yīng)的步驟；最后，凡是兩個(gè)局中人支付下均被劃線的結(jié)局就是納什平衡。四、納什平衡的求法用雙劃線法可以求出納什平衡：〔坦率，坦率〕，〔-6，-6〕意義：提示個(gè)人理性與集體理性之間的矛盾。例2.1囚徒姿態(tài)的納什平衡

乙甲坦白不坦白坦白-6，-6-1，-8不坦白-8，-1-2，-2

乙甲坦白不坦白坦白-6，-6-1，-8不坦白-8，-1-2，-2

乙甲坦白不坦白坦白-6，-6-1，-8不坦白-8，-1-2，-2局中人：大豬，小豬策略：大豬：按，等待小豬：按，等待支付矩陣：見下一頁納什平衡：〔按，等待〕例2.7智豬博弈〔boxedpigs)

小豬大豬按等待按5，14，4等待9，-10，0例2.7智豬博弈的支付矩陣

小豬大豬按等待按5，14，4等待9，-10，0

小豬大豬按等待按5，14，4等待9，-10，0

女男足球芭蕾足球3，21，1芭蕾-1，-12，3例2.4性別大戰(zhàn)博弈的支付矩陣

女男足球芭蕾足球3，21，1芭蕾-1，-12，3

女男足球芭蕾足球3，21，1芭蕾-1，-12，3局中人：甲，乙策略：甲：放左手，放右手乙：猜左手，猜右手支付矩陣：見下一頁沒有納什平衡例2.8猜左右手游戲

乙甲猜左手猜右手放左手-1，11，-1放右手1，-1-1，1

乙甲猜左手猜右手放左手-1，11，-1放右手1，-1-1，1

乙甲猜左手猜右手放左手-1，11，-1放右手1，-1-1，12、延續(xù)性博弈納什平衡的求法首先求出每個(gè)局中人對其他局中人戰(zhàn)略組合的反響函數(shù)——即在其他局中人戰(zhàn)略組合給定時(shí)極大化本人的支付，得到的最正確反響戰(zhàn)略表現(xiàn)為其他局中人戰(zhàn)略組合的函數(shù)；然后將這些反響函數(shù)聯(lián)立求解即得到博弈的納什平衡解。四、納什平衡的求法局中人：廠商1，廠商2策略：廠商1：選擇產(chǎn)量廠商2：選擇產(chǎn)量假設(shè)：價(jià)錢支付函數(shù)(利潤函數(shù))：

例2.9兩寡頭產(chǎn)量競爭Cournot〔1838〕模型

Cournot模型求解反響函數(shù):

納什平衡：Cournot模型求解假設(shè)兩寡頭可以串謀，共同確定產(chǎn)量Q使總利潤最大化，利潤函數(shù)為：(Q)=Q(a-Q-c)總利潤最大的產(chǎn)量為：——稱為契約曲線總利潤為：比較及含義：

兩寡頭產(chǎn)量串謀模型Q1

廠商2的反響曲線納什平衡契約曲線廠商1的反響曲線OQ2圖1反響曲線、納什平衡與契約曲線局中人：廠商1，廠商2策略：廠商1選擇價(jià)錢；廠商2選擇價(jià)錢假設(shè):兩寡頭固定本錢都為0，邊沿本錢為常數(shù)c,消費(fèi)者對廠商1和2消費(fèi)產(chǎn)品的需求量分別為：;例2.10兩寡頭價(jià)錢競爭Bertrand〔1883〕模型支付〔利潤〕函數(shù)：最優(yōu)化的一階條件是:

Bertrand〔1883〕模型及求解反響函數(shù)：

納什平衡價(jià)錢：

Bertrand〔1883〕模型及求解在n個(gè)局中人的戰(zhàn)略型博弈中，1、假設(shè)反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略剔除掉除戰(zhàn)略組合s以外的一切戰(zhàn)略，那么這一戰(zhàn)略組合s為該博弈的獨(dú)一的納什平衡。2、假設(shè)戰(zhàn)略組合s是一個(gè)納什平衡，那么它就不會(huì)被反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略所剔除。納什平衡是比反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略更強(qiáng)的解概念。五、納什平衡與反復(fù)剔除嚴(yán)厲劣戰(zhàn)略平衡一、舉例闡明混合戰(zhàn)略納什平衡例2.8猜左右手游戲第四節(jié)混合戰(zhàn)略納什平衡

乙甲（q）猜左手（1-q）猜右手（p）放左手-1,

11,

-1（1-p）放右手1,

-1-1,

1在甲選，乙選這種戰(zhàn)略時(shí)，他們的期望成效分別為：混合戰(zhàn)略與期望成效甲和乙的目的是:最優(yōu)化的一階條件是:

混合戰(zhàn)略納什平衡

混合戰(zhàn)略納什平衡為：

混合戰(zhàn)略納什平衡1、混合戰(zhàn)略〔mixedStrategy)局中人i的一個(gè)混合戰(zhàn)略是在其純戰(zhàn)略空間上的一個(gè)概率分布，其中是i選擇戰(zhàn)略的概率。局中人i的混合戰(zhàn)略空間是他的一切混合戰(zhàn)略構(gòu)成的集合。純戰(zhàn)略可以了解為混合戰(zhàn)略的特例。如等價(jià)于

二、混合戰(zhàn)略納什平衡在混合戰(zhàn)略組合下，局中人i的期望成效函數(shù)為：

其中2、期望成效函數(shù)在戰(zhàn)略型博弈中，假設(shè)對于每個(gè)局中人i，存在，都有

或那么稱是博弈G的一個(gè)混合戰(zhàn)略納什平衡。3、混合戰(zhàn)略納什平衡奇數(shù)定理(Wilson1971)：幾乎一切的有限博弈都有奇數(shù)個(gè)納什平衡。4、奇數(shù)定理例2.11社會(huì)保證博弈局中人：政府和下崗工人策略：政府：救援，不救援下崗工人：找任務(wù)，不找任務(wù)支付矩陣為：

三、運(yùn)用舉例

工人政府找工作不找救濟(jì)3，2-1，3不救濟(jì)-1，10