四川省德陽中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

四川省德陽中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．下列各選項中的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的是（）A.與 B.與C.與 D.與2．若角，則（）A. B.C. D.3．已知定義在上的偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.4．sin210°·cos120°的值為（）A. B.C. D.5．每天，隨著清晨第一縷陽光升起，北京天安門廣場都會舉行莊嚴(yán)肅穆的升旗儀式，每天升國旗的時間隨著日出時間的改變而改變，下表給出了2020年1月至12月，每個月第一天北京天安門廣場舉行升旗禮的時間:1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月7:367:236:485:595:154:484:495:125:416:106:427:16若據(jù)此以月份(x)為橫軸、時間(y)為縱軸，畫出散點(diǎn)圖，并用曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，則適合模擬的函數(shù)模型是（）A. B.且a≠1)C. D.且a≠1)6．已知實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)在下列哪個區(qū)間內(nèi)A. B.C. D.7．滿足的角的集合為（）A. B.C. D.8．某四面體的三視圖如圖，則該四面體的體積是A.1 B.C. D.29．設(shè)．若存在，使得，則的最小值是（）A.2 B.C.3 D.10．在三角形中，若點(diǎn)滿足，則與的面積之比為（）A. B.C. D.11．方程的根所在的區(qū)間為A. B.C. D.12．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．若、是關(guān)于x的方程的兩個根，則__________.14．若m，n滿足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，則的值為___________.15．某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)垃圾分類要求，下述格點(diǎn)為垃圾回收點(diǎn)：，，，，，.請確定一個格點(diǎn)（除回收點(diǎn)外）___________為垃圾集中回收站，使這6個回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和最短.16．“”是“”的______條件.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）根據(jù)定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）根據(jù)定義證明：函數(shù)是奇函數(shù).18．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）函數(shù)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).19．經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)=80-2t，價格近似滿足f(t)=20-|t-10|.(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.20．如圖，為等邊三角形，平面，，，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.21．已知A，B，C為的內(nèi)角.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)，且，，，求證：22．計算：（1）；（2）已知，求.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】根據(jù)題意，逐一分析各選項中兩個函數(shù)的對稱性，再判斷作答.【詳解】對于A，點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，顯然在的圖象上，而點(diǎn)與關(guān)于y軸對稱，則與的圖象關(guān)于y軸對稱，A正確；對于B，點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，顯然在的圖象上，而點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，則與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B不正確；對于C，點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，顯然在的圖象上，而點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱，則與的圖象關(guān)于x軸對稱，C不正確；對于D，點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，顯然在的圖象上，而點(diǎn)與關(guān)于直線y=x對稱，則與的圖象關(guān)于直線y=x對稱，D不正確.故選：A2、C【解析】分母有理化再利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系化簡得解.【詳解】解：.故選：C3、D【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出解集【詳解】由題意，畫出的圖象如圖，等價于，或，由圖可知，不等式的解集為故選：D4、A【解析】直接誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)求解即可.【詳解】,故選：A.5、C【解析】畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)圖形即可判斷.【詳解】畫出散點(diǎn)圖如下，則根據(jù)散點(diǎn)圖可知，可用正弦型曲線擬合這些數(shù)據(jù)，故適合.故選：C.6、B【解析】由3a＝5可得a值，分析函數(shù)為增函數(shù)，依次分析f（﹣2）、f（﹣1）、f（0）的值，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得答案【詳解】根據(jù)題意，實(shí)數(shù)a滿足3a＝5，則a＝log35＞1，則函數(shù)為增函數(shù)，且f（﹣2）＝（log35）﹣2+2×（﹣2）﹣log53＜0，f（﹣1）＝（log35）﹣1+2×（﹣1）﹣log53＝﹣2＜0，f（0）＝（log35）0﹣log53＝1﹣log53＞0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性可知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（﹣1，0）上，故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，分析函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵7、D【解析】利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.【詳解】.故選：D.8、B【解析】在正方體ABCD-A1B1C1D1中還原出三視圖的直觀圖，其是一個三個頂點(diǎn)在正方體的右側(cè)面、一個頂點(diǎn)在左側(cè)面的三棱錐，即為D1-BCB1，如圖所示，該四面體的體積為.故選B點(diǎn)睛：三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖9、D【解析】由題設(shè)在上存在一個增區(qū)間，結(jié)合、且，有必為的一個子區(qū)間，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)知：，，又，所以在上存在一個增區(qū)間，又，所以，根據(jù)題設(shè)知：必為的一個子區(qū)間，即，所以，即的最小值是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合題設(shè)條件判斷出必為的一個子區(qū)間.10、B【解析】由題目條件所給的向量等式，結(jié)合向量的線性運(yùn)算推斷P、Q兩點(diǎn)所在位置，比較兩個三角形的面積關(guān)系【詳解】因?yàn)?，所以，即，得點(diǎn)P為線段BC上靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，即，得點(diǎn)Q為線段BC上靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，所以，所以與的面積之比為，選擇B【點(diǎn)睛】平面向量的線性運(yùn)算要注意判斷向量是同起點(diǎn)還是收尾相連的關(guān)系再使用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行加減運(yùn)算，借助向量的數(shù)乘運(yùn)算可以判斷向量共線，及向量模長的關(guān)系11、C【解析】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)，再由，且，可得函數(shù)在上有零點(diǎn)故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進(jìn)而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【詳解】由題意：，所以或，且，所以，即，因?yàn)榛?，所?故答案為：.14、【解析】由題可知是方程的兩個不同實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理可求出.【詳解】由題可知是方程的兩個不同實(shí)根，則，.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意，設(shè)滿足題意得格點(diǎn)為，這6個回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和為，故，再分別求和的最小值時的即可得答案.【詳解】解：設(shè)滿足題意得格點(diǎn)為，這6個回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程和為，則，令，由于其去掉絕對值為一次函數(shù)，故其最小值在區(qū)間端點(diǎn)值，所以代入得，所以當(dāng)時，取得最小值，同理，令，代入得所以當(dāng)或時，取得最小值，所以當(dāng)，或時，這6個回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和最小，由于是一個回收點(diǎn)，故舍去，所以當(dāng)，這6個回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和最小，故格點(diǎn)為故答案為：16、充分不必要【解析】解方程，即可判斷出“”是“”的充分不必要條件關(guān)系.【詳解】解方程，得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故答案為充分不必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、⑴見解析;⑵見解析.【解析】(1)利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用奇偶性定義證明函數(shù)奇偶性.試題解析：⑴設(shè)任意的，且，則，，即，又，，即，在上是增函數(shù)⑵，,，即所以函數(shù)是奇函數(shù).點(diǎn)睛：證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性18、（1）（2）（3）答案見解析【解析】（1）根據(jù)題意條件，分別求解的定義域和解對數(shù)不等式即可完成求解；（2）通過題意條件，找到和兩函數(shù)值域的關(guān)系，分別求解出對應(yīng)的值域，通過分類討論即可完成求解；（3）通過題意條件，通過討論的值，分別作出對應(yīng)的函數(shù)圖像，借助換元，觀察函數(shù)圖像的交點(diǎn)狀況，從而完成求解.【小問1詳解】函數(shù)，由，可得，即的定義域?yàn)椋徊坏仁?，所以，即為，解得，則原不等式的解為；【小問2詳解】函數(shù)，若存在，使得成立，則和在上的值域的交集不為空集；由（1）可知：時，顯然單調(diào)遞減，所以其值域?yàn)?；若，則在上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?，此時只需，即，所以；若，則在遞增，可得的值域?yàn)?，此時與的交集顯然為空集，不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍是；小問3詳解】由，得，令，則，畫出的圖象，當(dāng)，只有一個，對應(yīng)3個零點(diǎn)，當(dāng)時，，此時，由，得在，三個分別對應(yīng)一個零點(diǎn)，共3個，在時，，三個分別對應(yīng)1個，1個，3個零點(diǎn)，共5個，綜上所述：當(dāng)時，只有1個零點(diǎn)，當(dāng)或時，有3個零點(diǎn)，當(dāng)時，有5個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于“存在，使得成立”，需要將其轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)值域的關(guān)系，即兩個函數(shù)的值域有交集，需根據(jù)函數(shù)的具體范圍進(jìn)行適時的分類討論即可.19、解：(1)y(2)ymax=1225，ymin=600【解析】解：（Ⅰ）＝（Ⅱ）當(dāng)0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，在t＝5時，y取得最大值為1225；當(dāng)10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，在t＝20時，y取得最小值為600（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；第20天，日銷售額y取得最小為600元20、(1)見解析(2)見解析【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由三角形中位線定理可得，，結(jié)合已知，可得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由線面垂直的性質(zhì)可得平面，得到，再由為等邊三角形，得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)∵在中，，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形∴又∵平面∴平面（Ⅱ）證：∵面，平面，∴，又∵為等邊三角形，∴，又∵，∴平面，又∵，∴面，又∵面，∴面面21、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先證明，再由不等式證明即可；（3）找出不等式的等價條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式