高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修三）第07講 等差數(shù)列及其求和（學(xué)生卷）

第07講等差數(shù)列及其求和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【知識(shí)導(dǎo)航】1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于_____常數(shù)d，即_____恒成立，則稱{an}為等差數(shù)列.其中d稱為等差數(shù)列的公差.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：①如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項(xiàng)，A＝eq\f(x＋y,2).②推廣：若{an}為等差數(shù)列，則2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝_____.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝_______________.3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋__________(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則__________.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.(6)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)時(shí)，則S2n＝__________，且S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(7)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N＋)時(shí)，則S2n－1＝_____，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).【知識(shí)預(yù)習(xí)】考點(diǎn)一：等差數(shù)列1．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．14 B．15 C．16 D．82．等差數(shù)列中，已知，，則公差d（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式（

）A．n B． C． D．4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2020 B．1525 C．1515 D．20155．已知為遞增的等差數(shù)列，，若，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13考點(diǎn)二：兩角和與差的余弦6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則（

）A．200 B．300 C．500 D．10009．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（

）A． B． C．或 D．10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練】一、單選題1．已知是數(shù)列等差數(shù)列，，則公差（

）A．1 B．2 C．3 D．42．在等差數(shù)列中，若，，則公差（

）A． B．1 C． D．23．已知等差數(shù)列中，，，則的值是（

）A．4 B．15 C．31 D．644．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)取最小值時(shí)是（

）A．2或 B．2 C．3 D．3或5．已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．7 B． C． D．107．《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（

）A．升 B．升 C．升 D．升8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．二、多選題9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．在等差數(shù)列中,,則___________.12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差則__四、解答題13．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的最小值.14．已知數(shù)列中，且.(1)求；(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值.15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.【提升作業(yè)】一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，公差，則數(shù)列的前4項(xiàng)和（

）A．15 B．30 C．50 D．752．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．55 B．60 C．65 D．755．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2022這2022個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（

）A．145項(xiàng) B．146項(xiàng) C．144項(xiàng) D．147項(xiàng)二、填空題6．等差數(shù)列前n項(xiàng)和，等差數(shù)列前n項(xiàng)和，，則_____.7．為等差數(shù)列，，則__________.三、解答題8．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求