浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-第三章多維隨機(jī)變量及其分布

浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-第三章多維隨機(jī)變量及其分布目錄多維隨機(jī)變量的定義與性質(zhì)多維隨機(jī)變量的分布函數(shù)多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性多維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布多維隨機(jī)變量的變換01多維隨機(jī)變量的定義與性質(zhì)在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，多維隨機(jī)變量是一個(gè)重要的概念，它描述了一個(gè)樣本空間中同時(shí)出現(xiàn)的多個(gè)隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)模型。多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率描述了多個(gè)隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生的可能性。聯(lián)合概率在多維隨機(jī)變量中，邊緣概率描述了某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率，而其他隨機(jī)事件的發(fā)生與否不影響這個(gè)概率。邊緣概率定義與性質(zhì)定義聯(lián)合概率密度函數(shù)是多維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，它描述了多維隨機(jī)變量取值的聯(lián)合概率。性質(zhì)聯(lián)合概率密度函數(shù)具有非負(fù)性、規(guī)范性、對(duì)稱性等性質(zhì)。應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中，聯(lián)合概率密度函數(shù)被廣泛應(yīng)用于模型構(gòu)建和數(shù)據(jù)分析。聯(lián)合概率密度函數(shù)123邊緣概率密度函數(shù)是從多維隨機(jī)變量中提取某一維度的信息，得到的單維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。定義邊緣概率密度函數(shù)具有單峰性、對(duì)稱性等性質(zhì)。性質(zhì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域中，邊緣概率密度函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)降維和特征提取。應(yīng)用邊緣概率密度函數(shù)02多維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義性質(zhì)應(yīng)用聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)是描述多維隨機(jī)變量所有可能取值的概率的函數(shù)，表示多個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)取某個(gè)值或某個(gè)范圍內(nèi)的值的概率。聯(lián)合分布函數(shù)具有非負(fù)性、歸一化性質(zhì)，即其值域在[0,1]之間，并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，其積分等于1。聯(lián)合分布函數(shù)是描述多維隨機(jī)變量之間相關(guān)性的重要工具，可以用于計(jì)算多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率、條件概率等。邊緣分布函數(shù)是指多維隨機(jī)變量中某一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即在其它隨機(jī)變量固定的情況下，該隨機(jī)變量的概率分布。定義邊緣分布函數(shù)具有獨(dú)立性，即多維隨機(jī)變量中各個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的，其邊緣分布函數(shù)就是各個(gè)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。性質(zhì)邊緣分布函數(shù)在統(tǒng)計(jì)推斷、假設(shè)檢驗(yàn)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，特別是在多元統(tǒng)計(jì)分析中，可以通過(guò)邊緣分布函數(shù)來(lái)分析各個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性、相關(guān)性等。應(yīng)用邊緣分布函數(shù)定義01條件分布函數(shù)是指在某個(gè)隨機(jī)變量取某個(gè)值時(shí)，其余隨機(jī)變量的條件概率分布。性質(zhì)02條件分布函數(shù)具有依賴性，即其概率分布依賴于已經(jīng)觀察到的隨機(jī)變量的取值。應(yīng)用03條件分布函數(shù)在貝葉斯推斷、統(tǒng)計(jì)決策等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，特別是在處理不完全信息、數(shù)據(jù)缺失等問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)條件分布函數(shù)來(lái)更新先驗(yàn)概率、進(jìn)行參數(shù)估計(jì)等。條件分布函數(shù)03多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性獨(dú)立性的定義定義如果對(duì)于每一個(gè)$t$，隨機(jī)變量$X_t$和$X_{t+1}$相互獨(dú)立，則稱$X_t$和$X_{t+1}$是獨(dú)立的。解釋獨(dú)立性意味著一個(gè)隨機(jī)變量的狀態(tài)不影響另一個(gè)隨機(jī)變量的狀態(tài)。03獨(dú)立同分布如果兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量具有相同的分布函數(shù)，則它們是獨(dú)立的。01獨(dú)立性傳遞如果$X$和$Y$獨(dú)立，且$Y$和$Z$獨(dú)立，那么$X$和$Z$也獨(dú)立。02獨(dú)立與互斥獨(dú)立不一定互斥，互斥不一定獨(dú)立。獨(dú)立性的性質(zhì)通過(guò)聯(lián)合概率密度函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判定。判定方法一通過(guò)隨機(jī)變量的函數(shù)形式進(jìn)行判定。判定方法二通過(guò)隨機(jī)變量的相互影響程度進(jìn)行判定。判定方法三獨(dú)立性的判定04多維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一維隨機(jī)變量的線性函數(shù)是指將一維隨機(jī)變量進(jìn)行線性變換得到的新的隨機(jī)變量。線性函數(shù)的分布可以通過(guò)原隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。一維隨機(jī)變量的線性函數(shù)及其分布冪函數(shù)是指將一維隨機(jī)變量進(jìn)行冪運(yùn)算得到的新的隨機(jī)變量。冪函數(shù)的分布可以通過(guò)原隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。一維隨機(jī)變量的冪函數(shù)及其分布一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布二維隨機(jī)變量的線性函數(shù)及其分布二維隨機(jī)變量的線性函數(shù)是指將二維隨機(jī)變量進(jìn)行線性變換得到的新的隨機(jī)變量。線性函數(shù)的分布可以通過(guò)原二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。二維隨機(jī)變量的多元函數(shù)及其分布多元函數(shù)是指將多個(gè)二維隨機(jī)變量進(jìn)行運(yùn)算得到的新的隨機(jī)變量。多元函數(shù)的分布可以通過(guò)原二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。二維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布n維隨機(jī)變量的線性函數(shù)及其分布n維隨機(jī)變量的線性函數(shù)是指將n維隨機(jī)變量進(jìn)行線性變換得到的新的隨機(jī)變量。線性函數(shù)的分布可以通過(guò)原n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。n維隨機(jī)變量的多元函數(shù)及其分布多元函數(shù)是指將多個(gè)n維隨機(jī)變量進(jìn)行運(yùn)算得到的新的隨機(jī)變量。多元函數(shù)的分布可以通過(guò)原n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。n維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布05多維隨機(jī)變量的變換線性變換是保持向量加法和標(biāo)量乘法的運(yùn)算規(guī)則，即對(duì)于任意向量x和標(biāo)量k，有T(k*x)=k*T(x)和T(x+y)=T(x)+T(y)。線性變換的定義線性變換具有一些重要的性質(zhì)，如齊次性、加法性質(zhì)和數(shù)乘性質(zhì)。這些性質(zhì)使得線性變換在許多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。線性變換的性質(zhì)線性變換可以用矩陣表示，通過(guò)矩陣乘法可以方便地實(shí)現(xiàn)線性變換。矩陣表示也使得線性變換的計(jì)算更加簡(jiǎn)便和高效。線性變換的矩陣表示線性變換010203仿射變換的定義仿射變換是保持向量加法和標(biāo)量乘法的運(yùn)算規(guī)則，同時(shí)保持向量共線的性質(zhì)不變。即對(duì)于任意向量x和標(biāo)量k，有T(k*x)=k*T(x)和T(x+y)=T(x)+T(y)，并且如果存在一個(gè)非零向量v使得T(v)=0，那么對(duì)于任意向量u和v共線，有T(u)和T(v)也共線。仿射變換的性質(zhì)仿射變換具有一些重要的性質(zhì)，如齊次性、加法性質(zhì)和數(shù)乘性質(zhì)。這些性質(zhì)使得仿射變換在許多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。仿射變換的矩陣表示仿射變換可以用矩陣表示，通過(guò)矩陣乘法可以方便地實(shí)現(xiàn)仿射變換。矩陣表示也使得仿射變換的計(jì)算更加簡(jiǎn)便和高效。仿射變換投影變換投影變換可以用矩陣表示，通過(guò)矩陣乘法可以方便地實(shí)現(xiàn)投影變換。矩陣表示也使得投影變換的計(jì)算更加簡(jiǎn)便和高效。投影變換的矩陣表示投影變換是從一個(gè)高維空間投影到一個(gè)低維空間的映射。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于任意向