第三章 晶體中的原子熱振動課件

固體電子學(xué)導(dǎo)論第三章晶體中的原子熱振動第3章晶體中的原子熱振動3.1原子間的相互作用3.2一維單原子晶格的振動3.3一維雙原子晶格的振動3.4晶格振動的量子化及聲子3.5晶體的熱學(xué)性質(zhì)第三章晶體中的原子熱振動晶體宏觀性質(zhì)<——微觀理論固體：確定形狀，確定體積的物質(zhì)形態(tài)性質(zhì)：力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等研究對象晶體中電子狀態(tài)：假設(shè)原子或離子在格點(diǎn)附近固定不動實(shí)際上，有限溫度下，晶體中原子或離子微擾格點(diǎn)（平衡位置）附近做熱振動第三章晶體中的原子熱振動復(fù)雜：面對具體的物理現(xiàn)象（比如同樣原子組成的結(jié)構(gòu)不同的材料）微觀：從原子、電子層次（每立方1029數(shù)量級的原子、電子！）相互作用及運(yùn)動規(guī)律復(fù)雜金剛石結(jié)構(gòu)石墨第三章晶體中的原子熱振動一.原子間的互作用3.1原子間的相互作用

互作用力吸引力：異性電荷間的庫侖引力排斥力：同性電荷間的庫侖斥力及泡利原理的排斥力第三章晶體中的原子熱振動互作用勢求得兩個原子間相互作用力f，需先求得兩原子間的相互作用勢U第三章晶體中的原子熱振動當(dāng)大量原子相互靠近時,總的互作用勢U:晶體的結(jié)合能r

—最近鄰原子間距i,j=1,2,,N則U可表達(dá)為r的函數(shù)，U=U(r)第三章晶體中的原子熱振動1.離子鍵特點(diǎn):晶體結(jié)合的穩(wěn)定性導(dǎo)致導(dǎo)電性能差、熔點(diǎn)高、硬度高和熱膨脹系數(shù)小。二.原子間的鍵離子鍵是由正負(fù)離子通過庫侖引力形成的。典型的如ⅠA族元素(堿金屬)與ⅦB族元素(過渡金屬錳族元素：錳、錸、锝)之間形成。ⅠA族元素易于失去電子而帶正電荷，ⅦB族元素傾向于得到一個電子而帶負(fù)電荷，并使兩者的電子組態(tài)都變?yōu)闈M殼層。第三章晶體中的原子熱振動2.共價鍵特點(diǎn):價電子定域在共價鍵上致使導(dǎo)電性很弱。熔點(diǎn)高、硬度高。共價鍵結(jié)合有兩個基本特征：飽和性和方向性。共價鍵常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每個原子有4個價電子，能與周圍最鄰近4個原子形成4個共價鍵，每個鍵含有自旋相反的2個電子，它們來源于2個不同原子。這樣，每個原子周圍擁有8個電子，使各原子的電子組態(tài)都變?yōu)闈M殼層。第三章晶體中的原子熱振動3.金屬鍵第I族、第II族元素及過渡元素都是典型的金屬晶體。特點(diǎn):共有化電子可以在整個晶體中運(yùn)動，因此導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性良好、具有高延展性。金屬鍵常由ⅠA、ⅡA族及過渡元素原子形成。這些原子的負(fù)電性小，最外層一般有一兩個容易失去的價電子，失去價電子的原子稱為離子實(shí)。由于波函數(shù)的交疊，價電子不再屬于個別原子而為所有離子實(shí)共有，成為在金屬中自由運(yùn)動著的電子，也稱作共有化運(yùn)動。如果將共有化狀態(tài)的價電子比作電子云，可以用一個簡化的物理模型來描述金屬晶體：將離子實(shí)看作浸沒在電子云中，金屬晶體的結(jié)合力主要是來源于離子實(shí)和電子云之間的靜電作用力。第三章晶體中的原子熱振動4.分子鍵元素周期表中第VIII族元素在低溫下結(jié)合成的晶體?！菢O性分子晶體依靠瞬時偶極矩的互作用——范德瓦耳斯（VanderWaals）力特點(diǎn):透明的絕緣體，熔點(diǎn)特低（幾十K）第三章晶體中的原子熱振動氫鍵是一種氫原子參與成鍵的特殊鍵型。氫原子半徑小，電離能很大，一般情況下不易失去電子，而是與其他原子形成共價鍵。當(dāng)氫原子唯一的價電子與其他原子形成共價鍵后，電子云分布便靠近共價鍵一邊，而另一邊的原子核則暴露在外，容易通過庫侖作用與負(fù)電性大的原子相結(jié)合。5.氫鍵氫原子的這種結(jié)合可表示為

X—H…Y其中，X—H距離近，作用強(qiáng)；H…Y距離稍遠(yuǎn)，結(jié)合力相對較弱，通常稱H…Y為氫鍵。特點(diǎn):弱鍵,具有飽和性和方向性。注意：對于多數(shù)固體材料，結(jié)合力是綜合性的，同時存在著兩類或兩類以上的結(jié)合力。第三章晶體中的原子熱振動3.2一維單原子的振動近似與簡化晶格動力學(xué)方程振動能量的量子化第三章晶體中的原子熱振動一.近似與簡化三個近似絕熱近似：解除電子運(yùn)動與離子運(yùn)動間的耦合簡諧近似：將原子之間的互作用力看作彈性力最近鄰近似：僅考慮最近鄰原子之間的互作用第三章晶體中的原子熱振動二.一維單原子晶格振動的經(jīng)典理論晶格振動的動力學(xué)方程1.振動方程及行波解只考慮相鄰原子的作用，第n個原子僅受到第(n-1)個和第(n+1)個原子的作用，總的作用力是：根據(jù)牛頓定律，第n個原子的運(yùn)動方程為：第三章晶體中的原子熱振動試探解：分析：(1)觀察單個原子

—振動頻率A—振幅qna—初相位各原子作簡諧振動：第三章晶體中的原子熱振動(2)觀察整個晶格﹡

各原子振動間存在相互聯(lián)系，有固定的位相差。相鄰原子

的位相差為qa﹡﹡第三章晶體中的原子熱振動整個晶格的振動（原子振動的集體行為），構(gòu)成了一個波矢為

q的前進(jìn)波———格波。(3)在不同時間觀察整個晶格第三章晶體中的原子熱振動—色散關(guān)系為非線性關(guān)系將試探解代入運(yùn)動方程，得：2.色散關(guān)系第三章晶體中的原子熱振動討論：(1)相速度一維單原子晶格振動的色散關(guān)系(長波近似)結(jié)論：第三章晶體中的原子熱振動色散曲線(2)(q)具有對稱性和周期性將q限制在區(qū)間(第一布里淵區(qū))即可,在這以外并不提供新的格波.第三章晶體中的原子熱振動兩者相差倒格矢的整數(shù)倍狀態(tài)等價第三章晶體中的原子熱振動(3)(q)的取值范圍第三章晶體中的原子熱振動3.周期性邊界條件設(shè)晶格由N個原胞構(gòu)成,那么周期性邊界條件第三章晶體中的原子熱振動q取N個分立的值，相應(yīng)地

也取N個分立的值。在單原子晶格中可以傳播的格波數(shù)為N，或者說有N種振動模式。+q與–q是不等效的，前者相應(yīng)與于向右傳播的波，而后者相應(yīng)與于向左傳播的波。第三章晶體中的原子熱振動1.振動方程與解振動方程3.3一維雙原子晶格的振動第三章晶體中的原子熱振動代入振動方程，有試探解第三章晶體中的原子熱振動上式齊次線性方程組，A、B有不為零的解，其系數(shù)行列式為零：最后得：第三章晶體中的原子熱振動雙原子晶格振動存在兩種色散關(guān)系。討論：2.色散關(guān)系(1)

(q)具有對稱性和周期性第三章晶體中的原子熱振動(2)

(q)的取值范圍第三章晶體中的原子熱振動光學(xué)波聲學(xué)波第三章晶體中的原子熱振動長波近似，類似于連續(xù)介質(zhì)第三章晶體中的原子熱振動3.聲學(xué)波與光學(xué)波從相鄰原子的振幅比來討論聲學(xué)波與光學(xué)波的特點(diǎn)：<0>0光學(xué)波：表明基元中原子反向振動。聲學(xué)波：表明基元中原子同向振動。從前面的方程組，得：第三章晶體中的原子熱振動滿足力的平衡條件，質(zhì)心基本不動。以同一振幅剛性地振動。質(zhì)量小的原子對短光學(xué)波貢獻(xiàn)大。質(zhì)量大的原子對短聲學(xué)波貢獻(xiàn)大。長波近似短波近似第三章晶體中的原子熱振動4.周期性邊界條件設(shè)晶體由N個原胞構(gòu)成，則周期性邊界條件為：對于雙原子晶格，在一個布里淵區(qū)內(nèi)，q取N個分立的值，而每一個q又對應(yīng)兩個

值。在一維雙原子晶格中可以傳播的格波數(shù)為2N，或者說有2N種振動模式。其中N個聲學(xué)波，N個光學(xué)波。第三章晶體中的原子熱振動5.三維晶格(1)運(yùn)動方程及其解設(shè)晶體原胞的基矢為a1、a2、a3；沿基矢方向晶體各有N1、N2、N3個原胞，即晶體一共有N＝N1N2N3個原胞；每個原胞內(nèi)有n個原子，質(zhì)量為第l個原胞第p個原子的平衡點(diǎn)位置矢量為

p—原胞內(nèi)第p個原子的位置矢量。第三章晶體中的原子熱振動每個原胞中，n個不同原子平衡位置的相對坐標(biāo)為該原子相對于平衡點(diǎn)的位移為它沿坐標(biāo)軸的分量為第三章晶體中的原子熱振動上式是3nN個相耦合的運(yùn)動方程組。是原子(l,p)與原子(l’,p’)之間的準(zhǔn)彈性力系數(shù)第p個原子在

方向的運(yùn)動方程為第三章晶體中的原子熱振動把一維晶格動力學(xué)方程的試解加以推廣，設(shè)三維晶格行波試解為：第三章晶體中的原子熱振動將試探解代入運(yùn)動方程，可得到3n個線性齊次聯(lián)立方程(由于晶格的平移對稱性，使得3nN個聯(lián)立方方程組減少到3n個)：使Ap

有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零：由此可得到3n個色散關(guān)系每個色散關(guān)系代表一支格波，共有3n支格波。第三章晶體中的原子熱振動格波色散關(guān)系中，有3支當(dāng)這三支稱為聲頻波。另外3n-3支描述原胞內(nèi)各個原子之間的相對運(yùn)動，稱為光學(xué)支。它們是描述原胞與原胞之間的相對運(yùn)動，其色散關(guān)系在長波近似下與彈性波類似，稱為聲學(xué)支；第三章晶體中的原子熱振動波矢空間以b1、b2、b3為倒基矢，則波矢q為(2)周期性邊界條件確定模式數(shù)目根據(jù)波恩－卡門邊界條件第三章晶體中的原子熱振動或?qū)懗捎?6)式，得邊界條件表示，沿著ai方向，原胞的標(biāo)數(shù)增加Ni振動情況相同。第三章晶體中的原子熱振動即也就是說應(yīng)用到關(guān)系h1、h2、h3為整數(shù)。代回(4)式第三章晶體中的原子熱振動代表q空間均勻分布的點(diǎn).若Kh是倒格矢，則不變。因此q的取值可限制在第一布里淵區(qū)之內(nèi)。第一布里淵區(qū)里共有N=N1N2N3個q值。第三章晶體中的原子熱振動倒空間原胞體積：原胞體積波矢q的點(diǎn)在布里淵區(qū)中的密度為第三章晶體中的原子熱振動如果q改變一個倒格子矢量從三維晶格行波試解：可以看出，q的作用只在于確定不同原胞之間振動位相的聯(lián)系，具體表現(xiàn)在位相因子：由于不影響位相因子，因而對格波的描述沒有任何區(qū)別。第三章晶體中的原子熱振動對每一個波矢q，有3n個

j(q)與之對應(yīng)，每一組(

,q)表示晶格的一種振動模式，可知三維晶體中振動模式數(shù)目為3nN個。對于有N個原胞的三維晶體，每個原胞有n個原子，每個原子有3個自由度，所以晶體的總自由度數(shù)也是3nN。波矢q增加一個倒格矢，原子位移保持不變。－－第一布里淵區(qū)。晶格振動的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)N；格波振動模式數(shù)等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和3nN。概括起來，我們得到以下結(jié)論：第三章晶體中的原子熱振動

一維單原子的自由度數(shù)為N，振動模式數(shù)(格波數(shù))與此相同為N。

一維雙原子的自由度數(shù)為2N，振動模式數(shù)(格波數(shù))與此相同為2N。推廣結(jié)論：晶格振動的波矢數(shù)=晶體的原胞數(shù)晶格振動的模式數(shù)=晶體的自由度數(shù)一維單原子一維雙原子三維多原子每個原胞含有的原子數(shù)晶體含有的原胞數(shù)晶體的自由度數(shù)q數(shù)

數(shù)12lNNNN2N3lNNNNN2N3lN第三章晶體中的原子熱振動例:設(shè)一長度為L的一價正負(fù)離子構(gòu)成的一維晶格，正負(fù)離子間距為a，正負(fù)離子的質(zhì)量分別為m+和m-，近鄰兩離子的互作用勢為式中e為電子電荷,b和n為參量常數(shù)，求(1)參數(shù)b

與e、n

、a的關(guān)系；(2)恢復(fù)力系數(shù)

；(3)q0時的光學(xué)波頻率

0；(4)長聲學(xué)波的速度

A。第三章晶體中的原子熱振動§3.4晶格振動的量子化及聲子理論考慮：前面根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動方程的方法，求解一維鏈的振動模，得出如下結(jié)論：晶體中原子集體振動---格波，可展開成平面波的線性迭加。對微弱振動(簡諧近似)，每個格波就是一個簡諧波，格波之間的相互作用可忽略，形成獨(dú)立格波模式。玻恩-卡門邊界條件下，得到分立的獨(dú)立格波模式，可用獨(dú)立簡諧振子來表述。下面根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡正坐標(biāo)，直接過渡到量子理論，并引入聲子概念－－晶格振動中的簡諧振子的能量量子。第三章晶體中的原子熱振動一、簡諧近似和簡正坐標(biāo)數(shù)學(xué)處理：通過引入簡正坐標(biāo)，將晶格振動總能量(哈密頓量)=動能+勢能=獨(dú)立簡諧振子能量之和

經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，晶格振動是一個典型的小振動問題，凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時，該力學(xué)體系的運(yùn)動都是小振動。前面關(guān)于晶格的運(yùn)動方程之所以能夠化成線性齊次方程組，是簡諧近似的結(jié)果，即忽略原子相互作用的非線性項(xiàng)得到的。處理小振動問題的理論方法和主要結(jié)果－－做為晶格振動這部分內(nèi)容的理論基礎(chǔ)。第三章晶體中的原子熱振動一、簡諧振動與簡正坐標(biāo)設(shè)晶體由N個原子組成，考慮原子振動，每個原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動動能：第三章晶體中的原子熱振動前面已經(jīng)討論過，原子處于平衡位置時，原子間的相互作用勢能U取最小值。原子相互作用勢能是這些位移分量的函數(shù)，即相互作用勢能是原子偏離平衡位置位移的函數(shù)。N個原子的位移矢量共有3N個分量，寫成一.簡諧振動與簡正坐標(biāo)第三章晶體中的原子熱振動在平衡位置展開成泰勒級數(shù)因在平衡位置勢能取極小值，所以上式右端第二項(xiàng)為零，若取U0=0，并略去二次以上的高次項(xiàng)，得到上式即為簡諧近似下，勢能的表示式，包含了位移交叉項(xiàng)。將第三章晶體中的原子熱振動處理小振動問題一般都取簡諧近似。

對于一個具體的物理問題是否可以采用簡諧近似，要看在簡諧近似條件下得到的理論結(jié)果是否與實(shí)驗(yàn)相一致。在有些物理問題中就需要考慮高階項(xiàng)的作用，稱為非諧作用。第三章晶體中的原子熱振動為了消去勢能中的交叉項(xiàng)，使問題簡化，引入簡正坐標(biāo)N個原子體系的動能函數(shù)為簡正坐標(biāo)與原子的位移坐標(biāo)之間的正交變換關(guān)系：在簡正坐標(biāo)中，勢能和動能化成第三章晶體中的原子熱振動由上式可得出正則動量振動系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：于是系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)化成將上式代入正則方程第三章晶體中的原子熱振動得到這是3N個相互無關(guān)的諧振子的運(yùn)動方程，表明各簡正坐標(biāo)描述獨(dú)立的簡正振動。

借助簡正坐標(biāo)，將N個相互耦合關(guān)聯(lián)的原子組成的晶格的振動轉(zhuǎn)化為3N個獨(dú)立的諧振子的簡諧振動。其中，任意簡正坐標(biāo)的解為：振動的圓頻率第三章晶體中的原子熱振動原子的位移坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)間存在著正交變換關(guān)系：上式表明，每一個原子都以相同的頻率作振動。當(dāng)只考慮某一個Qj的振動時，位移坐標(biāo)可表示為

一個簡正振動與位移坐標(biāo)不同，不再只和個別原子相聯(lián)系，而是表示整個晶體所有原子都參與的振動，而且它們振動頻率相同。第三章晶體中的原子熱振動二、一維簡單晶格說明二個問題：（1）簡正坐標(biāo)的引入前面根據(jù)牛頓定理得到的原子運(yùn)動方程的試解為晶格振動等價于N個諧振子的振動，諧振子的振動頻率就是晶格的振動頻率；根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動方程的方法，求鏈的振動模，與根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡正坐標(biāo)是等效的。第三章晶體中的原子熱振動表示第q個格波引起第n個原子的位移，而第n個原子的總位移應(yīng)為所有格波引起的位移的疊加在簡諧近似和最近鄰近似下，一維單原子晶格的振動總能量為勢能項(xiàng)第三章晶體中的原子熱振動中出現(xiàn)了交叉項(xiàng)，為了消去勢能中的交叉項(xiàng)，把原子總位移的表達(dá)式變換一下形式，寫成：勢能項(xiàng)則第三章晶體中的原子熱振動與簡正坐標(biāo)和原子位移坐標(biāo)的定義關(guān)系式其中Q(q)就是簡正坐標(biāo)，它表示了格波的振幅，而線性變換系數(shù)為Q(q)是否就是簡正坐標(biāo)，需要證明經(jīng)過上面的變換后，動能和勢能都具有平方和的形式。比較，得為了證明這一點(diǎn)，需要利用以下兩個關(guān)系式：第二個關(guān)系式，實(shí)際就是線性變換系數(shù)的正交條件第一個關(guān)系式可以從原子位移為實(shí)數(shù)的條件得到，因?yàn)橐部梢詫懗梢驗(yàn)樵游灰苮n為實(shí)數(shù)，所以比較上面兩式，可得上式兩端取共軛第二個關(guān)系式，線性變換系數(shù)的正交條件當(dāng)q≠q’時，當(dāng)q=q’時，顯然成立。s為整數(shù)，故有第三章晶體中的原子熱振動利用上述證明的兩個關(guān)系式，可化簡系統(tǒng)動能和勢能的表達(dá)式。利用等比級數(shù)前n項(xiàng)求和公式第三章晶體中的原子熱振動晶格動能：當(dāng)時第三章晶體中的原子熱振動有同理可求出晶格勢能：其中是一維簡單格子的色散關(guān)系。第三章晶體中的原子熱振動這樣可以寫出晶格振動總能量如下：至此，晶格的動能和勢能都化成了平方和的形式，這說明Q(q)確實(shí)是系統(tǒng)的簡正坐標(biāo)。第三章晶體中的原子熱振動

引入簡正坐標(biāo)以后：晶格振動總能量可以表示為N個獨(dú)立簡諧振子能量之和。所引入的線性變換可與量子力學(xué)中的表象變換類比考慮:實(shí)際坐標(biāo)空間的N個相互作用的原子體系的微振動和簡正坐標(biāo)所構(gòu)成的態(tài)空間中N個獨(dú)立諧振子等效第三章晶體中的原子熱振動三、聲子根據(jù)量子力學(xué)對諧振子的處理，頻率為ωq的諧振子的能量本征值是所以晶格的總能量上述結(jié)論可直接推廣到三維情況，三維晶格的振動總能量為第三章晶體中的原子熱振動

引入聲子的概念：由于格波的能量是以為單位量子化的，通常把這個能量量子稱為聲子。

聲子是玻色子：

聲子既具有能量又具有動量，即具有粒子的屬性，所以可以把聲子看成是一種“準(zhǔn)粒子”。由于同種聲子(ω和q都相同的聲子)之間不可區(qū)分而且自旋為零，聲子是玻色子。

平均聲子數(shù)：

由于對每個聲子能級，聲子的占據(jù)數(shù)沒有限制，聲子遵從玻色統(tǒng)計，對能級的平均占據(jù)數(shù)由普朗克公式給出：第三章晶體中的原子熱振動

聲子的準(zhǔn)動量

聲子不僅是一個能量子，它還具有“動量”。波矢q的方向代表格波的傳播方向，引入聲子概念后它就是聲子的波矢，其方向代表聲子的運(yùn)動方向，類似光子，稱為聲子的準(zhǔn)動量。第三章晶體中的原子熱振動引入聲子概念后，給處理有關(guān)晶格振動問題帶來極大方便：(1)簡諧近似下晶格振動的熱力學(xué)問題可看做由3nN種不同聲子組成的理想氣體系統(tǒng)，如果考慮非諧效應(yīng)，可看成有相互作用的聲子氣體。(2)光子、電子、中子等與晶格振動相互作用，可看成是光子、電子、中子等與聲子的碰撞作用，使得問題的處理大大簡化。(3)元激發(fā)：聲子反映的是晶格原子集體運(yùn)動狀態(tài)的激發(fā)單元，固體中微觀粒子在特定相互作用下產(chǎn)生的集體運(yùn)動狀態(tài)的的激發(fā)單元常稱為元激發(fā)。相互作用性質(zhì)不同，對應(yīng)不同的元激發(fā)，但處理這些元激發(fā)的理論方法是相類似的。第三章晶體中的原子熱振動§3.4晶格振動譜的實(shí)驗(yàn)測定方法除了少數(shù)幾個極簡單模型，其晶格振動譜可以從理論上導(dǎo)出外，絕大部分實(shí)際晶體的晶格振動譜需要實(shí)驗(yàn)測定。一、定義：晶格振動譜就是格波的色散關(guān)系ω（q），也稱聲子譜。

實(shí)驗(yàn)測定ω（q）:粒子與晶格振動的非彈性散射

中子、光子等與聲子的碰撞。當(dāng)中子、光子入射到晶體，可以和晶格振動交換能量，總是以為單元交換能量。使諧振子從一個激發(fā)態(tài)躍遷到另一個激發(fā)態(tài)。用聲子概念說，就是產(chǎn)生或者消滅了一個聲子，發(fā)射或吸收一個聲子。第三章晶體中的原子熱振動

晶格振動譜的實(shí)驗(yàn)測定方法，主要有兩類：光子散射方法，中子散射方法。

二、光子散射設(shè)入射光子的頻率為Ω，波矢為k，與頻率為ω、波矢為q的聲子碰撞后，光子的頻率和波矢分別變成碰撞過程中，能量守恒和準(zhǔn)動量守恒。兩種過程：吸收聲子過程：第三章晶體中的原子熱振動以上四式可化成以下兩式產(chǎn)生（又稱發(fā)射）聲子過程：第三章晶體中的原子熱振動當(dāng)入射光的頻率Ω及波矢k一定，在不同方向(k’的方向)測出散射光的頻率Ω’，由Ω與Ω’的差值求出聲子頻率ω，由k與k’的方向及大小求出聲子波矢q的大小及方向，即可求出晶格振動頻譜。

實(shí)驗(yàn)方法：第三章晶體中的原子熱振動

測定長聲學(xué)格波的部分頻譜，實(shí)驗(yàn)還可進(jìn)一步簡化:光被長聲學(xué)波的散射稱為布里淵散射。由于長聲學(xué)波的能量非常小，q→0（不會超出第一布里淵區(qū)），因此，散射光的頻率和波矢的改變非常小，可以近似認(rèn)為即右圖中三角形近似為等腰三角形，聲子波矢的?？捎上率角蟮胟q波矢q的方向由光子入射方向與散射方向決定，即由方向決定。由此即可確定出傳播方向上長聲學(xué)波的頻譜第三章晶體中的原子熱振動其中是晶體中的聲速。喇曼散射：

光子和長光學(xué)波聲子相互作用，稱這類光子的散射為光子的喇曼散射。

由于長光學(xué)波聲子能量較大，其頻率基本與波矢無關(guān)，（可由光學(xué)波的色散關(guān)系曲線非常平緩看出），所以喇曼頻移相當(dāng)大。三、中子散射方法中子與聲子相互作用滿足能量守恒及動量守恒定律。設(shè)中子的質(zhì)量：m，入射中子的動量：P，散射后中子的動量：由散射過程中能量守恒，得由動量守恒，得第三章晶體中的原子熱振動＋號對應(yīng)吸收一個聲子的過程，的兩聲子是等價的條件。動量守恒中利用了波矢q與波矢倒逆散射過程或U過程。正常散射過程。－號對應(yīng)發(fā)射一個聲子的過程。第三章晶體中的原子熱振動由（10）式求出波矢的模由（9）式求出頻率，即可確定出某方向上的振動譜對于正常散射過程，由（7）和（8）兩式分別得與的夾角求出波矢的方向由第三章晶體中的原子熱振動3.4晶格振動的量子化及聲子量子理論晶格振動能量量子化1.晶格振動的哈密頓函數(shù)H——一維單原子晶格振動H=T+U第三章晶體中的原子熱振動xn

按傅里葉級數(shù)展開：第三章晶體中的原子熱振動利用xn式的變換關(guān)系,經(jīng)過一定的運(yùn)算,有上式中的

q

即為格波可能具有的頻率,若令則晶格振動的總能量,即系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可寫成:其中,每一單項(xiàng)就代表一個諧振子的能量.第三章晶體中的原子熱振動根據(jù)量子力學(xué),頻率為

q的諧振子的能量是量子化的一維單原子系統(tǒng)的總能量則為：三維多原子系統(tǒng)的總能量則為：2.能量量子化第三章晶體中的原子熱振動3.聲子的概念從系統(tǒng)的總能量表達(dá)式看出：為振子的能量量子，對晶格的格波而言，即為格波的能量量子---聲子

引入聲子概念后，對于晶格振動的每一個格波，可以看作是由數(shù)目為、能量為的聲子組成的，而整個系統(tǒng)則是由眾多聲子組成的聲子氣體。引入聲子的意義：(1)生動的反映了晶格振動能量量子化的特點(diǎn)。(2)處理晶格振動有關(guān)的問題時，可以更加方便和形象。(例:晶格振動對電子波、光波的散射等。)第三章晶體中的原子熱振動(1)聲子是準(zhǔn)粒子動量不確定。(2)聲子是玻色子q與q+Gh

代表同一振動狀態(tài)（當(dāng)q增加一個倒格矢Gh時，不會引起

q和原子位移的變化。）特點(diǎn)：

聲子氣體屬玻色子系統(tǒng)，不受泡利原理的限制。系統(tǒng)處于熱平衡時，頻率為

j的格波的平均聲子數(shù)由玻色統(tǒng)計給出.

第三章晶體中的原子熱振動(3)粒子數(shù)目不守恒隨著溫度的變化，系統(tǒng)中的聲子數(shù)將發(fā)生變化。第三章晶體中的原子熱振動4.聲子譜的測定方法中子的非彈性散射聲子對中子的非彈性散射可以用來測量聲子能譜。散射過程遵守能量守恒和波矢守恒：第三章晶體中的原子熱振動

只要測出各個方位上散射前后的中子能量差，并根據(jù)散射前后中子束的幾何關(guān)系求出，就可決定聲子的振動譜。三軸中子譜儀第三章晶體中的原子熱振動以N個原子構(gòu)成的三維單原子晶格為例1.經(jīng)典理論的困難每個自由度平均能量k0T，系統(tǒng)總能量=3Nk0T結(jié)論：經(jīng)典理論的結(jié)果在低溫段與實(shí)際不符。定容熱容:一.晶格振動的熱容量3.5晶體的熱學(xué)性質(zhì)杜隆——鉑蒂定律第三章晶體中的原子熱振動量子理論:頻率為

j的格波的平均聲子數(shù)為:平均能量:系統(tǒng)總能量:2.晶格熱容的一般表示式第三章晶體中的原子熱振動

j密集,近似為連續(xù)系統(tǒng)定容熱容:第三章晶體中的原子熱振動假設(shè):由得：3.愛因斯坦模型第三章晶體中的原子熱振動高溫:低溫:T—>0時，CV以指數(shù)方式—>0.局限性:溫度很低時,實(shí)