金融工程未定

第一章1、無(wú)套利定價(jià)P17案例1.2假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格或者為11元，或者為9元。假設(shè)選擇的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，如何為一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票看漲期權(quán)定價(jià)？為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和△單位標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，△必須滿足：11A-0.5=9A得到：卜=0.25而該組合在期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值恒等于2.25元。2.25e-o.ixo.25=2.19元該組合的現(xiàn)值應(yīng)為由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市價(jià)為10元，因此1ox0.2-f二2.1f二0.3元2、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法P18案例1.3假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格或者為11元，或者為9元。假設(shè)選擇的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，如何為一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票看漲期權(quán)定價(jià)？假定在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，該股票上升的概率為P,下跌的概率為1-P。則根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)定力我們有eo.1 o.2511P險(xiǎn)中性定價(jià)定力我們有eo.1 o.2511P+9(1=1oP=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，期權(quán)價(jià)值為f=e-o.1xo.25(0.5x0.6266+0x0.3734)=0.31元3、P2511題每月計(jì)一次復(fù)利的年利率為15%，請(qǐng)計(jì)算與之等價(jià)的連續(xù)復(fù)利年利率連續(xù)復(fù)利年利率=12ln(1+0.15/12)=14.91%第二章P26圖2.1可能畫(huà)圖，遠(yuǎn)期，期貨，期權(quán)選一個(gè)第三章習(xí)題1，41、假設(shè)一種無(wú)紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該股票3個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。如果三個(gè)月后該股票的市價(jià)為15元，求這份交易數(shù)量為100單位的遠(yuǎn)期合約多頭方的價(jià)值.答案：F=Ser(Tt)=20eo.1o.25=20.51三個(gè)月后，對(duì)于多頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為(I5-2°.51)xlOO=-5514、某股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價(jià)等于30元，所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭，交易單位為100。請(qǐng)問(wèn)：1.該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值等于多少？2.3個(gè)月后，該股票價(jià)格漲到35元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率仍為6%，此時(shí)遠(yuǎn)期價(jià)格和該合約空頭價(jià)值等于多少？答案：2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值二e-0.06(2/12+e-0.06(5/12=1.97元。遠(yuǎn)期價(jià)格=(30-1.97)e0.06(0.5=28.88元。若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為0。在3個(gè)月后的這個(gè)時(shí)點(diǎn)，2個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值二e-0.06(2/12=0.99元。遠(yuǎn)期價(jià)格二(35-0.99)e0.06(3/12=34.52元。此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值=100x(28.88-34.52)e-0.06(3/12=-556元。第四章P72案例4.3套期保值假設(shè)投資者A持有某種現(xiàn)貨資產(chǎn)價(jià)值1000000元，目前現(xiàn)貨價(jià)格為100元。擬運(yùn)用某種標(biāo)的資產(chǎn)與該資產(chǎn)相似的期貨合約進(jìn)行3個(gè)月期的套期保值。如果該現(xiàn)貨資產(chǎn)價(jià)格季度變化的標(biāo)準(zhǔn)差為0.65元，該期貨價(jià)格季度變化的標(biāo)準(zhǔn)差為0.81元，兩個(gè)價(jià)格變化的相關(guān)系數(shù)為0.8，每份期貨合約規(guī)模為100000元，期貨價(jià)格為50元。請(qǐng)問(wèn)三個(gè)月期貨合約的最優(yōu)套期保值比率是多少？應(yīng)如何進(jìn)行套期保值操作？最優(yōu)套期保值比率為n=pZh=0.8x065=0.64TOC\o"1-5"\h\zHGZ 0.81G因此，投資者A應(yīng)持有的期貨合約份數(shù)為\o"CurrentDocument"1000000100 cnx =3.210000050投資者應(yīng)持有3份期貨空頭，以實(shí)現(xiàn)套期保值。第六章利率互換p106案例6.1協(xié)議時(shí)間：2007年1月18日交易雙方：興業(yè)銀行與花旗銀行利率互換期限：自2007.1.18起期限為一年約定：每三個(gè)月交換一次現(xiàn)金流如下2.98%興業(yè)銀準(zhǔn)二 °二花旗銀行3個(gè)月期SMgOT?名義本金未披露時(shí)點(diǎn)3個(gè)月期SHIBOR收到的浮動(dòng)利息支付的固定利息凈現(xiàn)金流2007.1.182.8080%-2007.4.182.9049%2S0S0%=000702198%=0.00745-0.000432007.7.183.1421%^190490^0.00726298°°=0.00745-0.000192007.10.183.8757%^3.1421%=0007g6298%=0.007450.000412008.1.18^■8757%~0.00969298%=0.00745 0.00224第七章p126案例7.1設(shè)在一筆利率互換協(xié)議中，某金融機(jī)構(gòu)支付3個(gè)月期的LIBOR,同時(shí)收取4.8%的年利率（3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有9個(gè)月的期限。目前3個(gè)月、6個(gè)月和9個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利，它就是貼現(xiàn)率）分別為4.8%、5%和5.1%。試計(jì)算此筆利率互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值。在這個(gè)例子中k=（4.8%/4）*1億=120萬(wàn)美元，B=120~0.04沁25+120~0.05<0.5+101201-0.05k0.75=9975?825fix由浮動(dòng)利率債券價(jià)值公式有"衆(zhòng)二10000萬(wàn)美元因此，對(duì)于該金融機(jī)構(gòu)而言，此利率互換的價(jià)值為99758253.97—100000000=—241746.03美元（空頭方，收固支?。╋@然，對(duì)于該金融機(jī)構(gòu)的交易對(duì)手來(lái)說(shuō)，此筆利率互換的價(jià)值為正，即241746.03美元。要確定利率互換的固定利率，可以令互換初始價(jià)值為0，解方程求出k。+ =126.32501672-1rr001?67第十章課后習(xí)題1.2.3.4.61、某投資者買(mǎi)進(jìn)一份歐式看漲期權(quán)，同時(shí)賣(mài)出一份標(biāo)的資產(chǎn)、期限和協(xié)議價(jià)格都相同的歐式看跌期權(quán)，請(qǐng)描述該投資著的盈虧狀況，并揭示相關(guān)衍生產(chǎn)品之間的關(guān)系。答案：該投資者最終的回報(bào)為：max（ST-X,0）+min（ST-X,0）=ST-X可見(jiàn)，這相當(dāng)于協(xié)議價(jià)格為X的遠(yuǎn)期合約多頭。本習(xí)題說(shuō)明了如下問(wèn)題：歐式看漲期權(quán)多頭和歐式看跌期權(quán)空頭可以組成遠(yuǎn)期合約多頭；歐式看漲期權(quán)空頭和歐式看跌期權(quán)多頭可以組成遠(yuǎn)期合約空頭。遠(yuǎn)期合約多頭可以拆分成歐式看漲期權(quán)多頭和歐式看跌期權(quán)空頭；遠(yuǎn)期合約空頭可以拆分成歐式看漲期權(quán)空頭和歐式看跌期權(quán)多頭。當(dāng)X等于遠(yuǎn)期價(jià)格時(shí)，遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為0。此時(shí)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值相等。2、 假設(shè)現(xiàn)在是5月份，A股票價(jià)格為18元，期權(quán)價(jià)格為2元。甲賣(mài)出1份A股票的歐式看漲期權(quán)，9月份到期，執(zhí)行價(jià)格為20元。如果期權(quán)到期時(shí)A股票價(jià)格為25元，請(qǐng)問(wèn)甲在整個(gè)過(guò)程中的現(xiàn)金狀況如何？他在5月份收入200元，9月份付出500元（二（25-20）x100）。3、 設(shè)某一無(wú)紅利支付股票的現(xiàn)貨價(jià)格為30元，連續(xù)復(fù)利無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%。求該股票的執(zhí)行價(jià)格為27元、有效期為3個(gè)月的看漲期權(quán)價(jià)格的下限。下限為：30—27e-0.06xo.25=3.40兀。4、 某一協(xié)議價(jià)格為25元，有限期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為2元，標(biāo)的股票價(jià)格為24元，該股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后各支付0.5元股息，所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為8%。請(qǐng)問(wèn)該股票的執(zhí)行價(jià)格為25元、有限期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格等于多少？看跌期權(quán)價(jià)格為：p二c+Xe-rT+D-S0=2+25e-o.5xo.o8+O.5e-o.i667xo.o8+O?5e-o.4i67xo.o8-24=3.OO兀6、標(biāo)的股票價(jià)格為31元，執(zhí)行價(jià)格為30元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，3個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為3兀，歐式看跌期權(quán)價(jià)格為2.25，如何套利？如果看跌期權(quán)價(jià)格為1兀呢？當(dāng)P=225時(shí)，c+XeO=32.26,p+S=33.25，所以正確套利方法為買(mǎi)入看漲期權(quán)，賣(mài)空看跌期權(quán)和股票，將凈現(xiàn)金收入3o.25元進(jìn)行3個(gè)月的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資,到期時(shí)將獲得31.o2元。如果到期時(shí)股票價(jià)格高于3o元，將執(zhí)行看漲期權(quán)，如果低于3o元，看跌期權(quán)將被執(zhí)行，因此無(wú)論如何，投資者均將按照3o元購(gòu)買(mǎi)股票，正好用于平倉(cāng)賣(mài)空的股票，因此將獲得凈收益1.o2。當(dāng)p=1時(shí)，c+Xe")二32.26,p+S=32，所以正確套利方法為賣(mài)出看漲期權(quán)，買(mǎi)入看跌期權(quán)和股票，需要的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入，到期時(shí)需償付的現(xiàn)金流將為29.73,如果到期時(shí)股票價(jià)格高于3o元，看漲期權(quán)將被執(zhí)行，如果低于3o元，投資者將執(zhí)行看跌期權(quán)，因此無(wú)論如何，投資者均將按照3o元出售已經(jīng)持有的股票，因此將獲得凈收益o.27。第十三章課后習(xí)題3.4(考證明題)3、試證明：用看漲期權(quán)構(gòu)造的牛市差價(jià)組合期初現(xiàn)金流量為負(fù)，用看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市差價(jià)組合。答案：牛市差價(jià)組合可以由一份看漲期權(quán)多頭與一份同一期限較高協(xié)議價(jià)格的看漲期權(quán)空頭組成，也可以由一份看跌期權(quán)多頭與一份同一期限、較高協(xié)議價(jià)格的看跌期權(quán)空頭組成。由于協(xié)議價(jià)格越高，看漲期權(quán)價(jià)格越低，看跌期權(quán)價(jià)格越高，因此用看漲期權(quán)構(gòu)造的牛市差價(jià)組合期初現(xiàn)金流為正，而用看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市差價(jià)組合期初現(xiàn)金流為負(fù)。設(shè)執(zhí)行價(jià)格為X和X，X>X。則兩者的最終收益差距如下表:ST的范圍看漲期權(quán)牛市價(jià)差組合1|看跌期權(quán)牛市價(jià)差組合收益差異S>XT 2X-X+c-c2121P—P21X—X+c—c—p+p=X —X +(c -p)—(；—p )2 1x2 2 ￥ /1 、=X —X +(S —Xe-rt)—(S — Xe-J2 1x0 2 0 1=(X—X)(1—e-rt)>021X<S<X1 T 2S—X+c—cT 1 2 1S—X+p—pT 2 2 1同上S<XIt 1 1c—c1211X—X+p—p112211同上可見(jiàn)，前者的最終收益大于后者。4、試證明:無(wú)論用看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)構(gòu)造，正向和反向蝶式差價(jià)組合最終受益都相同，并且最初投資也相同。答案：由看漲期權(quán)構(gòu)造的蝶式差價(jià)組合初始投資為2c-c-c，由看跌期權(quán)構(gòu)造的213

蝶式差價(jià)組合的初始投資為2p-p-p。兩者初始投資之差等于2c-p)-c-p)-c-由看跌看漲期權(quán)平價(jià)公式可知，-p=S-Xer(t-t),i=1,2,3而2X=2X+；,因此兩者初始投資是相等的。兩者的最終收益差距如下表：S的范圍T——3 1看漲期權(quán)構(gòu)造的蝶式差價(jià)組合看跌期權(quán)構(gòu)造的蝶式差價(jià)組合收益差異S<XT 12c一c一c2 1 32p—p—p2 1 32c—c—c—(2p—p—p)2 1 3 2 1 3=2(c —p)—(c —p +c —p )2 2 113 3=2(Xe-rt—