遼寧省大連市達(dá)肯職業(yè)高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省大連市達(dá)肯職業(yè)高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)

考試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的

2

/(x)=Inx—

1.函數(shù).x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(1,2)B,(2而C.(%3)

D.⑶制

參考答案：

B

3—:

2.1是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)匚7=()

A.2+iB.1-2Jc.1+2;D.2-i

參考答案：

A

略

j_[[1ol

3.設(shè)ae'彳'，則使函數(shù)y=x"的定義域是R,且為奇函數(shù)的所有a的值是

()

A.1,3B.-blC.-1,3D.-1,1,3

參考答案：

A

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；函數(shù)奇偶性的判斷.

【專題】計(jì)算題.

1

【分析】分別驗(yàn)證a=-1,1,2,3知當(dāng)a=l或a=3時(shí)，函數(shù)y=x*■的定義域是R且為奇函

數(shù).

【解答】解：當(dāng)a=-1時(shí)，y=x-'的定義域是x|x#0,且為奇函數(shù)；

當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)y=x的定義域是R且為奇函數(shù)；

11

當(dāng)@=力時(shí)，函數(shù)y=x2的定義域是xx20且為非奇非偶函數(shù).

當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)y=x的定義域是R且為奇函數(shù).

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查幕函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握基函數(shù)的概念和性質(zhì).

4.某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度（支持與不支持）的關(guān)系，運(yùn)用

2X2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算r=7.069,則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論為：有多

大把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”.

附:

PdCko)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

(A)0.1%(B)l%(099%(D)99.9%

參考答案：

5.設(shè)向量，滿足"1=1,2=2,a(0+加=0,則匚與g的夾角是()

A.30"B.60'C.90*D.120,

參考答案：

D

略

6.已知等差數(shù)列｛an｝的公差d押，Sn為其前n項(xiàng)和，若a2,a3,許成等比數(shù)列，且al0=-

17,則2'的最小值是()

」-1-115

A.2B.8C.?D.32

參考答案：

A

【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得(ai+2d)2=(a1+d)(al+5d),解可得

%-n」+2n$肝1SnS.Sn

ai、d的值，進(jìn)而討論可得ai、d的值，即可得2"=2n,2n+1>2nJ&2n_1>2n,

SnSn-n2+Zn

解出n的值，解可得n=4時(shí)，2”取得最小值；將n=4代入2n=2n中，計(jì)算可得答

案.

【解答】解：???等差數(shù)列㈤｝的公差存0,a2,a3,溫成等比數(shù)列，且aio=-17,

:.(ai+2d)2=(ai+d)(ai+5d),aio=ai+9d=-17

解得d=-2,a】=l或d=0,ai=-17(舍去)

n(n-l)X(-2)

2

當(dāng)d=-2時(shí)，Sn=n+2=-n+2n,

%-d+Zn

則272n,

$n+l$n$n-l

令尹之戶且行］了，

解可得2+J§^nW3+J^,

$nSqi

----X

即n=4時(shí)，2n取得最小值，且24=一2；

故選：A.

7.已知集合P=｛Q1,,則集合M的子集個數(shù)為(

)

A.32B.16C.31D.64

參考答案：

B

身P={M則x有如下情況：,{吼

則有子集為片=2*=16

注意點(diǎn)：該類型常錯在空集,

8.已知函數(shù)y=f（x）的周期為2,當(dāng)xJ-川時(shí)f（x）=x；那么函數(shù)y=f（x）

的圖像與函數(shù)y=配入|的圖像的交點(diǎn)共有（）

（A）10個（B）9個（C）8個（D）1個

參考答案：

A

略

2

9.設(shè)首項(xiàng)為1,公比為5的等比數(shù)列（凡；的前〃項(xiàng)和為則（）

A.B.S「犯-2C.4-肛D.'-3-見

參考答案：

D

7T

10.已知：函數(shù)f（x）=cos（2x+6）,（-兀＜6Vn）的圖象向右平移T個單位后與

逅

函數(shù)y=sinxcosx+2cos2x的圖象重合，則|6可以為（）

兀兀兀5幾

A.6B.3C.2D.飛一

參考答案：

D

【考點(diǎn)】函數(shù)y二Asin（3x+6）的圖象變換.

7T

【分析】利用函數(shù)尸Asin(sx+e)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式可得@+n=2kn-T,

kez,從而得出結(jié)論.

7T

【解答】解：函數(shù)f(x)=cos(2x+6),(-JTW6V冗)的圖象向右平移亍個單位,

可得y=cos[2(x-2)+6]=-cos(2x+4))=cos(2x+6+u)的圖象，

V31V3.

由于所得圖象與函數(shù)y=sinxcosx+2cos2x=2sin2x+2cos2x=sin(2x+3)

冗冗

=cos(6-2x)=cos(2x-6)的圖象重合，

冗7兀5―

/.4)+JT=2kn-6,kez,即6=2kn-6,故令k=L可得6=6,

故選：D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知函數(shù)/(x)=e'-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是

參考答案：

(-co,2In2-2]

12.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐尸-4BCZ)即，則此正六棱錐的側(cè)

面積是.

參考答案:

答案：6幣

a

13.已知關(guān)于x的二項(xiàng)式(4+山)”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,常數(shù)項(xiàng)為80,則a

的值為_________

參考答案：

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的和，求出n,通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指

數(shù)為0,即可求出a的值.

a

【解答】解：二項(xiàng)式(仁+%)”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,

.?.2=32,.*.n=5；

Cg(?)5r(U)r「rr等身二至二Q

/.Vx=^5ax，令6,可得廠3,

??,展開式的常數(shù)項(xiàng)是80,

.?.，標(biāo)3=80,

解得a=2.

故答案為：2.

14.已知a,b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0,則4a［的最小值為.

參考答案：

7

【考點(diǎn)】基本不等式.

22

21a221a

—+―------——+h——

【分析】a,b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0,可得ab=l.于是4ab=4+b2-

2]2b2

1.5+b=(&虧)勺+9二-^4"^上羽，再利用柯西不等式(V+b2)(1+1)＞勺+b)

即可得出.

【解答】解：va,b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0,

2o12

a2t2.1a

貝！j4ab=4+b2-1.

2+b=4七）號+史名琮+2澳+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時(shí)取等號.

(4+b2)(1+1)>"2'>16,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時(shí)取等號.

a2

4+b2>8,

a2221a2

?，1by+b-4

故答案為：7.

15.函數(shù)）'=0"+1（“>00工1）的圖象恒過定點(diǎn)工，若點(diǎn)火在直線

皿+花一1=0（附”0）上，則的最上值為_

參考答案：

【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)基本不等式B6E6

3+2點(diǎn)

因?yàn)辄c(diǎn)A坐標(biāo)為（1,2）,則有m+2n=1,由mn>0知m>0,n>0,所以

【思路點(diǎn)撥】可利用1的代換，把所求的式子轉(zhuǎn)化成基本不等式特征，利用基本不等式求

最值.

16.已知且ah=l,則m=.

參考答案：

2

〃、V-a,x泗

17.已知函數(shù)卜+ax.a,x<°有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

參考答案:

a>4

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長

度單位相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為P=2(cos9+sin0),斜率為E的直線1交y

軸于點(diǎn)E(0,1).

(I)求C的直角坐標(biāo)方程，1的參數(shù)方程；

(II)直線1與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求EA|+|EB|.

參考答案：

【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

fx=Pcos0

【分析】(I)由P=2(cos。+sin。),得P(Pcos0+psin。),把1廠Psin0

代入即可得出；由斜率為?的直線1交y軸于點(diǎn)E(0,1)即可得出直線的參數(shù)方程.

f1

(II)將kI*孚上代入(x-1)2+(y-1):2得t=t-1=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、

直線參數(shù)的意義即可得出.

【解答】解：(I)由P=2(cos。+sin。)，得P2=2(pcos0+psin。,

即x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.

(1

x=yt

Q區(qū)

1的參數(shù)方程為2(t為參數(shù)，t￡R),

f1

x邁七

(II)將尸1+廳t代入(X-1)?+(y-1)z=2得七2_t_1=0,

1+找?娓

解得,t產(chǎn)2,t2=-2一.

則IEA|+1EB|=|31+1tz|=|ti-tzI=逐.

也

19.(12分)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)F(—2,0),且短軸長與長軸長的比是2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn).當(dāng)1財(cái)產(chǎn)1最小時(shí)，點(diǎn)P恰好

落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

參考答案：

(1)設(shè)橢圓C的方■程為國+￡=l(a>b>0),。

ab

a*=b#+cS

a2

由題意:;解得a=16,b，=12.d

b43

、c=2.

所以怖圓c的方程為"+2=1.。

lbId

(2)設(shè)P(x,y)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢同方程為故一4WxW4.2

lbIN

因?yàn)镸P=為一m,y),所以|MP|；=(x—m)：+y；=(x—m)'+12X|1一

=%-2jnx+]rT+12=[(x-4m)”+12-3m—d

f

因?yàn)楫?dāng)IMPI最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，/

一

即當(dāng)x=4時(shí)，IMP取得最小值.而x￡[—4,4],"

故有4m24,解得mNL

又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即一4WmW4.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是

20.已知等差數(shù)列｛的｝前三項(xiàng)的和為一3,前三項(xiàng)的積為8.

(1)求等差數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若s，的，0成等比數(shù)列，求數(shù)列｛|即|｝的前〃項(xiàng)和.

參考答案：

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d，則。2=出+"，a,=ay+2d.

由題意得解得或

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

斯=2-3(〃-1)=一3〃+5,或-4+3(〃-1)=3〃-7.

故Q〃=-3〃+5,或Q〃=3/L7,

(2)當(dāng)a〃=—3〃+5時(shí)，s,ch，0分別為-1,—4,2,不成等比數(shù)列；

當(dāng)a〃=3〃-7時(shí)，的Q?，分別為-1,2,—4,成等比數(shù)列，滿足條件.

故|斯|=|3〃一7|=

記數(shù)列｛|。〃|｝的前〃項(xiàng)和為S〃.

當(dāng)〃=1時(shí)，Si=|〃i|=4；當(dāng)，=2時(shí),S2=|〃I|+|〃2|=5；

當(dāng)論3時(shí)，

S〃=S2+|a3l+|Q4l+…+|〃〃I=5+(3X3-7)+(3x4—7)+...+(3九-7)=5+—

H+10.當(dāng)〃=2時(shí)，滿足此式.

綜上，Sn=

O'0-----x

21.橢圓C：ab=1(a>b>0)的焦距為4,且以雙曲線4=1的實(shí)軸為短軸，斜

率為k的直線1經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).

【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(I)求得橢圓的c=2,由雙曲線的性質(zhì)可得b=2,由a,b,c的關(guān)系，可得a,

進(jìn)而得到橢圓的方程；

(II)設(shè)直線1方程：y=kx+l,A(x?y,),B(x2,y2),代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定

理，由題意可得右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，即為亞?麗<0,運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解

不等式即可得到所求范圍.

【解答］解：<I)I?橢圓的焦距為4,.,.c=2,

2

y_2=1

又以雙曲線4X■的實(shí)軸為短軸，

；.b=2,a=Vb2+c2=2V2,

22

x

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為84

(II)設(shè)直線1方程：y=kx+l,A(xi,y,)