5.1 認(rèn)識(shí)分式 教案 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

．1認(rèn)識(shí)分式分式的有關(guān)概念1．了解分式的概念，能正確判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式；2．掌握分式有(無(wú))意義、值為零的條件．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入一個(gè)小村莊現(xiàn)有耕地600公頃，林地150公頃，為了保護(hù)環(huán)境，退耕還林，村委會(huì)計(jì)劃把原來(lái)“開(kāi)山造林”時(shí)造出的x公頃耕地還原成林地，那樣林地的面積是耕地面積的幾分之幾？如何用x的式子表示？這個(gè)式子有什么特征？它與整式有什么不同？二、合作探究探究點(diǎn)一：分式的概念【類型一】判斷代數(shù)式是否為分式在式子eq\f(1,a)、eq\f(2xy,π)、eq\f(3a2b3c,4)、eq\f(5,6＋x)、eq\f(x,7)＋eq\f(y,8)、9x＋eq\f(10,y)中，分式的個(gè)數(shù)有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)解析：eq\f(1,a)、eq\f(5,6＋x)、9x＋eq\f(10,y)這3個(gè)式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故選B.方法總結(jié)：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常數(shù)．【類型二】探究分式的規(guī)律觀察下面一列分式：eq\f(x3,y)，－eq\f(x5,y2)，eq\f(x7,y3)，－eq\f(x9,y4)，…(其中x≠0)．(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個(gè)分式；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第n(n為正整數(shù))個(gè)分式，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．解析：(1)根據(jù)已知分式的分子與分母的次數(shù)與系數(shù)關(guān)系得出答案；(2)利用(1)中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律得出答案．解：(1)觀察各分式的規(guī)律可得：第6個(gè)分式為－eq\f(x13,y6)；(2)由已知可得：第n(n為正整數(shù))個(gè)分式為(－1)n＋1×eq\f(x2n＋1,yn)，理由：∵分母的底數(shù)為y，次數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)，分子底數(shù)是x，次數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，且偶數(shù)個(gè)為負(fù)，∴第n(n為正整數(shù))個(gè)分式為(－1)n＋1×eq\f(x2n＋1,yn).方法總結(jié)：此題主要考查了分式的定義以及數(shù)字變化規(guī)律，得出分子與分母的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【類型三】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列分式每千克m元的糖果x千克與每千克n元的糖果y千克混合成雜拌糖，這樣混合后的雜拌糖果每千克的價(jià)格為()A.eq\f(nx＋my,x＋y)元B.eq\f(mx＋ny,x＋y)元C.eq\f(m＋n,x＋y)元D.eq\f(1,2)(eq\f(x,m)＋eq\f(y,n))元解析：由題意可得雜拌糖每千克的價(jià)格為eq\f(mx＋ny,x＋y)元．故選B.方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到所求的量的等量關(guān)系，列出代數(shù)式．探究點(diǎn)二：分式有無(wú)意義的條件及分式的值【類型一】分式有意義的條件分式eq\f(x－1,（x－1）（x－2）)有意義，則x應(yīng)滿足的條件是()A．x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．以上結(jié)果都不對(duì)解析：∵分式有意義，∴(x－1)(x－2)≠0，∴x－1≠0且x－2≠0，∴x≠1且x≠2.故選C.方法總結(jié)：分式有意義的條件是分母不等于零．【類型二】分式無(wú)意義的條件使分式eq\f(x,3x－1)無(wú)意義的x的值是()A．x＝0B．x≠0C．x＝eq\f(1,3)D．x≠eq\f(1,3)解析：由分式有意義的條件得3x－1≠0，解得x≠eq\f(1,3).則分式無(wú)意義的條件是x＝eq\f(1,3)，故選C.方法總結(jié)：分式無(wú)意義的條件是分母等于0.【類型三】分式值為0的條件若使分式eq\f(x2－1,x＋1)的值為零，則x的值為()A．－1B．1或－1C．1D．1和－1解析：由題意得x2－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1，故選C.方法總結(jié)：分式的值為零的條件：(1)分子為0；(2)分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可．三、板書設(shè)計(jì)1．分式的概念：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫做分式．2．分式eq\f(A,B)有無(wú)意義的條件：當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)B＝0時(shí)，分式無(wú)意義．3．分式eq\f(A,B)值為0的條件：當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，分式的值為0.本節(jié)采取的教學(xué)方法是引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作，完成對(duì)分式概念及意義的自主探索．提出問(wèn)題讓學(xué)生解決，問(wèn)題由易到難，層層深入，既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)又在類比過(guò)程中獲得了解決新知識(shí)的途徑．在這一環(huán)節(jié)提問(wèn)應(yīng)注意循序性，先易后難、由簡(jiǎn)到繁、層層遞進(jìn)，臺(tái)階式的提問(wèn)使問(wèn)題解決水到渠成.分式的基本性質(zhì)1．理解并掌握分式的基本性質(zhì)和符號(hào)法則；(難點(diǎn))2．理解分式的約分、通分的意義，明確分式約分的理論依據(jù)；(重點(diǎn))3．能正確、熟練地運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，對(duì)分式進(jìn)行約分和通分．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入中國(guó)古代的數(shù)學(xué)論著中就有對(duì)“約分”的記載，如《九章算術(shù)》中就曾記載“約分術(shù)”，并給出了詳細(xì)的約分方法，這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)分式化簡(jiǎn)的相關(guān)知識(shí)，下面先來(lái)探索分式的基本性質(zhì)．二、合作探究探究點(diǎn)一：分式的基本性質(zhì)【類型一】利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行變形下列式子從左到右的變形一定正確的是()A.eq\f(a＋3,b＋3)＝eq\f(a,b)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ac,bc)C.eq\f(3a,3b)＝eq\f(a,b)D.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)解析：A中在分式的分子與分母上同時(shí)加上3不符合分式的基本性質(zhì)，故A錯(cuò)誤；B中當(dāng)c＝0時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；C中分式的分子與分母同時(shí)除以3，分式的值不變，故C正確；D中分式的分子與分母分別乘方，不符合分式的基本性質(zhì)，故D錯(cuò)誤；故選C.方法總結(jié)：考查分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．【類型二】不改變分式的值，將分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)不改變分式eq\f(0.2x＋1,2＋0.5x)的值，把它的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，所得結(jié)果正確的為()A.eq\f(2x＋1,2＋5x)B.eq\f(x＋5,4＋x)C.eq\f(2x＋10,20＋5x)D.eq\f(2x＋1,2＋x)解析：利用分式的基本性質(zhì)，把eq\f(0.2x＋1,2＋0.5x)的分子、分母都乘以10得eq\f(2x＋10,20＋5x).故選C.方法總結(jié)：觀察分式的分子和分母，要使分子與分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，只需根據(jù)分式的基本性質(zhì)讓分子和分母同乘以某一個(gè)數(shù)即可．【類型三】分式的符號(hào)法則不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”號(hào)．(1)eq\f(－3b,2a)；(2)eq\f(5y,－7x2)；(3)eq\f(－a－2b,2a＋b).解析：在分子的符號(hào)，分母的符號(hào)，分式本身的符號(hào)三者當(dāng)中同時(shí)改變其中的兩個(gè)，分式的值不變．解：(1)原式＝－eq\f(3b,2a)；(2)原式＝－eq\f(5y,7x2)；(3)原式＝－eq\f(a＋2b,2a＋b).方法總結(jié)：這類題目容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是把分子的符號(hào)，分母的項(xiàng)的符號(hào)，特別是首項(xiàng)的符號(hào)當(dāng)成分子或分母的符號(hào)．探究點(diǎn)二：約分及最簡(jiǎn)分式【類型一】判定分式是否為最簡(jiǎn)分式下列分式是最簡(jiǎn)分式的是()A.eq\f(2a2＋a,ab)B.eq\f(6xy,3a)C.eq\f(x2－1,x＋1)D.eq\f(x2＋1,x＋1)解析：A中該分式的分子、分母含有公因式a，則它不是最簡(jiǎn)分式．錯(cuò)誤；B中該分式的分子、分母含有公因數(shù)3，則它不是最簡(jiǎn)分式．錯(cuò)誤；C中分子為(x＋1)(x－1)，所以該分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，則它不是最簡(jiǎn)分式．錯(cuò)誤；D中該分式符合最簡(jiǎn)分式的定義．正確．故選D.方法總結(jié)：最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含公因式．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)公因式．【類型二】分式的約分約分：(1)eq\f(－5a5bc3,25a3bc4)；(2)eq\f(x2－2xy,x3－4x2y＋4xy2).解析：先找分子、分母的公因式，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)把公因式約去．解：(1)eq\f(－5a5bc3,25a3bc4)＝eq\f(5a3bc3（－a2）,5a3bc3·5c)＝－eq\f(a2,5c)；(2)eq\f(x2－2xy,x3－4x2y＋4xy2)＝eq\f(x（x－2y）,x（x－2y）2)＝eq\f(1,x－2y).方法總結(jié)：約分的步驟；(1)找公因式．當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先分解因式；(2)約去分子、分母的公因式．三、板書設(shè)計(jì)1．分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變