在宏觀經(jīng)濟(jì)分析過(guò)程中

在宏觀經(jīng)濟(jì)分析過(guò)程中，來(lái)自各種渠道的統(tǒng)計(jì)資料、典型調(diào)查、消費(fèi)數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)報(bào)告等，其中大量數(shù)據(jù)是灰色量，因此，所編投入產(chǎn)出表中必然含有各種不同的灰數(shù)，此外，作為一個(gè)動(dòng)態(tài)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，投入產(chǎn)出問(wèn)題中的各種參數(shù)也必然是處于不斷變化之中，因此這些參數(shù)也一直是一個(gè)具有上界或下界的灰數(shù)，本章把灰色系統(tǒng)實(shí)際的方法與投入產(chǎn)出結(jié)合起來(lái)，研討了灰色投入產(chǎn)出問(wèn)題，主要內(nèi)容包括灰色投入產(chǎn)出的根本概念和根本實(shí)際、灰色投入產(chǎn)出優(yōu)化模型、灰色產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)絡(luò)數(shù)、灰色動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出分析和灰色大道模型等。11．1灰色投入產(chǎn)出的根本概念定義11.1.1設(shè)為j部門耗費(fèi)i部門產(chǎn)品的價(jià)值總量，稱為流量矩陣。定義11.1.2設(shè)為j部門耗費(fèi)i部門產(chǎn)品的價(jià)值總量，為j部門的總產(chǎn)出，稱為直接耗費(fèi)系數(shù)。直接耗費(fèi)系數(shù)的含義是消費(fèi)單位j產(chǎn)品耗費(fèi)i部門的數(shù)量，它反響了j部門對(duì)i部門的依賴程度，越大，闡明j部門與i部門的聯(lián)絡(luò)越親密。定義11.1.3稱為直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣。命題11.1.1對(duì)于A中恣意元素，有證明因j部門的總產(chǎn)出，j部門耗費(fèi)i部門的價(jià)值量，從而命題11.1.2A中任一列元素之和小于1，即.證明反設(shè)存在k，使，由，得。即k部門的總產(chǎn)出小于或等于該部門耗費(fèi)各部門產(chǎn)品的價(jià)值量。這樣，k部門根本無(wú)法進(jìn)展消費(fèi)活動(dòng)。所以是不能夠的。由k的恣意性，可得成立。由于信息獲取困難，因此，j部門耗費(fèi)i部門的價(jià)值總量實(shí)踐上是一個(gè)灰數(shù)。定義11.1.4稱為完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣.定義11.1.5稱為灰色流量矩陣.當(dāng)流量為灰數(shù)時(shí),顯然直接耗費(fèi)系數(shù)

亦為灰數(shù).定義11.1.6稱為灰色直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣.命題11.1.3設(shè)為總產(chǎn)出向量,為最終產(chǎn)品向量,為新發(fā)明價(jià)值向量,為價(jià)錢向量,為灰色直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣,那么有

;〔11.1.1〕

.(11.1.2)

命題11.1.4上述(11.1.1)和(11.1.2)可用方程組的方式表達(dá)為(11.1.3)

(11.1.4)命題11.1.5上述(11.1.3)和(11.1.4)可化為(1.1.1.5)(11.1.6)式(11.1.5)闡明i部門總產(chǎn)出為各部門耗費(fèi)i部門產(chǎn)品和i部門最終產(chǎn)品之和,通常稱為分配方程組.式(11.1.6)闡明j部門的總產(chǎn)出為j部門耗費(fèi)各部門產(chǎn)品和j部門新發(fā)明價(jià)值之和,通常稱為消費(fèi)方程組.定義11.1.7稱為灰色完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣.灰色投入產(chǎn)出模型反映了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門之間以及最終產(chǎn)品與總產(chǎn)品之間、價(jià)錢與物質(zhì)耗費(fèi)、新發(fā)明價(jià)值之間的灰關(guān)系,是研討產(chǎn)業(yè)構(gòu)造、分析經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)制的根底.11.2灰色非負(fù)矩陣的P-F定理上節(jié)中討論的灰色流量矩陣和灰色直接耗費(fèi)系數(shù)矩陣皆為灰色非負(fù)矩陣.因此關(guān)于灰色非負(fù)矩陣的譜半徑及特征根的研討構(gòu)成了灰色投入產(chǎn)出模型求解的實(shí)際根底.本節(jié)將給出灰色非負(fù)矩陣的Perron-Frobenius(P-F)定理的數(shù)學(xué)證明.定義11.2.1設(shè)灰元,假設(shè)為延續(xù)灰數(shù),那么稱為灰元的均值白化數(shù);

為離散灰數(shù),為灰元的可取值,那么稱為灰元的均值白化數(shù).(注:假設(shè)某為灰元,那么取.)記,稱為的擾動(dòng)灰元.

定義11.2.2設(shè)灰色矩陣,其中灰元,記,這里的為灰元的均值白化數(shù),是在根底上的擾動(dòng)灰元,那么相應(yīng)地有稱為灰色矩陣的均值矩陣,為灰色矩陣在根底上的擾動(dòng)灰色矩陣.定義11.2.3,假設(shè)的均值矩陣那么稱為灰色非負(fù)矩陣.定義11.2.4,設(shè)為的灰特征根,,那么稱為的譜半徑.顯然,灰色矩陣的譜半徑普通亦為灰元.命題11.2.1,那么,即灰色矩陣之譜半徑的均值白化數(shù)等于其均值矩陣的譜半徑.定義11.2.5,假設(shè)的均值矩陣滿足以下條件

存在,且那么稱為灰色M矩陣.命題11.2.2,其均值矩陣,那么為灰色M矩陣定義11.2.6,滿足,那么稱為灰色P矩陣.命題11.2.3,，那么為灰色M矩陣為灰色P矩陣.引理11.2.1設(shè)為灰色非負(fù)矩陣,且其均值矩陣不可約,那么有一個(gè)灰色特征根,其中.證明只需證明均值矩陣有正特征根,思索集合那么S是緊凸集,在S上作映射由的非負(fù)性知,從而為延續(xù)映射,由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理可知S在映射下有不動(dòng)點(diǎn),亦即存在使得,此即:

記,那么,且引理11.2.2設(shè)為灰色非負(fù)矩陣,且其均值矩陣不可約,那么的恣意k(k<n)階主子矩陣為灰色P矩陣.證明先證的恣意k(k<n)階主子矩陣為灰色M矩陣.,設(shè)為的恣意k(k<n)階主子矩陣,作矩陣B,顯然,且,于是的主子矩陣

且

由命題11.2.2可知為灰色M矩陣,再有命題11.2.3知為灰色P矩陣.

定理11.2.1(P-F定理-1)設(shè)為灰色非負(fù)矩陣,且其均值矩陣不可約,那么有以下結(jié)論:有一個(gè)灰色特征根其均值白化數(shù); 為所對(duì)應(yīng)的灰色特征向量,且,那么其均值向量; ; 與的元素按一樣方向漂移； 是的“單根〞.證明是引理11.2.1和命題11.2.1的直接結(jié)果.視引理11.2.1證明中的集合S為特征向量的均值向量集合.由,知.設(shè)不成立,無(wú)妨假定,其中,由,將作相應(yīng)的分塊得,但.所以,此與不可約矛盾，這就闡明必有.

設(shè)為的任一特征根,為所對(duì)應(yīng)的特征向量,,寫成分量的方式兩端同時(shí)取均值白化數(shù),有再取其絕對(duì)值記那么有

(11.2.1)又有非負(fù),不可約,知且不可約.留意到,得用在式(11.2.1)兩邊作內(nèi)積,有由知,又恣意,所以為的譜半徑.

只需證的均值白化數(shù)為的均值白化數(shù)的增函數(shù).設(shè)、皆為非負(fù)矩陣,其均值矩陣、都不可約且。由、可知，、分別有灰色特征根、，其對(duì)應(yīng)的特征向量為、滿足再由及得(11.2.2)在式〔11.2.2〕兩邊以作內(nèi)積,并留意到,于是有由于，所以.

由和引理11.2.2知，為灰色P矩陣，因.作多項(xiàng)式：，求導(dǎo)可得這就證明了是的“單〞根.定理11.2.2(P-F定理2)設(shè)為灰色非負(fù)矩陣,那么有一個(gè)灰色特征根，其均值白化數(shù).

假設(shè)為所對(duì)應(yīng)的特征向量，且，那么..當(dāng)?shù)捻б庠仄茣r(shí)，或那么不變，或那么按一樣方向漂移.

證明假設(shè)均值矩陣不可約,結(jié)論自明.設(shè)可約，那么可表示為

其中或是0方陣，或?yàn)椴豢杉s方陣，。留意到，，，即得證，下面證明。作矩陣那么，不可約，所以存在,它所對(duì)應(yīng)的特征向量，于是有〔11.2.3〕取序列，，對(duì)應(yīng)序列,由S的緊性可知存在子列所以無(wú)妨設(shè)，對(duì)式〔11.2.3〕取極限得

且11.3灰色感應(yīng)度系數(shù)與影響力系數(shù)一、灰色感應(yīng)度系數(shù)與影響力系數(shù)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各產(chǎn)業(yè)的開(kāi)展是相互關(guān)聯(lián)的，產(chǎn)業(yè)間的依存、關(guān)聯(lián)關(guān)系可以用投入產(chǎn)出表來(lái)研討。本節(jié)引見(jiàn)灰色感應(yīng)度系數(shù)、影響力系數(shù)等一系列重要的系數(shù)，以便將投入產(chǎn)出表用于產(chǎn)業(yè)構(gòu)造分析。

定義11.3.1灰色投入產(chǎn)出模型中，稱作逆陣系數(shù)。

定義11.3.2設(shè)為灰色完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣，那么

〔11.3.1〕稱為i部門的灰色感應(yīng)度系數(shù)。定義11.3.3設(shè)為灰色完全耗費(fèi)系數(shù)矩陣，那么稱為j部門的灰色影響力系數(shù)。i部門的灰色感應(yīng)度系數(shù)反映了各部門產(chǎn)出添加對(duì)i部門產(chǎn)出的影響程度，j部門的灰色影響力系數(shù)