解析2021屆江蘇省南通學基地高三高考數(shù)學全真模擬試卷（九）

絕密★啟用前

2021屆江蘇省南通學基地高三高考數(shù)學

全真模擬試題（九）

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2、請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合A={y|y=f+2x+3},B=<x\y，則4nB=（

A.[2,3]B.[2,3)C.(2,3]D.(2,3)

答案：B

分別化簡集合A,集合3,然后取交集即可.

解：A={yly=x2+2x+3=(x+1)2+2j={y|y..2},

所以Ac8=[2,3）.

故選：B.

2.若復數(shù)二滿足iz=4-3，中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：C

由給定等式求出復數(shù)z的，進而求得結(jié)論.

4-3/

解：因為iz=4—33所以z=--=-4i-3,

i

從而z在復平面內(nèi)對應的點（-3,-4）位于第三象限.

故選：C

3.哈六中開展勞動教育，決定在5月12日植樹節(jié)派小明、小李等5名學生去附近的兩

個植樹點去植樹，若小明和小李必須在同一植樹點，且各個植樹點至少去兩名學生，則

不同的分配方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

答案：A

根據(jù)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解即可.

解：當小明和小李單獨去一個植樹點時，有2種不同的分配方案

當小明和小李與另外一人去一個植樹點時，有2x3=6種不同的分配方案

則共有6+2=8種不同的分配方案

故選：A

點評：本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的綜合應用，屬于中檔題.

4.17世紀初，約翰?納皮爾在研究天文學的過程中，為簡化計算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)

的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的

建立稱為17世紀數(shù)學的三大成就.在進行數(shù)據(jù)處理時，經(jīng)常會把原始數(shù)據(jù)取對數(shù)后再進

一步處理，之所以這樣做是基于對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，且取對數(shù)后不會改變

數(shù)據(jù)的相對關(guān)系，也可以將乘法運算轉(zhuǎn)換成加法運算，將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，據(jù)

此可判斷數(shù)a#(取愴2Mo.3010)的位數(shù)是()

A.108B.109C.308D.309

答案：D

根據(jù)題意，選令N=2*，再兩邊取對數(shù)化簡、計算、分析后就可以確定其位數(shù).

解：記N=2叫因為*=1024,

所以lgN=lg2-°=Ig21024=10241g2al024x0.3010=308.224，

于是又因為1()308是一個309位數(shù)，1()309是最小的310

位數(shù)，且N為整數(shù)，所以數(shù)2嚴的位數(shù)是309.

故選：D.

點評：方法點睛：事實上，任何一個正實數(shù)N都可以表示成

N=axlO"(l”a<10,〃eZ)的形式，此時IgN=〃+lga(O,,lga<l)).當〃>0時，

N是”+1位數(shù).

5.在平面直角坐標系xOy中，直線3x+4y-5=0與圓V+y2=/”>0)相交于人，

3兩點若AB=2及，則圓的半徑「為()

A.3B.2C.73D.72

答案：C

求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求解圓的半徑.

解：圓/+、2=/（/.>0）的圓心為0（（）,0）,

1-51

圓心0到直線3x+4y-5=0的距離d==1

V32+42

又AB=2及，，/=戶+(&)2=3,

則r=W,（r>0）.

故選：C.

6.為了估計加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下表:

零件數(shù)X（個）1357

加工時間y（分

0.5a22.5

鐘）

若零件數(shù)x與加工時間y具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為$=0.36x+0.01,則

a=()

A.1

B.0.8

C.1.09

D.1.5

答案：B

將樣本中心點代入回歸直線方程，解方程求得。的值.

.-1+3+5+70.5+。+2+2.55+。

解：依題意x=--------4-,y

444

將(4.,丁5+a代入f=0.36x+0.01得^^=0.36x4+0.01,解得a=0.8.

4

故選：B

點評：本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點，屬于基礎(chǔ)題.

7.在矩形ABCD中AC=1,AE±BD,垂足為E,貝！）（加?荏）?（而?5）的最大

值是（）

42

A.B.C.D.

273

答案：A

設(shè)=AD=b,則/+02=],AE=ab,將(A。?AE)?C4)用人表示，再

利用導數(shù)即可得到最大值.

解：設(shè)=AD=b,則Q2+〃2=I,AE=ab,

于是(通?荏)?(而?巨)=(AE)2(CB)2=a2b4=b4(l-b2).

令”〃，則0</<1,一/)=/(1_).

2

令/?)=產(chǎn)(1—力，則/'?)=2f—3『.由/'?)=0,得?=§.

當re(o,'|卜j,/'(r)>0；當/€(?!』)時，/'⑺<°.故/(f)max=/'!)=(?

故選：A

點評：關(guān)鍵點點睛：本題引入邊作為變量，合理利用一元表示(麗?通)?(麗?瓦)是

解題的關(guān)鍵，求最值即可利用導數(shù)，亦可利用三元均值不等式.

8.若函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，當x20時，/(x)=2=2,則不等式

/(xTR2/(x)的解集為()

A.(-oo,0]B.-oo,log2

C.0,log2—D.[0,1)

答案：B

由偶函數(shù)定義寫出.f(x)的解析式，然后分類討論解不等式.分三類：x<0,0<尤<1,

x>l.

解：由題意得/(幻=2兇—2,

所以不等式/(x-1)..2/(x)即2|x-"-2..2(2w-2),亦即2M-2|t1+l+2..0.

當X,0時，不等式為21-2-印+2..0,顯然成立.

當0<x<l時，不等式為2i—2,+2..0,即2-*—2*+1..0.令t=2x>則1</<2,

/-y-LO,即f2_f_L,0,解得1</,,上手，所以0<%,log?上手.

4

當x..l時,不等式為21-2向+2..0,即2)一,顯然不成立.

3

綜上，不等式/（X—l）..2/（x）的解集為-℃,log2

故選：B.

點評：方法點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查解絕對值不等式.解題方法是分類討論,

根據(jù)絕對值里面式子的正負分類去掉絕對值符號，然后求解.

二、多選題

9,已知數(shù)列｛q｝,也｝均為等比數(shù)列，則下列結(jié)論中一定正確的有（）

A.數(shù)列｛。，自｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4+"｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列1（是等差數(shù)列D.數(shù)列旭（“；/〃）｝是等差數(shù)列

答案：ACD

根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義或通項公式判斷.

解：設(shè)數(shù)列｛為｝的公比為名,數(shù)列也｝的公比為外，所以2=如尸.

對于A,anhn=24"%尸=,他（％%廣，從而數(shù)列｛a也｝的公比為4%,故A正確.

對于B,%+/=。01+々城7,0與%不一定相等，所以數(shù)列｛%+么｝不是等比數(shù)

列，故B錯誤.

對于C,恒幺=lg%%

=lg—+(n-l)lg，從而數(shù)列，1g」，的公差為1g

44卡444

故C正確.

對于D,lg（a：硝=21回耳同=2回她|+2（〃—1）電防％],從而數(shù)列的公

差為2愴|功%],D正確.

故選：ACD.

點評：結(jié)論點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷.掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定

義是關(guān)鍵.判斷方法有：（1）定義法；（2）通項公式法：（3）等差中項、等比中項法;

（2）前〃項和公式.特別注意等比數(shù)列中各項均不為0.

22

10.已知方程------匚=i（ZeR）,則下列說法中正確的有（）

16+后9-k

2

A.方程工—=1可表示圓

16+左9-k

22

B.當攵>9時，方程------匚=1表示焦點在X軸上的橢圓

16+k9-k

C.當一16<々<9時，方程------匚=1表示焦點在x軸上的雙曲線

16+k9-k

22

D.當方程』-----匚=1表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10

\6+k9-k

答案：BCD

分別將4的值代入各個命題，根據(jù)圓錐曲線方程的特點即可作出判斷.

22

解：對于力,當方程』-----匯-=1可表示圓時，16+左=左—9>0,無解，故4錯

16+&9-k

誤.

2222

對于6,當k>9時，—------匚=」一+二一=1,16+左>左一9,表示焦點在

16+k9-k16+Zk-9

x軸上的橢圓，故4正確.

22

對于C,當一16<&<9時.-.....J=l,16+Z>0,9-左>0,表示焦點在X軸

\6+k9-k

上的雙曲線，故C正確.

22

對于D,當方程W----匚=1表示雙曲線時，=16+左+9—左=25；當方程

16+k9-k

22

—.....匚=1表示橢圓時，/=16+4一(左-9)=25,所以焦距均為10,故〃正

16+攵9-k

確.

故選：BCD

11.已知函數(shù)/(x)=2sin2x與g(x)=-2cos2x,則下列結(jié)論中正確的有()

7T

A.將y=/(%)的圖像向右平移一個單位長度后可得到y(tǒng)=g(x)的圖像

4

TT

B.將y=/(x)+g(x)的圖像向右平移一個單位長度后可得到y(tǒng)=/(x)-g(x)的圖像

4

C.丁=/。)的圖像與丁=8(幻的圖像關(guān)于直線工=9對稱

O

7T

D.y=/(%)+g(x)的圖像與y=/(x)-g(x)的圖像關(guān)于直線x=:對稱

4

答案：AD

由題意利用函數(shù)卜=44!!（5+9）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

解：對于A,/[x—7j=2sin2(x—?j=-2cos2x=g(x),A正確；

對于B,y=f(x)+g(x)=2sin2x-2cos2x=25/2sin,

y-/(x)-g(x)=2sin2x+2cos2x=2應sin(2x+?),

/(x-+g[x-7)=2夜sin^2x-y-/(九)一g(x),故B錯誤；

對于C,y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=三對稱的圖像為/(￡一x)=20sin(-2x+￡),

844

顯然/￡—x)wg(x),故C錯誤；

^7*“JL

對于I),函數(shù)y=/(x)+g(x)關(guān)于直線％=一對稱的圖象為丁=/(——x)+g(—x),

422

即y=2正5由12仁-x-彳=2夜$山12%+；卜/（工）-8（%）,故口正確.

故選：AD

點評：方法點睛：函數(shù)“X）關(guān)于直線x=。的對稱圖象為“2。一力，函數(shù)“X）關(guān)于

點（。,。）的對稱圖象為y=20-/（2a-x）.

12.若非負實數(shù)。，b,c滿足a+8+c=l,則下列說法中一定正確的有（）

A./+〃+/的最小值為；B.（a+b）c的最大值為《

39

C.ac+Oc+ca的最大值為;D.a6+b五的最大值為:

59

答案：ACD

由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論，即可作出判斷.

解：對于力，由a2+b2..2ab,h2+c2..2bc,c2+a2..2ca,得

2a2+2b2+2c2..2ah+2bc+2ca,兩邊同時加上a2+h2c2，可得

3（a2+b2+c2V.（a+b+c）2所以/+62+02/，當且僅當a=%=c=’時取

v733

等號，所以/正確.

2

對于昆易得a+b=l—c,所以(a+b)c=(1—c)c?-------=—，

I2J4

當且僅當。+〃=,，c=L時取等號，所以8不正確.

22

對于C,由a?+〃+02..白匕+A，+ca,兩邊同時加上2ab+2bc+2ca,得

1=(Q+Z?+C)2..3(Q〃+〃C+CQ),所以。Z?+bc+cq,g,當且僅當。=b=c=g時取

等號，所以。正確.

對于〃，易得a—\—b—c,令y[b-x，\[c=y,所以

a\[b+b&=Q-b-c)亞+/?\/c=(l-x2-y2)x+x2y=x-x3+xy(x-y),

/i、22o

3y+x—y]3x33

?X-X4-X'--------------Kx-X4-X,——X—X

I2)44

3(2、4

記/3=》一士/，瞬ki,利用導數(shù)易求得/*),"，=；；,所以〃正確.

'4⑶9

故選：ACD

點評：方法點睛：在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：一正二定三相等.①一

正：關(guān)系式中，各項均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個

為定值：③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.

三、填空題

13.《墨子?經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端，大故,

有之必然，若見之成見也.”這一段文字蘊含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小

故”指的是邏輯中的(選“充分條件”.必要條件”“充要條件”既不充分

也不必要條件”之一填空)

答案：必要條件

通過理解古文，知“小故”是導致某個結(jié)果出現(xiàn)的幾個條件中的一個或一部分條件，結(jié)

合必要條件的定義可得答案.

解：由“小故，有之不必然，無之必不然也”，知“小故”是導致某個結(jié)果出現(xiàn)的幾個

條件中的一個或一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要條件.

故答案為：必要條件

22

14.已知拋物線C,:y2=一2Px(p>0)的準線恰好與雙曲線C,=1(。>0/>0)

ab

的右準線重合，雙曲線的左準線與拋物線C交于P,。兩點，且雙曲線C2的右頂

點到左準線的距離等于線段PQ的長，則雙曲線G的離心率為.

答案：3

根據(jù)拋物線與雙曲線的準線方程以及拋物線的通徑長列式可得c=3a,再根據(jù)雙曲線的

離心率公式可得結(jié)果.

22

解：拋物線V=-2px(p>0)的準線為x=,雙曲線三—2=1的右準線為

22

x=—，左準線為％=—土，在拋物線y2=—2〃x(〃>0)中，|PQ|=2p,

CT_p

c~24/CT

所以之，消去。得竺=Q+幺即3/="，所以c=3〃，

cc

2p=a+—

c

所以雙曲線的離心率e=￡=3.

a

故答案為：3

點評：關(guān)鍵點點睛：求雙曲線離心率的關(guān)鍵是得到關(guān)于a,b,c的等量關(guān)系，通過拋物線

與雙曲線的準線方程以及拋物線的通徑長列式可得所要的等量關(guān)系.

15.《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在

挪鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦

的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為Nm,擲鐵餅者雙手之間的距離約為述m，“弓”

44

所在圓的半徑約為1.25m,則挪鐵餅者的肩寬約為m.(精確到QOim)

答案：0.39

由求出圓弧所對圓心角的大小，再由弧長公式即可求得.

5/?

解：如圖，AB=2^，04=08=1.25,①中，過。作切于

4

5夜

=也，ZAOM=-

則財是弦力8中點，AM=^—，sinZAOM=——=8

8OA524

4

TTTT557r

則Z.AOB=2ZA0M=-,“弓”所在的弧長1=——=—,

2248

所以其肩寬為57二r一71?x2=T?C=0.39.

848

故答案為：0.39

16.已知正三棱柱ABC-AgG的各條棱長均為2,則以點A為球心、2為半徑的球與

正三棱柱各個面的交線的長度之和為.

答案：3萬

分別考慮球與各個面的相交情況，并根據(jù)三棱錐棱長求得交線弧的半徑，從而求得交線

長.

由圖知：球與AA3c和△A4G，沒有交線；與四邊形AAgB和四邊形AAGC的

交線是以點A為圓心、2為半徑的,圓弧，故長為萬；與四邊形8gGC的交線是以8C

4

長為直徑的半圓，故長為萬.因此，交線的長度之和為3萬.

故答案為：3n.

四、解答題

17.在①A,B,C成等差數(shù)列，②a,b,c成等差數(shù)列，③sinA=cosC這三個

條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.

問題：在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，h,C,若5sinA=3sin8,且

,求sinA的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

答案：答案見解析

選①A,C,B成等差數(shù)列可得3=120°—A,然后結(jié)合5sinA=3sin8=3sin(120O-A),

然后結(jié)合差角正弦公式展開即可求解；

選②。，b,C成等差數(shù)列，2b=a+c,由sinA=3sinB,結(jié)合正弦定理及余弦定

理可求；

選③sinA=cosC=sin(5—C),進而可得A,C的關(guān)系，然后結(jié)合5sinA=3sin3及

和差角公式展開可求.

解：選擇條件①：在AA3c中，因為A,C,5成等差數(shù)列，所以2C=A+5.又

A+3+C=180°,所以3c=180°,解得。=60°,所以8=120°-4.

因為5sinA=3sin6,所以5sinA=3sin(120°—A).

從而5sinA=3^^cos卜inA,即7sinA=3GcosA.

又sir?A+cos2A=1，且sinA>0,

所以sinA=之叵，即sinA的值為之巨.

3838

選擇條件②：因為5sinA=3sin6,所以由正弦定理得5a=3b.

57

因為。，b,，成等差數(shù)列，所以4=a+c,解得8=彳4,c=—a.

33

13

所以由余弦定理得cosA

14

又Ae(0,?),所以sinA

即sinA的值為主叵.

14

選擇條件③：因為)所以兀

sinA=cosC=sine-C>0,Ce10,,從而

71

2

TTITTTIT

又Aw（O,乃），所以A=一—C或A+——C=兀，即A+C=上或A=C+一.

2222

TTTT3

若A+C=一,則3=一,所以5sinA=3sin8=3,即sinA=二.

225

TT34

若4=。+—，又A+5+C=〃，所以3=——2A,

22

所以5sinA=3sinB=3sin甘-2A=-3cos2A=6sin2A-3即

6sin2A-5sinA-3=0，

解得sinA=-~/Z<0(舍去)或sinA=>1(舍去).

1212

3

綜上，sinA的值為g.

點評：方法點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理

結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方

向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

18.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,,且/+S3=20,S6=2S4,

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列他,｝滿足4=4,且hn+｝-bn=4%,求數(shù)列-^―的前〃項和7；

也T.

Y\

答案：(1)a“=2〃+l；(2)T=-----.

n2n+l

(1)設(shè)等差數(shù)列口｝的公差為4,由4+S3=20,S6=2S4,可得

6x54x3

4+”+34+3〃=20,6a,+——d=2(4q+——d),解得q,d.即可得出4；

22

(2)設(shè)數(shù)列｛b,,｝滿足偽=4,且白川_2=4%=8〃+4,可得

2

b,=(b?-)+(/??_,-b?,2)+……+(b2-bt)+bt=4n

廣二=［二=:(17-47)，利用裂項求和方法即可得出.

bn-14〃-122n-\2〃+1

解：(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的首項為外,公差為

因為出+S3=20,S6=2S4,

(q+d)+(3q+3d)=20,a,=3,

所以《解得Jc

6al+15J=2(4q+6d),d=2,

所以數(shù)列｛??｝的通項公式為a,,=2n+l.

（2）當n..2時

切「a=(Z?2-/?])+(/?3-fe,)+-??+(/??-/??_,)=4^+4^+-??+4a,,.1,

2

所以a=bt+4?,+4a2H---1-4"“_]=4(1+3+5H-----\-2n-V)—4n.

當〃=1時，々=4=4xV,所以2=41,

2

十是bn-\—4?-l—(2?-l)(2n+l)-5(2n-l-2〃+l)

$__q=q.

2（2n+\）2〃+1

點評：方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項

的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：

（1）/1Jx=7l----I；（2）-/==~7==K<n+k；（3）

n^n+k.）k\nn+kJyjn+k+y/nk''

]=J________]=]_

（2〃—1）（2〃+1）—1-2〃+lJ：（4）〃（“+l）（〃+2廠5

■;11~~k；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多

項的問題，導致計算結(jié)果錯誤.

19.近年來，手機行業(yè)的競爭已經(jīng)進入白熱化階段，各大品牌手機除了靠不斷提高手機

的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費也是逐年攀升，用“燒錢”來

形容毫不為過小明對某品牌手機近5年的廣告費投入（單位：億美元）進行了統(tǒng)計，具體

數(shù)據(jù)見下表.

年份代號X12345

廣告費投入y5.86.67.28.89.6

并隨機調(diào)查了300名市民對該品牌手機的喜愛情況，得到的部分數(shù)據(jù)見下表

喜歡不喜歡

50歲以下市民50

50歲以上市民6040

(1)求廣告費投入》與年份代號x之間的線性回歸方程；

(2)是否有99%的把握認為市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度具有相關(guān)性？

(3)若以這300名市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度的情況估計整體情況，則從這

300名市民中隨機選取3人，記選到喜歡該品牌手機且50歲以上的市民人數(shù)為X.求X

的分布列及數(shù)學期望E(X).

八￡(七-可(凹-田

附：①回歸直線中§=務%+%?b=-------------,a-y-bx;

￡(七-到

/=1

n(ad-be}2

②/=其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

k2.7063.8416.63510.828

0.1000.050.0100.001

答案：(1)y=0.98x+4.66；(2)有99%的把握認為市民的年齡與對該品牌手機的喜

3

愛度具有相關(guān)性；(3)分布列答案見解析，數(shù)學期望：一.

5

(1)先求出年代號x及廣告投入費用y的平均數(shù)，再利用公求出B和a而得解;

(2)根據(jù)題設(shè)及表格中的信息完善2x2列聯(lián)表，算出/的觀測值并回答得解；

(3)求出隨機抽取1人，喜歡該品牌手機且50歲以上的市民的概率，再求出隨機變量X

的各個取值的概率而得解.

解：⑴依題意知x=1x(l+2+3+4+5)=3,

y=|(5.8+6.6+7.2+8.8+9.6)=7.6,

所以￡(七一元=4+1+0+1+4=10,

/=!

5

^(x.-x)(x-y)=(-2)-(-1.8)+(-l)-(-l)+0-(-0.4)4-bl.2+2-2=9.8,

/=1

.‘(為一可熾一切98

于是人=-...............=—=0.98,

ZU-)210

/=1

所以4=歹一宸=7.6-0.98x3=4.66,

故廣告費投入y與年份代號X之間的線性回歸方程為y=0.98X+4.66;

(2)補充完整的2x2列聯(lián)表如下：

喜歡不喜歡

50歲以下市民15050200

50歲以上市民6040100

總計21090300

由2300x(150x40-50x60)2300x3000x3000人<”

所以力2=--------------------」=---------------------?7.143>6.635.

200x100x210x90200x100x210x90

故有99%的把握認為市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度具有相關(guān)性；

(3)依題意知隨機變量X的可能取值為0，1，2,3.

從這300名市民中隨機抽取1人，是喜歡該品牌手機且50歲以上的市民的概率為

601

300-5

所以p(x=o)=(i—!\364

7125

2

p(x=D=c；-h--1_48

5-T25

、\2

P(X=2)=C；｛1_11_12

757125

P(X=3)=C；］￡|1

125

故X的分布列如下:

X0123

6448121

P

125125125125

因為所以E（X）=3x1=q.

點評：判斷隨機變量是否服從二項分布：一是要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結(jié)果,

且兩種試驗結(jié)果發(fā)生的概率分別為P,1-P；二是看是否為〃次獨立重復試驗，且隨

機變量是否為某事件在這〃次獨立重復試驗中發(fā)生的次數(shù).

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，Q4_L平面ABC。，AD//BC,BC=2AD,

AP=AB=AD=CD=2.

（1）求證：平面B4C_L平面Q43；

C萬

（2）若E為棱心上一點（不與尸，8重合），二面角E—CD—P的余弦值為義.，

14

PF

求詬的信

答案：（1）證明見解析；（2）

3

（1）通過線面垂直證明面面垂直；

（2）先設(shè)屋=幾方，然后兩個平面的法向量用；I表示，由二面角的余弦值建立方程,

然后通過換元計算可得.

解：（1）證明：取8C的中點/，連接AM.

p.

AD

M

因為仞/ABC,BC=2AD,

所以AO//MC，AD=MC,

從而四邊形AMC。為平行四邊形，

所以AM=OC=2,

于是所以45_LAC.

2

因為B4_L平面ABC。，ACu平面A8CO,所以24,AC.

又A8，/%u平面B46，ABryPA=A，所以AC_L平面Q46.

又ACu平面B4C,所以平面PAC_L平面八46.

(2)由(1)知AB，AC,A尸兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-肛z,

所以8(2,0,0),C(0,273,0),。(一1,百,())，尸(0,0,2).

設(shè)PE=APB，0<^<1,則DC=(l,V3,0),PC=(0,273,-2),

PE=APB=(22,0,-22),

于是反一方=(-22,2A-2+22).

設(shè)平面PCD的一個法向量為)=(X］，M，zJ,

rb-DC=0,X}+百y=0,

則一即〈

[4.PC=0,2GM-2Z1=0.

令y=l,得溫=（一

設(shè)平面ECD的一個法向量為4=（x2,y2,z2）

n,DC=0x2+6y2=。,

則《2一即《

々?EC=0—22x2+2'\[^)丫2+(24—2)z2—0.

令丫2=1，得%=詈）

1+2

令”,則f>l.

1—/1

因為二面角E—8—P的余弦值為紀7,

14

|4+3r|577

"，4+3戶14

化簡得13/一32f+12=0，即Q—2)(13/-6)=0,

解得，=2或，=?（舍去）,

1+4

所以r==2,

1—/I

PE］

解得/l=上，因此——值為士.

3PB3

21.在平面直角坐標系x°y中，已知橢圓三+a=1（。＞。＞0）的離心率為手，兩

條準線之間的距離為e叵.

3

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓。的上頂點為8,過點（-1,-1）的直線/與橢圓C相交于“，N兩點（點

M,N分別位于第一.第三象限），若直線BM與8N的斜率分別為尤，J求KK

的取值范圍.

答案：（1）,+:/=］；（2）［一

(1)根據(jù)離心率及準線距離求得參數(shù)a,hc,從而寫出橢圓方程.

(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到韋達定理，用交點坐標表示出仁?%,代入韋達定

理，可以求得關(guān)于4的表達式，根據(jù)單調(diào)性判斷范圍即可.

解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.

由題意得￡=立，生=迪，解得。=2,c=5所以6=1，

alc3

r2

因此橢圓C的方程為二+y2=\.

4

⑵設(shè)M(X，y),N(x2,y2),直線/的方程為y+l=Nx+D,即y="+左一1,

將它代入橢圓C的方程，整理得/+4(依+&-1/-4=0,

即(1+4公卜2+(8公_8女卜+4公一8k=0,

因為點M，N分別位于第一、第三象限，由圖易知，該直線的邊界點應取到上頂點(0,1)

及右頂點(2,0),易求得1＜左＜2,所以A—2。0,

3

于是匕,公jT女(々+1)―2

%電與x2

尸5光2+k(k—2)(%]+1)+(k-2,

「口+g).8Z—83

+伏一2)2

1+4公1+4公

4d-8人

1+4公