小波變換及其在電力系統(tǒng)中應(yīng)用

小波變換理論及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用1小波變換的根底理論小波變換主要是用于信號(hào)處理。信號(hào)處理的任務(wù)之一是認(rèn)識(shí)客觀世界中存在的信號(hào)的本質(zhì)特征，并找出規(guī)律?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近上下各不同〞。從不同的角度去認(rèn)識(shí)、分析信號(hào)有助于了解信號(hào)的本質(zhì)特征。信號(hào)變換就是尋求對(duì)信號(hào)的另一種表示方法，使得比擬復(fù)雜的，特征不夠明確的信號(hào)在變換之后形式變得簡單，特征明確。信號(hào)最初是以時(shí)間〔空間〕的形式來表達(dá)的。除了時(shí)間以外，頻率是一種表示信號(hào)特征最重要的方式。頻率的表示方法是建立在傅里葉分析〔FourierAnalysis〕根底之上的。由于傅里葉分析是一種全局的變換，要么完全在時(shí)間域，要么完全在頻率域，因此無法表述信號(hào)的時(shí)頻局部性質(zhì)，而時(shí)頻局部性質(zhì)恰好是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，在傅里葉分析理論根底上，提出并開展了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)傅里葉變換或加窗傅里葉變換。1.1傅立葉變換長期以來，傅立葉變換是信號(hào)處理的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具。特別是對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)的處理，把周期變化的信號(hào)表示成一組具有不同頻率的正弦信號(hào)疊加。通過傅立葉變換，在時(shí)域中連續(xù)變化的信號(hào)變換到頻域中，因此是一種純頻域的分析方法。傅立葉變換表示為：圖1隨機(jī)信號(hào)圖1是一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，圖2是進(jìn)行了傅立葉變換之后的頻譜圖。傅立葉譜線是信號(hào)頻率統(tǒng)計(jì)特征，從表達(dá)式也可以看出，他是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒有局局部析信號(hào)的功能，傅立葉譜圖中完全不包含時(shí)域信息。也就是說，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這一頻率在何時(shí)產(chǎn)生，這就是信號(hào)分析中面臨的一個(gè)根本矛盾：時(shí)域和頻域局部化的矛盾。尤其是對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)。圖2傅立葉變換頻譜圖1.2加窗傅立葉變換然而對(duì)于突變的，不穩(wěn)定的信號(hào)，我們感興趣的不止是該信號(hào)的頻率，尤其關(guān)心在不同時(shí)間的頻率。也就是說要用時(shí)間和頻率兩個(gè)信號(hào)來刻畫該信號(hào)，這樣顯然傅立葉變換是無能為力的。因此出現(xiàn)了加窗傅立葉變換。時(shí)時(shí)間窗時(shí)間幅度假定非平穩(wěn)信號(hào)f(t)在分析窗g〔t〕一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的，移動(dòng)窗函數(shù)，使f(t)*g(t-T)在不同的時(shí)間段內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，進(jìn)而分析它的頻率特性。其作用相當(dāng)于在t=T處開了一個(gè)窗口，然后對(duì)整個(gè)時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行傅立葉變換。就相當(dāng)于透過窗口觀察原始信號(hào)。然而，加窗傅立葉變換只有一個(gè)固定的窗函數(shù)，窗函數(shù)一旦確定了以后，其形狀就不再發(fā)生改變，這就大大制約了它在實(shí)際信號(hào)分析中的應(yīng)用。1.3小波變換實(shí)際的信號(hào)是由多種頻率分量組成的，當(dāng)信號(hào)鋒利變化時(shí)，需要一個(gè)較短的時(shí)間窗為其提供更多的頻率信息。而當(dāng)信號(hào)變化平穩(wěn)時(shí)，需要一個(gè)長的時(shí)間窗用來描述信號(hào)的整體行為。這就導(dǎo)致了小波變換的出現(xiàn)，小波分析是傅立葉分析深入分析開展的里程碑。小波變換在非平穩(wěn)信號(hào)分析中具有獨(dú)特的優(yōu)勢在于它可以有靈活可變的時(shí)頻窗口，以適應(yīng)不同頻率分辨率的要求，在時(shí)域和頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，形象的說小波變換具有“變焦〞的功能，因此常被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡〞小波基函數(shù)表示為：，小波基函數(shù)具有波動(dòng)的特性，在原點(diǎn)附近的波動(dòng)明顯偏離水平軸，在遠(yuǎn)離原點(diǎn)的地方函數(shù)值將迅速衰減為0，整個(gè)波動(dòng)趨于平穩(wěn)。而對(duì)于某一信號(hào)函數(shù)的小波變換定義為：圖3小波基函數(shù)變化通過圖3可以看出，改變a可以對(duì)小波函數(shù)進(jìn)行伸縮變換，改變b可以實(shí)現(xiàn)小波函數(shù)的平移。從而實(shí)現(xiàn)通過改變系數(shù)a,b的大小，使小波函數(shù)在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)完成計(jì)算。圖4是連續(xù)小波變換的示意圖。圖4連續(xù)小波變換示意圖1.4小波變換的多分辨多尺度分析多分辨分析原理與人類的視覺方式十分接近，例如我們站在月球上看地球，只能看到地球上大概輪廓和地球上凸出的建筑物〔例如中國的萬里長城等〕，這就是高頻邊緣的提?。寒?dāng)我們站在地球上看地球時(shí)，一草一木清晰可辨，然而不能看見整體，這就是低頻分析。小波可以進(jìn)行多分辨多尺度分析圖5多分辨分析示意圖將信號(hào)在小波基函數(shù)上投影，高頻局部為D，低頻局部A，相當(dāng)于用濾波器給原始信號(hào)濾波，得到高頻和低頻分量，然后再進(jìn)一步應(yīng)用濾波器，得到更精確的信息。最后可以通過小波重構(gòu)得到原始信號(hào)。S＝A1+D1=A2+D2+D1=……圖6為對(duì)一隨機(jī)信號(hào)s進(jìn)行多分辨分析的示意圖。在圖中高頻局部為d，低頻局部a，對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的細(xì)節(jié)和整體的概念。最后也可以通過小波重構(gòu)得到原始信號(hào)S。也可以通過分析得到相應(yīng)包含的各個(gè)頻率的諧波成分。圖6隨即信號(hào)的多分辨分析2小波變換在電力系統(tǒng)的應(yīng)用小波變換已經(jīng)在各個(gè)學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用，主要是用于信號(hào)處理。在地質(zhì)學(xué)，控制理論，圖象學(xué)，醫(yī)學(xué)等很多方面得到應(yīng)用。這里主要介紹小波變換在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。2.1輸電線路故障診斷輸電線路容易發(fā)生故障發(fā)生故障后暫態(tài)行波中包含了豐富的故障信息故障點(diǎn)，故障相，故障距離，故障方向等。精確的故障定位為現(xiàn)場人員提供及時(shí)可靠的信息，加快線路修復(fù)，減小經(jīng)濟(jì)損失。然而這種故障信號(hào)都是非平穩(wěn)信號(hào)，這樣依據(jù)傳統(tǒng)的傅立葉變換很難得到故障的信息。圖7為對(duì)一故障信號(hào)進(jìn)行六層小波分析，再進(jìn)行重構(gòu)，第三圖進(jìn)行放大，可以看出故障發(fā)生的時(shí)間與預(yù)先設(shè)定的仿真時(shí)間相差不多?？梢缘玫剿枰慕Y(jié)果。圖7故障信號(hào)六層小波變換2.2諧波檢測諧波檢測的原理為對(duì)于一個(gè)任意函數(shù)x〔t〕都可以表示為不同頻率的正弦函數(shù)的和。對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，傅立葉變換分析完全能滿足要求，然而諧波多是不平穩(wěn)信號(hào)，所以采用小波變換進(jìn)行分析。下面是采用傅立葉變換和小波變換進(jìn)行比擬的圖：仿真輸入信號(hào)為：可以看出u(t)含有3、5和7次諧波，原始信號(hào)波形如圖8下：圖8原始信號(hào)波形通過傅立葉變換后波形見圖9：圖9傅立葉變換波形通過小波變換后波形見圖10：圖10傅立葉變換波形通過上面這個(gè)例子可以看出，小波分析可以得到諧波頻率，有效值，相位，同時(shí)表達(dá)頻域和時(shí)域的特征。而傅立葉變換只能從整體上表達(dá)信號(hào)出現(xiàn)的諧波，而不能表達(dá)出信號(hào)在時(shí)域方面的信息。下面是對(duì)某一電流信號(hào)應(yīng)用小波變換進(jìn)行諧波檢測的例子。對(duì)圖11電流信號(hào)，取尺度j=3，在matlab下用db4小波進(jìn)行多尺度一維小波分解，并將各尺度下的低頻和高頻系數(shù)重構(gòu)，那么可得到圖11所示的小波變換多尺度特性。其中，參數(shù)d對(duì)應(yīng)的是高頻系數(shù)，相應(yīng)的頻率分別為d1：400～800Hz；d2：200～400Hz；d3：100～200Hz。參數(shù)a對(duì)應(yīng)的是低頻系數(shù)。相應(yīng)頻帶分別是a1：0～400Hz；a2：0～200Hz；a3：0～100Hz。由圖11可以看出，通過d2，d3和a3可將原始信號(hào)〔電網(wǎng)畸變電流〕中的五次諧波、三次諧波和基波電流分量有效地區(qū)分出來，從而實(shí)現(xiàn)了利用小波變換進(jìn)行諧波電流檢測的目的。圖11小波變換