2023年高中考試數(shù)學(xué)?？歼m應(yīng)模擬卷04（新高考專用）（答案版）

第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)保密★啟用前2023新高考名師一模模擬卷（4）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題(共40分)1．已知，集合，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式得，由集合的運(yùn)算與關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由得，，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，C，，故B錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：C2．歐拉公式(為虛數(shù)本位）是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，將指數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的模為A． B． C．1 D．【答案】C【分析】直接由題意可得=cos+isin，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得答案．【詳解】由題意，=cos+isin，∴表示的復(fù)數(shù)的模為．故選C．【點(diǎn)睛】本題以歐拉公式為背景，考查利用新定義解決問題的能力，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，得到x1＋x2＋x3＝，計(jì)算得到＝(x1＋x2＋x3)＋，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，焦點(diǎn)F，x1＋x2＋x3＝3×＝則＝(x1＋x2＋x3)＋＝3.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線相關(guān)線段長(zhǎng)度，抓住重心的公式和拋物線定義是解題的關(guān)鍵.4．某學(xué)校高一年級(jí)?高二年級(jí)?高三年級(jí)的人數(shù)分別為1600，1100，800，現(xiàn)用分層抽樣的方法從高一年級(jí)?高二年級(jí)?高三年級(jí)抽取一個(gè)學(xué)生樣本測(cè)量學(xué)生的身高.如果在這個(gè)樣本中，有高一年級(jí)學(xué)生32人，且測(cè)得高一年級(jí)?高二年級(jí)?高三年級(jí)學(xué)生的平均身高分別為160cm，165cm，170cm.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為32人B．高二年級(jí)每個(gè)學(xué)生被抽取到的概率為C．所有年級(jí)中，高一年級(jí)每個(gè)學(xué)生被抽取到的概率最大D．所有學(xué)生的平均身高估計(jì)要小于165cm【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的概念、分層抽樣的概率、均值的概念判斷．【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義，高三抽取的學(xué)生數(shù)為，A錯(cuò)；分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，均為，B錯(cuò)，C錯(cuò)；平均身高為（cm）,D正確．故選：D．5．若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于敘述正確的是（

）A．的最小正周期為B．在內(nèi)單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于對(duì)稱D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】C【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合函數(shù)圖象變換求得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】，將其圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象；對(duì)A：的最小正周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：為函數(shù)最小值，故是的對(duì)稱軸，C正確；對(duì)D：，故不是的對(duì)稱中心，D錯(cuò)誤.故選：C.6．已知平面向量，且.若，則的最大值為（

）A． B．10 C．2 D．5【答案】A【分析】直接由數(shù)量積的定義，求出即可求解.【詳解】設(shè)夾角為，則，當(dāng)同向即時(shí)取等.故選：A.7．已知實(shí)數(shù)a、b滿足，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再借用基本不等式可得的范圍，再利用可得的范圍，在構(gòu)造新函數(shù)，借助放縮法可得的大小關(guān)系.【詳解】，，

令，，則所以當(dāng)時(shí)，，即

故選：D.8．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)]時(shí)，，若關(guān)于x的方程至少有8個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可得出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，的圖象，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，原問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)兩函數(shù)圖象至少有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)所以，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，在同一坐標(biāo)系的圖象，如圖，因?yàn)榉匠讨辽儆?個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，圖象至少有8個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)，的圖象都為偶函數(shù)可知，圖象在y軸右側(cè)至少有4個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，只需，即，當(dāng)時(shí)，只需，即，當(dāng)時(shí)，由圖可知顯然成立，綜上可知，.故選：B【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．二、多選題(共20分)9．已知函數(shù)（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小值為B．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，C．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D．若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性、最值、圖象性質(zhì)、零點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故A正確，B正確；在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如下圖根據(jù)圖象可知，要使在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是或，故C不正確；根據(jù)上述圖象可知，有一個(gè)零點(diǎn)0，有兩個(gè)零點(diǎn)1和3，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)1和3；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)0，在上有兩個(gè)零點(diǎn)1和3；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)0，在上有一個(gè)零點(diǎn)3；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)0，在沒有零點(diǎn)；綜上，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.10．盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)B．八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的6.3倍C．八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級(jí)為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列【答案】ACD【分析】根據(jù)所給公式，結(jié)合指對(duì)互化原則，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由題意得，解得，即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；對(duì)于B：八級(jí)地震即時(shí)，，解得，所以，所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的倍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：六級(jí)地震即時(shí)，，解得，所以，即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍，故C正確；對(duì)于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），所以，所以所以，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故D正確；故選：ACD11．已知圓C：，則下列命題是真命題的是（

）A．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則B．存在直線與所有的圓都相切C．當(dāng)時(shí)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為D．當(dāng)時(shí)，直線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則最小值為4【答案】BCD【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱，得得值，檢驗(yàn)半徑是否大于零，即可判斷A；根據(jù)直線與圓相切的充要條件判斷B；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定的最值即可判斷C；根據(jù)直線與圓相切的切線長(zhǎng)與切點(diǎn)弦關(guān)系可判斷D.【詳解】解：圓C：，整理得：，所以圓心，半徑，則對(duì)于A，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過圓心，所以，得，又時(shí)，，方程不能表示圓，故A是假命題；對(duì)于B，對(duì)于圓，圓心為，半徑，則，當(dāng)直線為時(shí)，圓心到直線的距離，故存在直線，使得與所有的圓相切，故B是真命題；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，圓的方程為，圓心為，半徑由于為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則式子可表示直線，此時(shí)表示直線的縱截距，故當(dāng)直線與圓相切時(shí)，可確定的取值范圍,于是圓心到直線的距離，解得或，則，所以的最大值為，故C為真命題；對(duì)于D，圓的方程為，圓心為，半徑，如圖，連接，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，且可得，又，所以，且平分，所以，則，則最小值即的最小值，即圓心到直線的距離，所以的最小值為，故D為真命題.故選：BCD.12．棱長(zhǎng)為a且體積為V的正四面體的底面內(nèi)有一點(diǎn)H，它到平面、、的距離分別為，，，E，F(xiàn)在與上，且，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若a為定值，則為定值 B．若，則C．存在H，使，，成等比數(shù)列 D．若，則，，成等差數(shù)列【答案】ACD【分析】根據(jù)，計(jì)算即可判斷A；由A求得，從而可求得正四面體的體積，即可判斷B；當(dāng)H是中心時(shí)，，即可判斷C；根據(jù)，，，則，從而可得，設(shè)H到，，的距離為，，，從而可得，即可判斷D.【詳解】解：正四面體的高為，由，即，所以，所以，故A正確；由A知，，∴，B不正確；當(dāng)H是中心時(shí)，，此時(shí)，，成等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，若，則，則，設(shè)H到，，的距離為，，，∴，又因?yàn)槠矫?、平面、平面與平面所成角相等，∴，所以，，成等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題(共20分)13．（tan50°+tan60°）sin20°=___________.【答案】1【分析】利用同角關(guān)系以及誘導(dǎo)公式、倍角公式作恒等變換求解即可.【詳解】；故答案為：1.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)N作直線OM的垂線與x軸交于點(diǎn)P，則___________.【答案】3【分析】設(shè)，則，易得直線的方程為，求得，結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】依題意，設(shè)，由，得N為的中點(diǎn)且，則，易得直線的垂線的方程為.令，得，故，由拋物線的定義易知，故.故答案為：315．已知函數(shù)（x>0），若的最大值為，則正實(shí)數(shù)a=___________.【答案】1【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于a的方程即可求得正實(shí)數(shù)a的值.【詳解】令，則，則令當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，即的最大值為則，解之得.當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則，即的最大值為則，解之得（舍）綜上，所求正實(shí)數(shù)故答案為：116．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則__________；的最大值為__________.【答案】

1

3【分析】，從而得到，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求出，，顯然為函數(shù)的零點(diǎn)，故有兩個(gè)根，由求出，得到的最大值.【詳解】，則，定義域?yàn)镽，且，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故，，顯然為函數(shù)的零點(diǎn)，故有兩個(gè)根，所以，解得：，當(dāng)時(shí)，，有三個(gè)相等的零點(diǎn)，故答案為：，3.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性，若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.四、解答題(共70分)17．(本題10分)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S7=49，a2+a8=18.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若S3、a17、Sm成等比數(shù)列，求S3m.【答案】（1）an=2n﹣1；（2）1089.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由條件有，可求出，進(jìn)而得出答案.（2）由（1）知：S,由S3、a17、Sm成等比數(shù)列，可以求出，則可得出的值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S7=49，a2+a8=18，∴?，解得：d=2.∴（2）由（1）知：.∵成等比數(shù)列，∴，即9m2，解得m11.故【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求前項(xiàng)的和，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.18．(本題12分)在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若，，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得值，又由，可求A．（2）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得的積，進(jìn)而由余弦定理即可求解．【詳解】（1）（1），，可得，，，又，．（2），，，.又由，根據(jù)余弦定理得：．19．(本題12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面PBC；（2）試確定點(diǎn)F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°【分析】（1）證明．，推出平面．得到．證明，得到平面．然后證明平面平面．（2）分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，求出為平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD為正方形∴AB⊥BC

又PA∩AB=A，PA，AB平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE平面PAB∴AE⊥BC

∵PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)∴AE⊥PB又PB∩BC=B，PB，BC平面PBC∴AE⊥平面PBC

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）∴，，設(shè)F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為則∴令y1=2，則∴設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為則∴令y2=1，則∴∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，∴，解得λ=1，∴當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°【點(diǎn)睛】本題考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的垂直的證明，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力和空間想象能力．考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算．20．(本題12分)甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行“趣味投籃比賽”，制定比賽規(guī)則如下：每輪比賽中甲、乙兩人各投一球，兩人都投中或者都未投中則均記0分；一人投中而另一人未投中，則投中的記1分，未投中的記分設(shè)每輪比賽中甲投中的概率為，乙投中的概率為，甲、乙兩人投籃相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．(1)經(jīng)過1輪比賽，記甲的得分為，求的分布列和期望；(2)經(jīng)過3輪比賽，用表示第n輪比賽后甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分的概率，研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)m，s，t的值．【答案】(1)答案見解析(2)，，【分析】（1）由題意得的可能取值為，求出對(duì)應(yīng)的概率，求出的分布列及期望即可；（2）結(jié)合題意求出，將點(diǎn)代入即可求出m，s，t的值．【詳解】（1）的可能取值為，則；；，的分布列為：01．（2）由（1）知，經(jīng)過兩輪比賽，甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分有兩種情況：一是甲兩輪得分都為；二是兩輪中甲有一輪得0分，另一輪得分，則．經(jīng)過三輪比賽，甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分有四種情況：三輪中甲得分都為；三輪中甲有兩輪得分，另一輪得0分；三輪中甲有一輪得分，另兩輪得0分；三輪中甲有兩輪得分，另一輪得1分，則，由題意，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則，②－①得④，③－②得⑤，⑤÷④得⑥，將⑥代入④得⑦，將⑥⑦代入①得，綜上，，，．21．(本題12分)已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過A(0，2)?B(-3，-1)兩點(diǎn).（1）求直線AB和橢圓的方程；（2）求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)T到N(1，0)的最短距離；（3）直線AB與x軸交于點(diǎn)M(m，0)，過點(diǎn)M作不垂直于坐標(biāo)軸且與AB不重合的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線AC，BD分別交直線x=m于P，Q兩點(diǎn).求證：為定值.【答案】（1）；；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）把點(diǎn)A(0，2)?B(-3，-1)代入橢圓方程即可求出橢圓方程；直線AB的方程可以利用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求解；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)為函數(shù)最值問題求解；（3）首先利用直線的方程求出，再分別利用，的方程與橢圓方程聯(lián)立方程組得出坐標(biāo)，即可化簡(jiǎn)得到.【詳解】（1）把A(0，2)?B(-3，-1)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，即，，即橢圓方程為：.，所以直線的方程為：.（2）設(shè)，則點(diǎn)T到N(1，0)的距離，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值，且，所以動(dòng)點(diǎn)T到N(1，0)的最短距離為：.（3）如圖，因?yàn)橹本€的方程為：，取得，，設(shè)