靜電場(chǎng)(8)靜電場(chǎng)的能量

第二章靜電場(chǎng)§2.1

庫侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度§2.2靜電場(chǎng)的無旋性與電位函數(shù)§2.3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體與電介質(zhì)§2.4高斯通量定理§2.5泊松方程和拉普拉斯方程§2.6分界面上的邊界條件§2.7導(dǎo)體系統(tǒng)的電容§2.8靜電場(chǎng)能量和靜電力★

靜電場(chǎng)的能量體密度（2-103）§2.8靜電場(chǎng)能量和靜電力二、靜電力一、靜電場(chǎng)的能量

1、電荷系統(tǒng)的能量（用電荷和電位表示靜電能量）2、用場(chǎng)強(qiáng)表示的靜電能量及能量體密度§2.8靜電場(chǎng)能量和靜電力二、靜電力一、靜電場(chǎng)的能量

1、電荷系統(tǒng)的能量（用電荷和電位表示靜電能量）2、用場(chǎng)量表示的靜電能量及能量體密度例：帶電電容器的能量充電時(shí)，電源做功→電容器的靜電能；

CB放電時(shí)，能量釋放→電場(chǎng)力做功。一、靜電場(chǎng)的能量故電場(chǎng)是儲(chǔ)存有能量的，其能量來源于建立系統(tǒng)的電荷分布過程中的外界所做的功。

CB充電（電源做功）→電容器的靜電能電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有力的作用。一、靜電場(chǎng)的能量若受電場(chǎng)力的作用電荷發(fā)生了位移，則電場(chǎng)力對(duì)該電荷做了功，可見電場(chǎng)中是存儲(chǔ)有能量的。反之，若某種力逆電場(chǎng)力使電荷發(fā)生了位移，則此力也對(duì)電荷做了功，此功轉(zhuǎn)換成能量存儲(chǔ)在(電荷發(fā)生了位移的)電場(chǎng)中。電場(chǎng)力作功,僅與始末位置有關(guān), 與路徑無關(guān)。靜電場(chǎng)中：場(chǎng)強(qiáng)的線積分與路徑無關(guān)，所以靜電場(chǎng)的能量是靜電勢(shì)能，它只與系統(tǒng)電荷分布有關(guān)，而與形成這種分布的過程無關(guān)?！?.8靜電場(chǎng)能量和靜電力二、靜電力一、靜電場(chǎng)的能量

1、電荷系統(tǒng)的能量（用電荷和電位表示靜電能量）2、用場(chǎng)量表示的靜電能量及能量體密度1、電荷系統(tǒng)的能量（用電荷和電位表示靜電能量）假設(shè)在線性、各向同性的媒質(zhì)中，已建立了一定分布的電荷系統(tǒng)，其最終電荷分布為，電位是。由于靜電能量是勢(shì)能，它只與系統(tǒng)的最終分布有關(guān)，故可選擇一個(gè)最簡(jiǎn)單的過程給系統(tǒng)充電。對(duì)某體積元dV，若其電荷密度由

增至

+d(

)，則電源向dV送入的電荷為dq=d(

)dV，需做的功為：各點(diǎn)的電荷密度按其最終分布的同一比例因子

(01)變化，各點(diǎn)的電位也將按同一比例因子變化。即：在充電過程的某時(shí)刻，當(dāng)各點(diǎn)電荷分布為時(shí)，相應(yīng)點(diǎn)的電位為。例如：故對(duì)整個(gè)空間，電荷分布由

+d(

)時(shí)，電源（外源）向電場(chǎng)提供的功：（亦即使電場(chǎng)能量獲得的增量）整個(gè)充電過程中，亦即：01，：0

，電場(chǎng)能量的總增量為：（2-97）（亦即系統(tǒng)的總電場(chǎng)能量）如果電荷是分布在表面的，其最終面密度為

時(shí)，（2-98）如果帶電體是導(dǎo)體，則在第i號(hào)導(dǎo)體上，

i為常數(shù)，是第i號(hào)導(dǎo)體上帶的電荷，則（2-99）§2.8靜電場(chǎng)能量和靜電力二、靜電力一、靜電場(chǎng)的能量

1、電荷系統(tǒng)的能量（用電荷和電位表示靜電能量）2、用場(chǎng)量表示的靜電能量及能量體密度2、用場(chǎng)量表示的靜電能量及能量體密度微分形式：靜電場(chǎng)的基本方程：矢量恒等式（P352，第11式）（2-97）電場(chǎng)與電位的關(guān)系（2-100）高斯散度定理（2-100）(2-97)中的積分是在整個(gè)空間進(jìn)行的，但只有有電荷的空間對(duì)積分有貢獻(xiàn)，=0因此把積分區(qū)域任意擴(kuò)大并不影響積分的結(jié)果。當(dāng)積分?jǐn)U大時(shí)，包圍這個(gè)體積的表面S也無限擴(kuò)大，因?yàn)殡姾煞植嫉膮^(qū)域是有限的，對(duì)于表面S而言，整個(gè)電荷分布區(qū)域恰似一個(gè)與它距離為R的點(diǎn)電荷一樣，因而表面上的和都將分別與1/R和1/R2成正比，而將與1/R3成正比，因此：（2-97）（2-100）=0（2-101）（2-101）介質(zhì)方程在理想介質(zhì)（各向同性、均勻、線性的媒質(zhì)）中，（2-102）可見，電場(chǎng)分布不為0的區(qū)域?qū)Ψe分都有貢獻(xiàn)，即有電場(chǎng)分布的空間都有能量儲(chǔ)存。任一帶電系統(tǒng)，電場(chǎng)空間所存儲(chǔ)的能量：（2-102）V：整個(gè)電場(chǎng)空間能量體密度：對(duì)于理想介質(zhì)：（2-103）（2-104）物理意義：電場(chǎng)是一種物質(zhì)，它具有能量。（定義）（2-101）（2-97）注釋：適用范圍：僅適用于靜電場(chǎng)（反映了：靜止電荷所具有的靜電位能）適用范圍：不僅適用于靜電場(chǎng)，且也適用于時(shí)變場(chǎng)。（可以用來計(jì)算全部空間的總能量，也可以計(jì)算部分區(qū)域的能量。）以電容器為例進(jìn)一步闡述靜電場(chǎng)的能量1.帶電電容器的能量充電時(shí),電源做功→電容器的靜電能；放電時(shí),能量釋放→電場(chǎng)力做功。e.g.

CB電場(chǎng)力做功：放電：+Q(-Q)t=0t—t+

t+q(-q)-dq帶電電容器的靜電能：+++++++++---------電容器的電能電容器貯存的電能+2.靜電場(chǎng)的能量充電與放電→極板間電場(chǎng)產(chǎn)生與消失場(chǎng)的觀點(diǎn)：靜電能儲(chǔ)存于電場(chǎng)中電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)的能量能量體密度對(duì)平行板電容器電場(chǎng)的空間體積例2-19P82在真空中一半徑為R的圓球（其介電常數(shù)為

0

）內(nèi)，均勻分布有體密度為

0的電荷，求靜電能量。解：按照公式（2-102）選擇高斯面——同心球面。應(yīng)用高斯通量定理，有將“均勻帶電球體”改為同樣大小的“均勻帶電球面”或“帶電金屬球”，結(jié)果？[思考]金屬球半徑R，帶電量Q，求其靜電能。解：[解法一]視為帶電電容器（孤立導(dǎo)體球）：[解法二]計(jì)算靜電場(chǎng)的能量：rr+drro[思考]球內(nèi)：E=0→W=0球外：r－r+dr區(qū)域的能量：整個(gè)電場(chǎng)的能量：均勻帶電球體“帶電金屬球”或“均勻帶電球面”均勻帶電球體“帶電金屬球”或“均勻帶電球面”[結(jié)論]將“帶電金屬球”改為同樣大小的“均勻帶電球面”，結(jié)果？Answer:改為球面,We不變；改為球體,We增大。同樣大小的“均勻帶電球體”？We→C,也是計(jì)算電容的一種方法。Note:根據(jù)電場(chǎng)在空間的分布，然而計(jì)算出空間中的總電場(chǎng)能量We，則可計(jì)算出電容器的電容值：

C=Q2/2We這是計(jì)算電容的另一種方法。例2-20P83某一同軸電纜的內(nèi)、外導(dǎo)體的直徑分別為10mm和20mm，其中絕緣體的相對(duì)介電常數(shù)為5，擊穿場(chǎng)強(qiáng)為200kV/cm，問該電纜中每公里所儲(chǔ)存的最大靜電能量為多少？解：根據(jù)題義，可按照?qǐng)A柱電容器處理。RA=0.5cm,RB=1.0cmr=5，l=1kmEmax=2×105V/cm選擇高斯面——同軸圓柱面。應(yīng)用高斯通量定理，有r=RA時(shí)，E最大，即：[例]電容為C的電容器,極板上帶電量Q。將其與另一不帶電的相同電容器并聯(lián),則該電容器組的靜電能W=

。解：C+Q-QC并聯(lián)后,總帶電量為Q,總電容為2CW=Q2/4C上、下極板各帶Q的電荷，總電荷算Q嗎？？§2.8靜電場(chǎng)能量和靜電力二、靜電力一、靜電場(chǎng)的能量

1、電荷系統(tǒng)的能量（用電荷和電位表示靜電能量）2、用場(chǎng)強(qiáng)表示的靜電能量及能量體密度二、靜電力計(jì)算方法★庫侖定律★虛位移法二、靜電力★虛位移法假設(shè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)中某一導(dǎo)體發(fā)生一小的位移時(shí)的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系來確定導(dǎo)體所受的電場(chǎng)力。由于計(jì)算出來的力是沒有發(fā)生位移時(shí)的力，即位移是虛設(shè)的，故稱為虛位移法。★定義：★虛位移法外力做的功=靜電場(chǎng)能量的變化+電場(chǎng)力做功與各帶電導(dǎo)體相連的外電源提供的能量；第p號(hào)導(dǎo)體作dg位移后電場(chǎng)儲(chǔ)能We的增量；f在g方向的分量。★原理：能量守恒★方法：A、設(shè)系統(tǒng)與外界隔離，則dW=0，q=常數(shù)“–”號(hào)表示在沒有外源提供能量的情況下，電場(chǎng)力靠減少電場(chǎng)儲(chǔ)能來做功。偏導(dǎo)數(shù)是考慮到可能不只是g坐標(biāo)變量的一維函數(shù)。（2-106）B、設(shè)系統(tǒng)與恒壓源相連，則

k=常數(shù)（2-99）即電場(chǎng)儲(chǔ)能的增量為外電源提供的能量的一半，根