線性規(guī)劃在市場營銷、財務和運作管理領域的應用

第4章線性規(guī)劃在市場營銷、財務和運作管理領域的應用

教師：朱玉春教授單位：經(jīng)濟管理學院

2023年西北農(nóng)林科技大學引言線性規(guī)劃被譽為是在制定決策時最成功的定量化方法之一，它幾乎應用于各個行業(yè)。它涉及的問題包括：生產(chǎn)方案、媒體選擇、財務方案、資本預算、運輸問題、配送系統(tǒng)設計、產(chǎn)品組合、人事管理及混合問題等等。本章我們介紹線性規(guī)劃的一系列應用，包含一些來自于傳統(tǒng)商業(yè)領域的營銷、財務以及運作管理等問題。本章主要內(nèi)容4.1市場營銷應用4.2財務應用4.3生產(chǎn)管理應用4.4混合問題4.1市場營銷應用4.1.1媒體選擇REL開展公司正在私人湖邊開發(fā)一個環(huán)湖社區(qū)，湖邊地帶和住宅的主要市場是距離開發(fā)區(qū)100英里內(nèi)的所有中上等收入家庭。REL公司已經(jīng)聘請BP&J廣告公司涉及宣傳活動?？紤]到可能的廣告媒體和要覆蓋的市場，BP&J建議將第一個月的廣告限投在5種媒體上。在第一個月末，BP&J將根據(jù)該月的結(jié)果再次評估它的廣告策略。BP&J已經(jīng)搜集了關于潛在受眾的數(shù)量、廣告單價、各種媒體一定時期內(nèi)可用的最大次數(shù)以及評定5種媒體各自宣傳質(zhì)量的數(shù)據(jù)。質(zhì)量評定時通過宣傳質(zhì)量單位來衡量，所謂宣傳質(zhì)量單位是一種用于衡量在各個媒體一次廣告相對價值的標準，它建立的依據(jù)是BP&J在廣告行業(yè)中的經(jīng)驗，考慮了眾多因素，如觀眾人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)〔年齡、收入和教育程度〕、呈現(xiàn)的形象和廣告的質(zhì)量。表4-1列出了所搜集的信息。4.1市場營銷應用廣告媒體潛在受眾人數(shù)廣告單價每月最多可用次數(shù)宣傳質(zhì)量單位日間電視（1分鐘，WKLA臺）100015001565晚間電視（30秒，WKLA臺）200030001090日報（整報，早報日報紙雜志（1/2版，彩色，周日出版）25001000460電臺早8點或晚5點新聞（30秒，KNOP臺）30010030204.1市場營銷應用REL開展公司提供給BP&L第一個月的廣告預算是30000美元。并且，REL開展公司對如何分配這些資金有如下限制：至少用10次電視廣告，覆蓋的觀眾人數(shù)至少到達五萬人，并且電視廣告費用不超過18000美元。應該選擇哪些廣告媒體呢？要做出的決策是每種媒體的使用次數(shù)是多少。我們首先定義如下決策變量：DTV——日間電視使用次數(shù)：ETV——晚間電視使用次數(shù)；DN——日報使用次數(shù)；SN——周日報紙使用次數(shù)；R——電臺使用次數(shù)。4.1市場營銷應用從表可看出，一次日間電視廣告〔DTV〕的宣傳質(zhì)量單位是65，與DTV合作的廣告設計將提供65DTV的宣傳質(zhì)量單位,晚間電視宣傳質(zhì)量單位是90，日報宣傳質(zhì)量單位是40，周日報紙宣傳質(zhì)量單位是60，電臺的宣傳質(zhì)量單位是20。因此如果建模目標是使用媒體選擇方案的總宣傳質(zhì)量最大，那么目標函數(shù)就是：Max65DTV+90ETV+40DN+60SN+20R模型的約束條件：DTV≤15ETV≤10DN≤25SN≤4R≤304.1市場營銷應用1500DTV+3000ETV+400DN+1000SN+100R≤30000預算約束DTV+ETV≥10電視約束1500DTV+3000ETV≤18000電視約束1000DTV+2000ETV+1500DN+2500SN+300R≥50000

受眾約束DTV,ETV,DN,SN,R≥0對這由5個變量和9個約束條件的線性模型求解如下：4.1市場營銷應用ObjectiveFuctionValue=2370.000Variable

Value

ReducedCosts------------------------------------------------------------

DTV

10.000

0.000

ETV

0.000

65.000

DN

25.000

0.000

SN

2.000

0.000

R

30.000

0.000

ConstraintSlack/Surplus

DualPrices--------------------------------------------------------1

5.000

0.0002

10.000

0.0003

0.000

16.0004

2.000

0.0005

0.000

14.0006

0.000

0.0607

0.000

-25.0008

3000.000

0.0009

11500.003

0.0004.1市場營銷應用該模型的缺乏之處：即使宣傳質(zhì)量的評定沒錯，也不能保證總宣傳質(zhì)量的最大化會使利潤或銷售最大化。然而，這并不是線性規(guī)劃模型本身的缺陷，而是以宣傳質(zhì)量為標準的缺陷。如果我們能直接計量廣告對利潤的影響，我們就能以最大利潤化為目標了。REL開展公司的廣告方案廣告媒體頻率預算（美元）廣告媒體頻率預算（美元）日間電視1015000電臺303000日報2510000宣傳質(zhì)量單位=2370周日報紙22000受眾總數(shù)=615004.1市場營銷應用4.1.2市場調(diào)查公司開展市場調(diào)查以了解消費者個性特點、態(tài)度及偏好。市場調(diào)查公司〔MSI〕專門評定消費者對新產(chǎn)品、效勞和廣告活動的反響。一個客戶公司要求MSI幫助確定消費者對一種近期推出的家居產(chǎn)品的反響。在與客戶會面過程中，MSI同意開展個人入戶調(diào)查，調(diào)查有兒童的家庭和沒兒童的家庭的反響。同時MSI還愿意開展日間和夜間調(diào)查。值得注意的是，客戶的合同要求MSI依照以下的限制條款進行1000次訪問：4.1市場營銷應用至少訪問400個有兒童的家庭至少訪問400個無兒童的家庭。夜間訪問的家庭數(shù)量不得少于日間訪問的數(shù)量。至少40%的有兒童家庭必須在夜間訪問。至少60%的無兒童家庭必須在夜間訪問。因為訪問有兒童家庭需要額外的時間，所以夜間訪問員的報酬要比日間訪問員高，調(diào)查本錢因訪問類型的不同而不同。預計的訪問費用如下表〔單位：美元〕4.1市場營銷應用以最小的總訪問本錢來滿足合同要求的家庭--時間的訪問方案是什么樣的呢？我們設定如下的決策變量：DC--日間訪問有兒童家庭數(shù)量；EC--夜間訪問有兒童家庭數(shù)量；DNC--日間訪問無兒童家庭數(shù)量；DEC--夜間訪問無兒童家庭數(shù)量。

家庭類型

訪問費用有兒童無兒童202518204.1市場營銷應用我們依照每次訪問本錢建立線性規(guī)劃模型，推出的目標函數(shù)如下：Min20DC+25EC+18DNC+20ENC約束條件要求總訪問量到達1000，即：DC+EC+DNC+ENC=10005個有關訪問類型的特別約束如下：有兒童家庭：DC+EC≥400無兒童家庭：DNC+ENC≥400夜間訪問的家庭數(shù)量不得少于日間訪問的數(shù)量：EC+ENC≥DC+DNC即-DC+EC-DNC+ENC≥0至少40%的有兒童家庭必須在夜間訪問：EC≥0.4(DC+EC)或-0.4DC+0.6EC≥0至少60%的無兒童家庭必須在夜間訪問：ENC≥0.6(DNC+ENC)或-0.6DNC+0.4ENC≥04.1市場營銷應用

將這些非負條件添加到模型后，這個有4個變量和6個約束條件的線性規(guī)劃模型變?yōu)?Min20DC+25EC+18DNC+20ENC

S.t.DC+EC+DNC+ENC=1000

訪問總次數(shù)

DC+EC≥400

有兒童家庭

DNC+ENC≥400

無兒童家庭

-DC+EC-DNC+ENC≥0

夜間訪問

-0.4DC+0.6EC≥0夜間訪問有兒童家庭

-0.6DNC+0.4ENC≥0

夜間訪問無兒童家庭

DC,EC,DNC,ENC≥04.1市場營銷應用求解結(jié)果如下：ObjectiveFuctionValue=20320.000

Variable

Value

ReducedCosts----------------------

----------------------

----------------------DC

240.000

0.000EC

160.000

0.000DNC

240.000

0.000ENC

360.000

0.000

Constraint

Slack/Surplus

DualPrices----------------------

----------------------

----------------------1

0.000

-19.2002

0.000

-2.8003

200.000

0.0004

40.000

0.0005

0.000

-5.0006

0.000

-2.0004.2財務應用投資組合一家坐落于紐約的威爾特共同基金公司，通過變現(xiàn)工業(yè)債券獲得了100000美元的現(xiàn)金，并正為這筆資金尋找其他投資時機。根據(jù)威爾特目前的投資情況，公司高級財務師建議新的投資全部用于石油、鋼鐵行業(yè)或政府債券。分析師具體確定了5個投資時機，并預計了它們的年收益率。投資及相應的年收益率如下表：投資對象預期年收益（%）大西洋石油7.3太平洋石油10.3中西部鋼鐵6.4Huber鋼鐵7.5政府債券4.54.2財務應用投資方案如下：在任何行業(yè)〔石油或鋼鐵〕的投資不得多于50000美元。對政府債券的投資至少相當于鋼鐵行業(yè)投資的25%。對太平洋石油這樣高收益又高風險的投資工程，投資額不得多于對整個石油行業(yè)投資的60%。這筆可使用的100000美元資金應怎樣分配呢？以預期收益率最大為目標，我們可以通過建立線性規(guī)劃模型來求解。設A——投資于大西洋石油的資金數(shù)；P——投資于太平洋石油的資金數(shù)；M——投資于中西部鋼鐵的資金數(shù)；H——投資于Huber鋼鐵的資金數(shù)；G——投資于政府債券的資金數(shù)。4.2財務應用我們得出投資收益最大化的目標函數(shù)：Max0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G設可用的100000美元資金的約束條件為：A+P+M+H+G=100000石油或鋼鐵投資不得多于5000美元的約束條件為：A+P≤50000M+H≤50000對政府債券投資至少相當于對鋼鐵行業(yè)投資的25%的約束條件為：G≥0.25〔M+H〕或-0.25M-0.25H+G≥0最后，對太平洋石油投資額不得多于對整個石油行業(yè)投資的60%的約束條件為：P≤0.6〔A+P〕或-0.60A+0.40P≤04.2財務應用參加這些非負約束后，我們得到完整的線性規(guī)劃模型：Max0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045GS.t. A+P+M+H+G=100000可用資金 A+P≤500000石油行業(yè)最大投資額 M+H≤500000鋼鐵行業(yè)最大投資額 -0.25M-0.25H+G≥0政府債券 -0.6A+0.4P≤0太平洋石油 A,P,M,H,G≥0非負約束4.2財務應用最優(yōu)解決方案見以下圖：ObjectiveFuctionValue=8000.000

Variable

ValueReducedCosts----------------------

----------------------

----------------------A

20000.000

0.000P

30000.000

0.000M

0.000

0.011H

40000.000

0.000G

10000.000

0.000ConstraintSlack/SurplusDualPrices----------------------

----------------------

----------------------1

0.000

0.0692

0.000

0.0223

10000.000

0.0004

0.000

-0.0245

0.000

0.0304.2財務應用4.2.2財務方案Hewlitt公司建立了一項提前退休方案，作為其公司重組的一局部。在自愿簽約期臨近時，68位雇員辦理了提前退休手續(xù)。因為這些人的提前退休，在接下來的8年里，公司將承擔以下責任，每年年初支付的現(xiàn)金需求如下表所示〔單位：1000美元〕公司的財務人員必須決定現(xiàn)在應該準備多少錢，以便應付8年的支出方案。該退休工程的財務方案包括政府債券的投資及儲蓄。對于政府債券的投資限于以下3種選擇年份12345678現(xiàn)金需求430210222231240195225255債券價格（美元）利率（%）到期年數(shù)（年）111508.8755210005.50063135011.75074.2財務應用政府債券面值1000美元，這意味著盡管價格不同，到期時，也要支付1000美元。上表中所示利率是基于面值的。在制定這個方案時，財務人員假定所有沒有被投資于債券的資金都被投資于儲蓄，且每年可以獲得4%的利息。定義如下決策變量：F——退休方案所形成的8年期債務所需的總金額；B1——在第1年年初買入的債券1的單位數(shù)量；B2——在第1年年初買入的債券2的單位數(shù)量；B3——在第1年年初買入的債券3的單位數(shù)量；Si——第i年年初投資于儲蓄的金額〔i=1,2,…,8〕目標函數(shù)是求出滿足退休方案帶來的8年期債券所需資金的最小值，即minF每個約束條件都采取下面的形式：年初可使用資金-投資于債券與儲蓄的資金=該年的現(xiàn)金支付F給出了第1年年初可使用的資金數(shù)量，第1年的資金除了用于購置債券外，其用于儲蓄的數(shù)額為S1，第1年的約束條件：4.2財務應用F-1.15B1-1B2-1.35B3-S1=430第2年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210其他年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222

0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231

0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=2401.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=1951.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=2251.1175B3+1.04S7-S8=255需要注意的是，第6年的約束條件顯示出債券1提供的可用資金是1.08875B1，系數(shù)1.08875B1反映了在第6年可獲得的債券1在第5年的面值加上利息的值。同時，因為債券在第5年到期，在第6年年初就可以使用，所以變量B1不會出現(xiàn)在第7年和第8年的約束中。債券2和3與債券1同樣。4.2財務應用ObjectiveFuctionValue=1728.79385

Variable

Value

ReducedCosts----------------------

----------------------

----------------------F

1728.79385

0.000B1

144.98815

0.000B2

187.85585

0.000B3

228.18792

0.000S1

636.14794

0.000S2501.60571

0.000S3349.681790.000S4182.680910.000S50.000000.06403S60.000000.01261S70.000000.02132S80.000000.67084

Constraint

Slack/Surplus

DualPrices----------------------

----------------------

----------------------1

0.000

-1.000002

0.000

-0.961543

0.000

-0.924564

0.000

-0.8890050.000

-0.8548060.000-0.7603670.000-0.7189980.000-0.670844.3生產(chǎn)管理應用4.3.1制造或購置決策我們用線性規(guī)劃來決定一個公司生產(chǎn)幾種零件時，每種應分別生產(chǎn)多少，又該從外部購置多少。我們稱之為“制造或購置決策〞。某公司經(jīng)營多種商用和工程產(chǎn)品。最近該公司準備推出兩款新計算器，一款用于商用市場，名為“財務經(jīng)理〞；另一款用于工程市場，名為“技術專家〞。每款都由3部件組成，一個基座，一個電子管，一個面板。兩種計算器使用相同的基座，但電子管和面板不同。所有零件都可以由公司自己生產(chǎn)或從外部購置。各自本錢見下表。4.3生產(chǎn)管理應用零部件單位成本（美元）制造（正常時間）采購基座0.500.60財務經(jīng)理電子管3.754.00技術專家電子管3.303.90財務經(jīng)理面板0.600.65技術專家面板0.750.784.3生產(chǎn)管理應用預測師們指出市場將需要3000臺財務經(jīng)理和2000臺技術專家。但由于生產(chǎn)能力有限，公司僅能安排200小時的正常生產(chǎn)時間和50個小時的加班時間用于計算器生產(chǎn)。加班時間要每小時多支付給員工9美元的津貼，即額外的本錢。右表顯示了各零件所分得的生產(chǎn)時間。零部件生產(chǎn)時間基座1.0財務經(jīng)理電子管3.0技術專家電子管2.5財務經(jīng)理面板1.0技術專家面板1.54.3生產(chǎn)管理應用該公司問題是決定每種零部件有多少單位由自己生產(chǎn)，多少從外部購置。我們定義如下變量：BM——生產(chǎn)的基座數(shù)量；BP——購置的基座數(shù)量；FCM——生產(chǎn)的財務經(jīng)理電子管數(shù)量；FCP——購置的財務經(jīng)理電子管數(shù)量；TCM——生產(chǎn)的技術專家電子管數(shù)量；TCP——購置的技術專家電子管數(shù)量；FTM——生產(chǎn)的財務經(jīng)理面板數(shù)量；FTP——購置的財務經(jīng)理面板數(shù)量；TTM——生產(chǎn)的技術專家面板數(shù)量；TTP——購置的技術專家面板數(shù)量；OT——加班時間。目標函數(shù)是將本錢最小化。本錢包含生產(chǎn)費用、采購費用和加班費用。4.3生產(chǎn)管理應用目標函數(shù)為：Min

0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.78TTP+90T

5個約束條件：

BM+BP=5000

基座

FCM+FCP=3000

財務經(jīng)理電子管

TCM+TCP=2000

技術專家電子管

FTM+FTP=3000

財務經(jīng)理面板

TTM+TTP=2000

技術專家面板

需要兩個約束條件保證不會超出正常工作時間和加班時間。即：

OT≤50

BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM≤12000+300O4.3生產(chǎn)管理應用所有帶非負的決策變量的完整的模型是：Min

0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.75TTM+0.78TTP+90TS.t.

BM+BP=5000

基座

FCM+FCP=3000

財務經(jīng)理電子管

TCM+TCP=2000

技術專家電子管

FTM+FTP=3000

財務經(jīng)理面板

TTM+TTP=2000

技術專家面板

OT≤50

加班時間

BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM≤12000+3000

生產(chǎn)能力4.3生產(chǎn)管理應用

最優(yōu)解決方案如右圖所示。ObjectiveFuctionValue=24443.333VariableValueReducedCosts

----------------------

----------------------

----------------------BM5000.000

0.000BP0.000

0.017FCM666.6670.000FCP2333.3330.000TCM2000.0000.000TCP0.000

0.392FTM0.000

0.033FTP3000.000

0.000TTM

0.000

0.095TTP2000.0000.000OT

0.000

4.0004.3生產(chǎn)管理應用ConstraintSlack/SurplusDualPrices----------------------

----------------------

----------------------1

0.000

-0.5832

0.000

-4.0003

0.000

-3.5084

0.000

-0.6505

0.000

-0.7806

50.000

0.0007

0.000

0.0834.3生產(chǎn)管理應用OBJECTIVECOEFFICIENTRANGESVariableLowerLimitCurrentValueUpperLimit-------------

--------------------

-------------------

------------------BMNoLowerLimit

0.500

0.517BP0.583

0.600

NoUpperLimitFCM3.700

3.750

3.850FCP3.900

4.000

4.050TCMNoLowerLimit3.300

3.692TCP3.508

3.900

NoUpperLimitFTM0.567

0.600