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2024屆廣東省龍城高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.函數(shù)(,)的部分圖象如圖所示,則的值分別是()A. B. C. D.2.在△ABC中,D是邊BC的中點(diǎn),則=A. B. C. D.3.在中,若,則角的大小為()A. B. C. D.4.已知非零向量與的夾角為,且,則()A.1 B.2 C. D.5.有一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形的三邊長(zhǎng)分別是m,m+1,m+2,則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B. C.2 D.6.在ΔABC中,若,則=()A.6 B.4 C.-6 D.-47.已知數(shù)列1,,,9是等差數(shù)列,數(shù)列1,,,,9是等比數(shù)列,則()A. B. C. D.8.干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法,主要方式是由十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵)和十二地支(子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、)按順序配對(duì),周而復(fù)始,循環(huán)記錄.如:1984年是甲子年,1985年是乙丑年,1994年是甲戌年,則數(shù)學(xué)王子高斯出生的1777年是干支紀(jì)年法中的()A.丁申年 B.丙寅年 C.丁酉年 D.戊辰年9.已知一組數(shù)1,1,2,3,5,8,,21,34,55,按這組數(shù)的規(guī)律,則應(yīng)為()A.11 B.12 C.13 D.1410.已知向量,,若向量與的夾角為,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.12.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.13.從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中,任取兩張,這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1的概率為________.14.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則公差(___).15.函數(shù)的最小正周期為___________.16.已知圓,直線l被圓所截得的弦的中點(diǎn)為.則直線l的方程是________(用一般式直線方程表示).三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從2017年起,在今后的若干年內(nèi),每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬元,并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里,每年的凈收入均為上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng).記2016年為第1年,為第1年至此后第年的累計(jì)利潤(注:含第年,累計(jì)利潤=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入,單位:千萬元),且當(dāng)為正值時(shí),認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.(1)試求的表達(dá)式;(2)根據(jù)預(yù)測(cè),該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利?請(qǐng)說明理由.18.已知函數(shù),且函數(shù)是偶函數(shù),設(shè)(1)求的解析式;(2)若不等式≥0在區(qū)間(1,e2]上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中,,且構(gòu)成等比數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表);(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機(jī)抽取5個(gè),再從這5個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè),求這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率;(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:方案①:所有芒果以9元/千克收購;方案②:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購,對(duì)質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個(gè)收購.通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.參考數(shù)據(jù):.21.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,已知向量,,且.(1)求角的值;(2)若為銳角三角形,且,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】
利用,求出,再利用,求出即可【題目詳解】,,,則有,代入得,則有,,,又,故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖像問題,依次求出和即可,屬于簡(jiǎn)單題2、C【解題分析】分析:利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解:因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,所以,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查共線向量的性質(zhì),平面向量的減法法則,屬于簡(jiǎn)單題.3、D【解題分析】
由平面向量數(shù)量積的定義得出、與的等量關(guān)系,再由并代入、與的等量關(guān)系式求出的值,從而得出的大小.【題目詳解】,,,由正弦定理邊角互化思想得,,,同理得,,,則,解得,中至少有兩個(gè)銳角,且,,所以,,,因此,,故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算,考查利用正弦定理、兩角和的正切公式求角的值,解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將問題轉(zhuǎn)化為正切來進(jìn)行計(jì)算,屬于中等題.4、B【解題分析】
根據(jù)條件可求出,從而對(duì)兩邊平方即可得出,解出即可.【題目詳解】向量與的夾角為,且;;;;或0(舍去);.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算公式,屬于中檔題.5、B【解題分析】
由已知利用余弦定理可得,解方程可得的值.【題目詳解】在三角形中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)可得:,解得或(舍).故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】
向量的點(diǎn)乘,【題目詳解】,選C.【題目點(diǎn)撥】向量的點(diǎn)乘,需要注意后面乘的是兩向量的夾角的余弦值,本題如果直接計(jì)算的話,的夾角為∠BAC的補(bǔ)角7、B【解題分析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)可分別求得,,代入即可得到結(jié)果.【題目詳解】由成等差數(shù)列得:由成等比數(shù)列得:,又與同號(hào)本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,易錯(cuò)點(diǎn)是忽略等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同的特點(diǎn),從而造成增根.8、C【解題分析】
天干是以10為公差的等差數(shù)列,地支是以12為公差的等差數(shù)列,按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行推理,即可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意,天干是以10為公差的等差數(shù)列,地支是以12為公差的等差數(shù)列,1994年是甲戌年,則1777的天干為丁,地支為酉,故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,合理利用等差數(shù)列的定義,以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】
易得從第三項(xiàng)開始數(shù)列的每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和,再求解即可.【題目詳解】易得從第三項(xiàng)開始數(shù)列的每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和,故.故選:C【題目點(diǎn)撥】該數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”,從第三項(xiàng)開始數(shù)列的每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】
根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可求得與,從而得到與;利用向量夾角計(jì)算公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得:,,,解得:本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查利用向量數(shù)量積、模長(zhǎng)和夾角求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠通過坐標(biāo)運(yùn)算表示出向量和模長(zhǎng),進(jìn)而利用向量夾角公式構(gòu)造方程.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】
令,可得,從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn),作出圖形,可求出答案.【題目詳解】由題意,令,則,則和的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn),作出的圖象,如下圖,是過點(diǎn)的直線,當(dāng)直線斜率時(shí),和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題,考查函數(shù)圖象的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.12、【解題分析】
由二倍角公式降冪,再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.【題目詳解】,,則,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角恒等變換(二倍角公式、兩角和的正弦公式),考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.13、【解題分析】
基本事件總數(shù)n,利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1包含的基本事件有4種情況,由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1的概率.【題目詳解】從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中,任取兩張,基本事件總數(shù)n,這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1包含的基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4種情況,∴這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1的概率為p.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】
根據(jù)兩個(gè)和的關(guān)系得到公差條件,解得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知,,即,又,兩式相減得,.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和項(xiàng)的性質(zhì),考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
先利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,進(jìn)而利用三角函數(shù)最小正周期公式可得函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】解:由題意可得:,可得函數(shù)的最小正周期為:,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二倍角的化簡(jiǎn)求值和三角函數(shù)周期性的求法,屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查.16、【解題分析】
將圓的方程化為標(biāo)椎方程,找出圓心坐標(biāo)與半徑,根據(jù)垂徑定理得到直線與直線垂直,根據(jù)直線的斜率求出直線的斜率,確定出直線的方程即可.【題目詳解】由已知圓的方程可得,所以圓心,半徑為3,由垂徑定理知:直線直線,因?yàn)橹本€的斜率,所以直線的斜率,則直線的方程為,即.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力,屬于??碱}.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】試題分析:(1)由題意知,第一年至此后第年的累計(jì)投入為(千萬元),第年至此后第年的累計(jì)凈收入為,利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得;(2)由,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.試題解析:(1)由題意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)投入為8+2(n﹣1)=2n+6(千萬元),第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)凈收入為+×+×+…+×=(千萬元).∴f(n)=﹣(2n+6)=﹣2n﹣7(千萬元).(2)方法一:∵f(n+1)﹣f(n)=[﹣2(n+1)﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2],∴當(dāng)n≤3時(shí),f(n+1)﹣f(n)<1,故當(dāng)n≤2時(shí),f(n)遞減;當(dāng)n≥2時(shí),f(n+1)﹣f(n)>1,故當(dāng)n≥2時(shí),f(n)遞增.又f(1)=﹣<1,f(7)=≈5×﹣21=﹣<1,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>1.∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答:該項(xiàng)目將從2123年開始并持續(xù)贏利;方法二:設(shè)f(x)=﹣2x﹣7(x≥1),則f′(x)=,令f'(x)=1,得=≈=5,∴x≈2.從而當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f'(x)<1,f(x)遞減;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)>1,f(x)遞增.又f(1)=﹣<1,f(7)=≈5×﹣21=﹣<1,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>1.∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答:該項(xiàng)目將從2123年開始并持續(xù)贏利.18、(1);(2);(3).【解題分析】
(1)對(duì)稱軸為,對(duì)稱軸為,再根據(jù)圖像平移關(guān)系求解;(2)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;(3)令為整體,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題求解.【題目詳解】(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為,因?yàn)橄蜃笃揭?個(gè)單位得到,且是偶函數(shù),所以,所以.(2)即又,所以,則因?yàn)椋詫?shí)數(shù)的取值范圍是.(3)方程即化簡(jiǎn)得令,則若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則方程必須有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且或,令當(dāng)時(shí),則,即,當(dāng)時(shí),,,,舍去,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查求函數(shù)解析式,函數(shù)不等式恒成立及函數(shù)零點(diǎn)問題.函數(shù)不等式恒成立通常采用參數(shù)分離法;函數(shù)零點(diǎn)問題要結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系求解.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】
(Ⅰ)根據(jù)條件列方程解得公差,再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果,(Ⅱ)先根據(jù)和項(xiàng)求通項(xiàng),再根據(jù)錯(cuò)位相減法求和.【題目詳解】(Ⅰ)因?yàn)闃?gòu)成等比數(shù)列,所以(0舍去)所以(Ⅱ)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,相減得所以即【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法求和,考查基本分析求解能力,屬中檔題.20、(1)255;(2);(3)選擇方案②獲利多【解題分析】
1)由頻率分布直方圖能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(2)利用分層抽樣從這兩個(gè)范圍內(nèi)抽取5個(gè)芒果,則質(zhì)量在[200,250)內(nèi)的芒果有2個(gè),記為a1,a2,質(zhì)量在[250,300)內(nèi)的芒果有3個(gè),記為b1,b2,b3,從抽取的5個(gè)芒果中抽取2個(gè),利用列舉法能求出這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率.(3)方案①收入22950元,方案②:低于250克的芒果的收入為8400元,不低于250克的芒果的收入為17400元,由此能求出選擇方案②獲利多.【題目詳解】(1)由頻率分布直方圖知,各區(qū)間頻率為0.07,0.15,0.20,0.30,0.25,0.0
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