河北省南宮中學(xué)等四校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

1.奇函數(shù)/(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，若八一1)=0,則不等式/(x)V0的解集是.

A.(-oo,-l)U(0,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(-b0)U(0,1)D.(-L0)U(l,4-00)

2.若函數(shù)/(刈=2'+夕2-'-％為R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-lB.-2

C.lD.2

3.若則x的可能值為()

A.OB.0,1

C.0,2D.0,1,2

4.已知圓GV+7+2尸0與過(guò)點(diǎn)力(1,0)的直線J有公共點(diǎn)，則直線I斜率4的取值范圍是()

r_v|0立叵

C.-*D.[-1,1]

5.如圖，在直角梯形ABCD中，ABA.BC,AD=DC=2,CB=y/2,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，由ATOTC—8沿邊運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)尸在A5上的射影為Q.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,AAP0的面積為山貝!ly=I/a)的圖象大致是()

6.函數(shù)y=Jl—x+」一的定義域是(

x+1

A.(^o,-l)U(l,+oo)B.(T1)

C.(-oo,—l)U(-hl)D.(-oo,-1)U(-l,1]

7,已知點(diǎn)p（3,—4）是角1的終邊上一點(diǎn)，則sina-cosa=（）

B.

8.某學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生3500人，其中高三學(xué)生人數(shù)是高一學(xué)生人數(shù)的兩倍，高二學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生

人數(shù)多300人，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽取的樣本容量為35,則應(yīng)抽取高一學(xué)生人數(shù)為（）

A.8B.11

C.16D.10

9.已知直線/J?平面。，直線加u平面夕，給出下列命題：

①a〃B=I②a工0=1〃m③/〃加④/_L加=a〃4其中正確命題的序號(hào)是

A.①③B.②③④

C.??③D.@@

|x+l|,x<0,

10.設(shè)函數(shù)/(x)=<若關(guān)于x的方程/（x）=。有四個(gè)不同的解N，X?，Xy，X4，且XV%2＜七〈工4,則

|log4x|,x)0,

/、1

工3（%+々）+-1-的取值范圍是

/與

77

7

C.（-l,+℃）D.（-oo,-］

2

11.設(shè)h,c表示兩條直線，a,￡表示兩個(gè)平面，則下列命題正確的是

A.若bua,dla,則c//bB.若bua,bile,則c//tz

C.若cua,aLp,則c_L4D.若cua,cL/3,則。，/7

12.函數(shù)的定義域?yàn)镈,若滿(mǎn)足；⑴“X）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；⑵存在［“力］G。，（〃＜為使得“X）在同

上的值域也是可，則稱(chēng)y=/(x)為閉函數(shù)；若/(x)=A+4是閉函數(shù)，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

1

A.-1-B.一一,+8

I42

11

D-一5'一7

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.已知A,B,C為AABC的內(nèi)角.

(1)若tanA=-2,求tan8TanC的取值范圍;

ARC

(2)求證：tan2—I-tan2——I-tan2—>1；

222

(3)設(shè)/夕,7￡0,一,且tana=tan—?tan—,tan/?=tan—-tan—,tan/=tan—?tan—,求證:

222222

6sin2a+6sin2/?+6sin2y>sin2a+sin2月+sin2/

14.已知角0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若p(4,y)是角。終邊上一點(diǎn)，且sin9=-竽,則y=.

15.兩平行線x+3y—4=0與2x+6y+12=0的距離是

Jx—41

16.函數(shù)'二千廠二+;―--K的定義域?yàn)椤?/p>

|x|-5log3(^x-3)

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.已知全集。=如集合A=?+px+i2=o},集合8=卜,-5x+q=()}

(1)若集合A中只有一個(gè)元素，求夕的值；

(2)若AcB={3},求AUB

18.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A、B在y軸的正半軸上，點(diǎn)c(x,o)在x軸的正半軸上.若

|0A|-6,|(9B|-4

(1)求向量聲，礪夾角的正切值

(2)問(wèn)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，向量場(chǎng)，麗夾角最大？

19.已知函數(shù)/(x)=2cosx(百sinx+cosx)-l.

(1)求“X)的周期和單調(diào)區(qū)間;

Q(兀兀'

(2)若/(a)=—,ae，求cos2a的值.

5142)

20.從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們一學(xué)期內(nèi)參加社團(tuán)活動(dòng)的次數(shù)，整理得到的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖

如下：

組號(hào)分組頻數(shù)

1［。，2)6

2[2,4)8

3[4,6)17

4[6閭22

5[8,10)25

6[10,12)12

7[12,14)6

8[14,16)2

9[16,18)2

合計(jì)100

(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)少于12次的概率；

⑵求頻率分布直方圖中的a、b的值；

(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生本學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)的平均次

數(shù)

21.已知函數(shù)f(x)=k)g2g(x)+7nx(znGR)

(1)若函數(shù)g(x)=2'+l,且為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的值;

⑵若加=0,^(x)=(a-l)x2+ax+a(aGR),且/(x)的值域?yàn)镽,求。的取值范圍

22.已知函數(shù)/(X)=以2+/?xxe[0,2],其中。<0,b>0.

(D若布+人之0,求函數(shù)f(x)的最大值；

9

(2)若.f(x)在[0,2]上的最大值為6，最小值為-2,試求a，b的值.

8

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

1、A

【解析】考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

分析：根據(jù)題目條件，畫(huà)出一個(gè)函數(shù)圖象，再觀察即得結(jié)果

解：根據(jù)題意，可作出函數(shù)圖象：

二不等式f(x)VO的解集是(-00,-1)U(0,1)

故選A

2、A

【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)定義域中能取到零時(shí)，有/(0)=0,可求得答案.

【詳解】函數(shù)"X)=2’+。?2-x為R上的奇函數(shù)，

故/⑼=1+。=0,得。=-1，

當(dāng)a=T時(shí)，/(X)=2、一2一、一》滿(mǎn)足/(-%)=一/(x),

即此時(shí)/(x)=2'一2一'-x為奇函數(shù)，

故。=一1,

故選：A

3、C

【解析】根據(jù)xe{l,2,f},分1=1,%=2,x=V討論求解.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)€卜,2,/},

當(dāng)x=l時(shí)，集合為{1,2,1},不成立；

當(dāng)x=2時(shí)，集合為{1,2,4},成立；

當(dāng)x=V時(shí)，則x=l(舍去)或x=0,

當(dāng)x=0時(shí)，集合為{1,2,0}

故選：C

4、B

【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線和圓的位置關(guān)系直接求解

【詳解】根據(jù)題意得，圓心(-1,0),r=L

設(shè)直線方程為y-0=4(x-1),即Ax-y-4=0

圓心到直線的距離<*<—

42+133

故選8

【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題

5、D

【解析】結(jié)合尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及二次函數(shù)，三角形的面積公式判斷即可

【詳解】解：尸點(diǎn)在上時(shí)，AAP。是等腰直角三角形，

此時(shí)/(x)(0<X<2)是二次函數(shù)，排除A,B,

2224

尸在OC上時(shí)，尸。不變，A0增加，是遞增的一次函數(shù)，排除C,

故選。

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查二次函數(shù)以及三角形的面積問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題

6、D

【解析】由函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組，由此可求得原函數(shù)的定義域.

【詳解】函數(shù)y=JH+」一有意義，只需1一x?()且x+1/O,解得且X。—1

x+1

因此，函數(shù)y=J匚7+占的定義域?yàn)?―8,-1)。(一1』.

故選：D.

1、A

【解析】利用三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得己--

sina-cosa=「.—、’、=——

y3-+(-4>5

故選：A.

8、A

【解析】先求出高一學(xué)生的人數(shù)，再利用抽樣比，即可得到答案；

【詳解】設(shè)高一學(xué)生的人數(shù)為X人，則高二學(xué)生人數(shù)為x+3(X),高三學(xué)生人數(shù)為2x,

x+2x+x+300-3500=x=800，

故選：A

9、A

【解析】利用線面、面面平行的性質(zhì)和判斷以及線面、面面垂直的性質(zhì)和判斷可得結(jié)果.

【詳解】②若a_L￡,貝I"與加不一定平行，還可能為相交和異面；④若則a與/不一定平行，還可能是相

交.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于線線、線面、面面關(guān)系的題目，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面和平面與平面的平行、

垂直的性質(zhì)定理和判斷定理.

10、A

【解析】畫(huà)出函數(shù)/（尤）的圖像，通過(guò)觀察“力的圖像與。的交點(diǎn)，利用對(duì)稱(chēng)性求得％與W的關(guān)系，根據(jù)對(duì)數(shù)函

數(shù)的性質(zhì)得到七與Z的關(guān)系.再利用函數(shù)的單調(diào)性求得題目所求式子的取值范圍.

【詳解】畫(huà)出函數(shù)/（x）的圖像如下圖所示，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，再和々關(guān)于尤=一1對(duì)稱(chēng)，故為+々=-2.由于

|logX=log;，故二1=%，%3,%=1.令10g-=1,解得X=1,所以占61-1

444+*=3+工,

x4

【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，還考查了利用函數(shù)的單調(diào)

性求函數(shù)的值域的方法，屬于中檔題.

11、D

【解析】對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷，選項(xiàng)D為面面垂直判定定理.

【詳解】對(duì)A,c與人可能異面，故A錯(cuò)；對(duì)B,c?可能在平面a內(nèi)

對(duì)C,C與平面力可能平行，故C錯(cuò)；對(duì)D,面面垂直判定定理，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中線、面位置關(guān)系，判斷一個(gè)命題為假命題，只要能舉出反例即可.

12、C

【解析】先判定函數(shù)/（X）的單調(diào)性，然后根據(jù)條件建立方程組，轉(zhuǎn)化為使方程f—X-左=0有兩個(gè)相異的非負(fù)實(shí)根，最

后建立關(guān)于k的不等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/。）=左+6是單調(diào)遞增函數(shù),

所以,即/（勸=》有兩個(gè)相異非負(fù)實(shí)根，

所以（石尸-五-左=o有兩個(gè)相異非負(fù)實(shí)根,

令所以產(chǎn)一，一左=。有兩個(gè)相異非負(fù)實(shí)根,

令g(f)=r-t-k

g（0）>01

則1-4皿）>0廨得人（」

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程,二次方程實(shí)根的分布，轉(zhuǎn)化法,屬于中檔題.

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；

山口ABBCCA

（2）先證明tan—tan——Ftan—tan-4-tan-tan—=1,

222222

2

再由不等式/+〃2_|_c>"+AC+QC證明即可；

（3）找出不等式的等價(jià)條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，利用不等式性質(zhì)即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

tanA=-2,

.??史。為銳角,

tanB>0,tanC>0

tanB+tanC

2=-tanA=tan(B+C)=

1-tanfi-tanC

2〉2VtanB-tanC

1-tanB-tanC

-4>4tangtanC

(1-tanBtanC)^

解得0<tanBtanCW±N5,當(dāng)且僅當(dāng)3=C時(shí)，等號(hào)成立,

2

(3-V5

即tanBtanCG0,--------

2

【小問(wèn)2詳解】

RAC

在AABC中'5+，+5=9。。,

二.tan—tan(—i—)=1

222

ABBCCA

tan—tan—+tan—tan——i-tan—tan—

222222

=tad(tad+ta￡+tan3anC

22222

BQACAC

=tan—H—)(1—tan—tan—)+tan—tan—

222222

=Ian3a￡taW

2222

=1

2A、BAB,CCBA,CC

?：tan-——i-tan'—>2tan—tan—,tan'——ktan-—>2tan—tan—,tan2-——Ftan'—>2tantan—

22222222222

2A、B2。、A6BCCA,

tarr——Ftan-——Ftan-—>tan—tan——Ftan—tan——ktan—tan—=1.

222222222

【小問(wèn)3詳解】

由(2)知tana+tan，+tan/=1

.2tan2a._2tana

?.?sina-----；-,sin2a=--------；一

1+tan~a1+tan~a

/.6sin2ez+6sin2/7+6sin2y>sin2a+sin2〃+sin2/

ctan2a。tan2B八tan2ytanatan/3tan/

=3--------+3-------^-+3-------y-2-----------o------0)

1+tan"a1+tan~pl+tan"/1+tan-a1+tan/1+tarry

令x=tana,y=tan人z=tany,

3x2-x3y2-y+3z,2-z

原不等式等價(jià)為>0,

1+x21+/1+z2

X1

??;二；

?yX+1力在（。/）上為增函數(shù),

.?嗤臺(tái)1＞山

同理可得,

y(3)」D3z(3z-l)3

>—(3y-l)>—(3z-l),

/+110'z2+110

x(3x—l)y(3y—1)z(3z—1)

x2+1y2+\z2+1

3y2_y3Z2-Z

1+x2+1+y2*1+1NO成立,

問(wèn)題得證.

a2a2o2

【點(diǎn)睛】本題第3問(wèn)的證明需要用至Utana+tan，+tany=l,換元后轉(zhuǎn)換為+上:E+1二3o,再構(gòu)

1+x1+y1+z

造不等式里二DN±；（3X-1）是證明的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)就在利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出不等式.

x+110

14、-8

【解析】答案：-8.解析：根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第四象限

角。疝"油7=岑"1

15、Vio

（解析】直接根據(jù)兩平行線間的距離公式得到平行線x+3y-4=0與x+3y+6=（）的距離為:

|10|l

V1+9

故答案為加.

16、（4,5）u（5,-Ko）

【解析】本題首先可以通過(guò)分式的分母不能為。以及根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0來(lái)列出不等式組，然后通過(guò)計(jì)算得出

結(jié)果

x-420

【詳解】由題意可知（國(guó)―5x0,解得4cx<5或者x>5,

log3（x-3）^0

故定義域?yàn)椋?,5）U（5，+8）

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域的相關(guān)性質(zhì)，主要考查函數(shù)定義域的判斷，考查計(jì)算能力，考查方程思想，是簡(jiǎn)單題

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17、（1）±4A/3

(2){2,3,4}

【解析】(1)對(duì)應(yīng)一元二次方程兩根相等，△=().

(2)先由已知確定，、q的值，再確定集合A、3的元素即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)榧螦中只有一個(gè)元素，所以A=p2—4x12=0,P=±46

【小問(wèn)2詳解】

32+^X3+12-0

當(dāng)AcB={3}時(shí),，P=-7,q=6,

3?—5x3+q=0

此時(shí)A={3,4},B={2,3},AUB={2,3,4)

18、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：(1)設(shè)向量G5,而與x軸的正半軸所成的角分別為名",則向量場(chǎng),而所成的夾角為

2r

\/3-a\=\a-/J\,由兩角差的正切公式可得向量無(wú),而夾角的正切值為tan(a—0=(2)由⑴知

/2x_2

始11(=一=A五=IF,利用基本不等式即可的結(jié)果.

x

詳解：(1)由題意知，A的坐標(biāo)為A(0,6),B的坐標(biāo)為B(0,4),C(x,0),x>0

設(shè)向量以，而與x軸的正半軸所成的角分別為a,B,

則向量型，混所成的夾角為IB-a|=|a-B

由三角函數(shù)的定義知：tana=2，tanB=￡由公式tan(a-p)=tan。二tanB,

xx1+tanCL?tanp

2_

y2x

得向量以，&的夾角的正切值等于tan(a-B)=—^——,

1+~2*

X

2x

故所求向量忌，兩夾角的正切值為tan(a-6)=1----;

x+24

2x2Q//?

(2)由(1)知tan(a-B~o=24W門(mén)/—=——>

X2+24xq-2V2412

所以tan(a-B)的最大值為返時(shí)，夾角|a-B|的值也最大，

12

當(dāng)x=2^時(shí)，取得最大值成立，解得x=2&,

X

故點(diǎn)C在x的正半軸，距離原點(diǎn)為2加，

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(2娓,0)時(shí)，向量以，圓夾角最大

點(diǎn)睛：本題主要考查利用平面向量的夾角、兩角差的正切公式以及基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最

值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要

看和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立(主要注意兩點(diǎn)，一是相

等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用2或4時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立).

JTJT-TT2/A2/2

19、(1)周期為萬(wàn)，增區(qū)間為一7+&萬(wàn)(keZ),減區(qū)間為—+krr,——+kzr(ZrGZ)；(2)—二一.

【解析】(1)利用三角恒等變換思想可得出/(x)=2sin12x+2J,利用周期公式可求出函數(shù)y=/(x)的周期，分

別解不等式一生+2女萬(wàn)〈2%+工〈工+2女乃伙eZ)和工+2br<2x+代〈包+26r(^eZ),可得出該函數(shù)的增區(qū)

262262

間和減區(qū)間；

(2)由/(a)=|可得出sin(2a+[■卜4利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出cos(2a+個(gè)J的值，然后利用兩角

5

差的余弦公式可求出cos2a的值.

詳解】(1)

/(%)=2cosxV3sinx+cos-1=273sinxcosx+2cos2x-\=V3sin2x4-cos2x=2sin^2x+^,

所以，函數(shù)y=/(x)的周期為了=$="，

令-三+2k?r<2x+^<^+2k7v(ksZ),解得一—+女乃<x<?+攵不(ZeZ)；

令生+2%乃<2x+—<—+(Z￡Z),解得工+Avr<X<—+k/v(Z:GZ).

26263

因此，函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間為一耳+Z肛+&)(kwZ),減區(qū)間為％■+&肛飛-+&乃(ZwZ)；

(2);/(a)=2sin(2a+^H4

sin2a+—

I65

_、、

71>717T.71+戛LU

cosla-cos2a+—=cos2a+—cos一■Fsin2a+一sin—

I6J66J66/6525210

【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了利用兩角差的余弦公式求值，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中等題.

20、(1)0.9；(2)a=0.085,b=0.125；(3)7.68次.

【解析】(1)由頻數(shù)分布表得這名學(xué)生該學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)少于12次的頻數(shù)為90,由此能求出從該校隨機(jī)選取一

名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生該學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)少于12次的概率

(2)由頻數(shù)分布表及頻率分布直方圖能求出頻率分布直方圖a,b的值

(3)利用頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表能估計(jì)樣本中的100名學(xué)生本學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)的平均次數(shù)

【詳解】解：(1)由頻數(shù)分布表得這名學(xué)生該學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)少于12次的頻數(shù)為：100-(6+2+2)=90,

90

從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生該學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)次數(shù)少于12次的概率p=—=0.9

(2)由頻數(shù)分布表及頻率分布直方圖得：

1725

頻率分布直方圖中a=---------=0.085,b=----------=0.125

100x2100x2

(3)估計(jì)樣本中的100名學(xué)生本學(xué)期參加社團(tuán)活動(dòng)的平均次數(shù)：

1x0.06+3x0.08+5x0.17+7x0.22+9x0.25+11x0.12+13x0.06+15x0.02+17x0.02=7.68(次)

【點(diǎn)睛】本題考查概率、頻率、平均數(shù)的求法，考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題

21、(1)m=--

2

-4~

⑵

【解析】(1)由題意得f(x)解析式，根據(jù)偶函數(shù)的定義，代入求解，即可得答案.

(2)當(dāng)加=0時(shí)，可得/(x)解析式，根據(jù)/(x)值域?yàn)镽,分別求。=1和awl兩