期中復(fù)習(xí)全等三角形培優(yōu)學(xué)案（橫版）

全等三角形期中復(fù)習(xí)

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級

適用區(qū)域全國新課標(biāo)課時時長（分鐘）60分鐘

1.全等三角形的概念及性質(zhì)

知識點(diǎn)2.三角形全等的判定

3.角平分線的性質(zhì)及判定

一、知識與技能

學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能敘述全等三角形的定義及相關(guān)概念，并能找出兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角；

2、掌握全等三角形的性質(zhì)，會利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算，解決一些

實(shí)際問題；

3、經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程；

4、能靈活地運(yùn)用三角形全等的條件，進(jìn)行有條理的思考和簡單的推理，并能利用三角形

全等的性質(zhì)解決實(shí)際問題，體會數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系；

5、了解角是軸對稱圖形和角平分線的定義，會用尺規(guī)作一個角的平分線；

6、掌握角平分線的性質(zhì)和判定；

7、綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題。

二、過程與方法

1、以學(xué)生為主，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固，當(dāng)學(xué)生遇到想不起來或者記憶不太清的知識

點(diǎn)需要重點(diǎn)復(fù)習(xí)；

2、把握重難點(diǎn)、考點(diǎn)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際以及期中考試的熱點(diǎn)問題、經(jīng)典例題進(jìn)行針

對性的鞏固訓(xùn)練；

3、讓學(xué)生體會全等三角形的對應(yīng)關(guān)系，分析不對應(yīng)寫的后果，讓學(xué)生總結(jié)、養(yǎng)成

良好的習(xí)慣；

4、引導(dǎo)學(xué)生由簡單到復(fù)雜，通過實(shí)例操作、總結(jié)、歸納出證明三角形全等的一般

方法與證明過程；

5、先讓學(xué)生用尺規(guī)作圖畫出角的角平分線，讓后讓學(xué)生總結(jié)出角平分線的性質(zhì)與

判定；

6、通過例題，進(jìn)一步讓學(xué)生初步掌握分析證明的方法。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1、培養(yǎng)學(xué)生歸納、推理的能力；

2、培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力；

3、培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲；

4、在學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；

5、體會數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)的價值。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)、判定；角平分線的性質(zhì)與判定

1、掌握用綜合法證明的格式；

學(xué)習(xí)難點(diǎn)2、選用合適的判定定理證明兩個三角形全等；

3、初步理解圖形的全等變換，從而學(xué)會恰當(dāng)添加輔助線。

學(xué)習(xí)過程

一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

(-)與三角形有關(guān)的線段

1、三角形的中線、高線、角平分線

三角形

的

定義圖形表示法說明

重要線

段

從三角1.是△48C的三角形有三

A

形的一8c邊上的高線。條高，且它們

三角形

2.AD1BCTD

個頂點(diǎn)拄o(或它們的

的高線BDC3.

向它的延長線)相交

ZADB=ZADC=90

對邊所于一點(diǎn)，這個

o

在的直交點(diǎn)叫做三

線作垂角形的垂心。

線，頂點(diǎn)

和垂足

之間的

線段。

三角形有三

三角形

條中線，都在

中，連接

1.八。是/XABC的三角形的內(nèi)

—頂A

三角形8c邊上的中線。部，且它們相

點(diǎn)和它

的中線交于一點(diǎn)，這

42.BD=DC=-BCO

對邊中2

個交點(diǎn)叫做

點(diǎn)的線

三角形的重

段。

心。三角形的

重心在三角

形的內(nèi)部。

三角形

三角形有三

—內(nèi)

條角平分線，

角的平

都在三角形

分線與

的內(nèi)部，且它

三角形它的對41.AD是/VlBC的

們相交于一

的邊相交，N84C的平分線。

點(diǎn)，這個交點(diǎn)

角平分連接這2.Z1=Z2=,

2叫做三角形

線個角的ZBAC

O的內(nèi)心。

頂點(diǎn)與

三角形的內(nèi)

交點(diǎn)之

心在三角形

間的線

的內(nèi)部。

段。

2、三邊關(guān)系

①判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，最簡捷的方法是：用兩條較短的線段的長度之和與最長線段的長度

進(jìn)行比較，若兩條較短線段的長度之和大于最長線段的長度，則這三條線段可以組成三角形；否則不能

組成三角形。

②已知兩邊長求第三邊長的取值范圍的方法：已知三角形兩邊長為a,b,則第三邊長x的取值范圍

是,-4<x<a+bo

(二)與三角形有關(guān)的角

1.三角形內(nèi)角和定理

(1)定理：三角形內(nèi)角和是180°BPzA+zB+zC=180°

(2)作用：它是三角形三個內(nèi)角必須滿足的條件；它實(shí)際上提供了三個內(nèi)角滿足的一個等量關(guān)系，是

求三角形角度時常用的一個條件。

(3)定理形式的變形：

①//=180°-乙B-乙C;②)乙B+Z-C—180°-Z.A

-ZA+-ZB+-ZC=90°

③222(數(shù)學(xué)中的公式不是一成不變的，它可以變通。)

2.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角互余；直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三

角形。

3.三角形的外角及三角形內(nèi)角和定理的推論

(1)三角形外角：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角。

(2)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

(3)三角形的外角和是360%

（三）總結(jié)提升

1.在三角形中進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算時，要注意三角形內(nèi)角和定理這一隱含條件的應(yīng)用；

2.“直角三角形的兩個銳角互余"和"有兩個角互余的三角形是直角三角形〃是直角三角形的重要性質(zhì)及

判定，利用此性質(zhì)和判定比應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理更直接、便捷；

3.本講中很多求角的度數(shù)的問題都可以采用列方程的方法來解答；

4.三角形的外角和與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角。

（四）多邊形及其內(nèi)角和

1、多邊形的有關(guān)概念

①多邊形的定義

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。

注意：（1）理解多邊形的定義要從以下兩方面考慮：一是"在同一平面內(nèi)"；二是"一些線段首尾順次相

接"；兩者缺一不可。

（2）多邊形通常以邊數(shù)來命名，具有〃條邊的多邊形叫〃邊形。三角形、四邊形都屬于多邊形。

②.多邊形的內(nèi)角、外角、對角線的概念

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角。

多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線。

注意：從〃邊形的一個頂點(diǎn)可以引出（〃-3）條對角線，過〃個頂點(diǎn)有"（"3）條對角線，但每條對角

—3）

線都計(jì)算了兩遍，所以〃邊形共有〒'條對角線。

③.正多邊形的概念

各邊相等各角也相等的多邊形稱為正多邊形。

注意：正多邊形必須同時滿足兩個條件：一是“各邊相等〃、二是"各角也相等"，兩者缺一不可。例如,

各角都相等的四邊形是矩形；各邊相等的四邊形是菱形。只有各角相等，各邊也相等的四邊形是正方形

（正四邊形I

（五）多邊形的內(nèi)角和

1.一般地，〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）」80（?>3）e

探究方法：由于從〃邊形的一個頂點(diǎn)可引（"-3）條對角線，這些對角線把〃邊形分成（"-2）個三

角形，每個三角形的內(nèi)角和是180。，所以〃邊形的內(nèi)角和為（"2）J80。，而正〃邊形的每個內(nèi)角為

（”-2）.180。

n

2.任何多邊形的外角和都等于360%

探究方法：由于〃邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180。，〃個外角連同它們各自相鄰

的內(nèi)角共有2〃個角，這些角的總和等于〃」8。。，所以外角和為人18?！?("2).18。。=360。，即多邊形的外角

和為360°

(六)總結(jié)提升

方程思想是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一。用方程思想求解數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)從題中的已知量與未知

量的關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，再通過解方程，使問題得到

解決。方程思想應(yīng)用非常廣泛，我們不但能用方程思想解決代數(shù)問題，而且還能夠解決有關(guān)的幾何問題。

（七）總結(jié)提升

1.利用多邊形的內(nèi)角和公式伍-2）/80。解決實(shí)際問題時，如果知道〃的值，那么可以直接求出〃邊形的

內(nèi)角和；如果知道多邊形的內(nèi)角和，那么可以根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（-2）」8。。構(gòu)造方程，通過解方程

求得邊數(shù)。

2.利用多邊形的外角和等于360。解決問題時，應(yīng)真正理解多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。所以，在解決

多邊形問題時常把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角和問題解決。

二、知識講解

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)1

全等三角形的概念性質(zhì)

1.全等三角形的基本概念:

(1)全等形的定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

(2)全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)。

重合的邊叫做對應(yīng)邊。重合的角叫做對應(yīng)角。

⑶全等三角形的表示方法：SBCS'B'C

2.全等三角形的性質(zhì)：

Q)全等三角形的對應(yīng)邊相等；

(2)全等三角形的對應(yīng)角相等。

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)2

在運(yùn)用全等三角形的基本性質(zhì)時其關(guān)鍵是找對應(yīng)邊，對應(yīng)角，找對應(yīng)邊和對應(yīng)角通常有以下幾種方法：

①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；

②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；

③有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；

④有公共角的，公共角是對應(yīng)角；

⑤有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；

⑥兩個全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)

邊（或?qū)?yīng)角）o

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)3

全等三角形的判定

I.全等三角形判定1:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS);

2.全等三角形判定2:兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS);

3.全等三角形判定3:兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA);

4.全等三角形判定4:兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS);

5.全等三角形判定5:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)。

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)4

證明三角形全等的思路

通過對問題的分析）等解決的問題歸結(jié)到證明某兩個三角形的全等后，采用哪個全等判定定理加以證明，

可以按下圖思路進(jìn)行分析：

找夾角->S4S

已知兩邊4找第三邊f(xié)SSS

找直角f4L

邊為角的對邊f(xié)找任一角TAAS

找夾角的另一邊f(xié)SAS

已知一邊一角《

邊為角的鄰邊找夾邊的另一角—4SA

找邊的對角->44S

,找夾邊-^ASA

已知兩角4

找任一對邊->AAS

切記："有三個角對應(yīng)相等"和"有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等"的兩個三角形不一定全等。

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)5

利用三角形全等判斷線段（或角）相等的一般方法

（1）把要判斷相等的線段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個三角形找出來；

（2）證明這兩個三角形全等；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出要判斷的線段（或角）相等。

,___________________________________________0

注意：在求證兩條線段或者兩個角相等時，利用三角形全等的性質(zhì)來證明

是比較常用的方法，其中確定出邊或角所在的三角形是關(guān)隆.

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)6

角平分線的性質(zhì)、判定

Q)角平分線的性質(zhì)

角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

角平分線性質(zhì)的符號語言：

在4。8的平分線上

POJ.OA于￡),PELOB于E

PD=PE

B

0E

(2)角平分線的判定

到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

角平分線判定的符號語言：

PDIOA^D,PE_LOB于E

且PD=PE

丁產(chǎn)在408的平分線上

(或?qū)懗?。P是4。8的平分線)

/A

D/

0EB

考點(diǎn)/易錯點(diǎn)7

提分技巧

角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過三角形全等得出證明；這樣,我們又得到了證明線段相等或角

相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時，就不需要再通過證明三角形全等來間

接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。

在利用角平分線的性質(zhì)時，可由"角平分線"和"距離"這兩個條件得出線段相等，這兩個條件缺一不

可；同理，在利用角平分線的判定這一條件時，可由"距離"和"線段相等"這兩個條件得出角平分線，

這兩個條件也是缺一不可的。

三、例題精析

[例題1]

【題干】如圖，SBdADE,且NCAD=10。，zB=zD=25°,zEAB=120°,求NDFB和NDGB的

度數(shù).

【答案】zDFB=90°,zDGB=65°.

【解析】解:?.△ABC2ADE,

/.zDAE=zBAC=1(zEAB-zCAD)=|(120°-10°)=55°.

/.zDFB=zFAB+zB=zFAC+zCAB+zB=10o+55o+25o=90°

zDGB=zDFB-zD=90°-25°=65°.

[例題2]

【題干】如圖，A、D、E三點(diǎn)在同一直線上，且ABAD當(dāng)ACE,試說明：

(1)BD=DE+CE;

(2)AABD滿足什么條件時，BDIICE?

【答案】(1)見解析(2)AABD滿足NADB=90。.

【解析】(1)解：..△BAD當(dāng)ACE,

.-.BD=AE,AD=CE,

.-.BD=AE=AD+DE=CE+DE,

即BD=DE+CE.

(2)解：AABD滿足NADB=90°時，BDllCE,

理由是:?「△BAD￥ACE,

/.zE=zADB=90°（添力口的條件是NADB=90°）,

/.zBDE=180o-90o=90°=zE,

.,.BDllCE.

[例題3]

【題干】（日照三模）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，

正方形BEFG的邊長為4,則ADEK的面積為。

【答案】16.

【解析】解：如圖，連DB,GE,FK,則DBllGEllFK,J——

在梯形GDBE中，SADGE=SAGEB（同底等高的兩三角形面積相等）,

同理SAGKE=SAGFE.r）

-S陰影:SADGE+SAGKE,

=SAGEB+SAGEF,

=S正方形GBEF,

=4x4BE

=16

[例題4]

【題干】(云南)如圖，點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AC上，AB二AD.請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使^ABC

^△ADE(只能添加一個).

(1)你添加的條件是_________.

(2)添力口條件后,請說明^ABCgAADE的理由.

【答案】⑴zC=zE(2)見解析.

【解析】解：(1).AB=AD,NA=NA,

?，若利用"AAS",可以添加NC=NE,

若利用"ASA”,可以添力口NABC=NADE,或NEBC=NCDE,

若利用"SAS",可以添加AC=AE,或BE=DC,

綜上所述，可以添力口的條件為NC=NE(或NABC=NADE或NEBC=NCDE或AC=AE或

BE=DC);

故答案為：zC=zE;

(2)選NC=NE為條件.

‘4力=44

理由如下:在ABC和AADE中

=AD

??.△ABC￥ADE(AAS).

[例題5]

【題干】如圖.在AABC和ADEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件.請你在其

中選三個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，寫出一個正確的結(jié)淪，并說明理由.①AB二DE;

②AC=DF;③NABC=NDEF;④BE=CF.（填寫序號即可）

已知:_______________

結(jié)淪：______________

理由：

【答案】已知：①②④結(jié)論：③

【解析】解：已知：①②④結(jié)論：③

證明:vBE=CF,

??.BE+EC=CF+EC.

/.BC=EF.

‘AB=DE

△ABC和aDEF中＜=DF,

、BC二EF

??.△ABC￥DEF(SSS).

.-.zABC=zDEF.

[例題6]

【題干】已知：如圖,ABllCD,AB=CD,求證:ADIIBC,AD=BC

【答案】見解析.

【解析】證明：連接BD

4/ABIICD

.'.Z1=Z2

在MDB和MBD中，

(AB=CD

..ZABD=zCDB

BD=DB

「.△ADB-CBD(SAS)

/.AD=BC,ZADB=ZCBD

/.ADIIBC

綜上：ADIIBC,AD=BC

[例題7]

【題干】如圖，BE±AE,CF±AE,ME=MFO

求證：AM是SBC的中線。

【答案】見解析

【解析】證明：TBELAE,CF±AE

/.zBEM=zCFM=90°

在^BME和^CMF中，

NBME=NCMF

ME=MF

ZBEM=ZCFM

??.△BME以CMF(ASA)

/.BM=CM

/.AM是SBC的中線。

[例題8]

【題干】已知：BC=EF,BCllEF,zAzD,zABF=zDECo求證:AF=DCe

【答案】見解析

【解析】證明：連接BE

?/BCllEF

.".zFEB=zCBE

在ABFE和^ECB中，

EF=BC

ZFEB=ZCBE

BE=EB

??.△BFE以ECB(SAS)

/.BF=CE

在“kBF和ADEC中,

4=NO

ZABF=ZDEC

BF=EC

「.△ABF9DEC(AAS)

.-.AF=DC

[例題9]

【題干】已知：如圖4。為的高，E為AC上一點(diǎn)，蛇交于口，且有8F=AC,FD=CD。求證：

BELAC

【答案】見解析.

【解析】證明：???AD_LBC/NBDA-NADC-90

在RtAAC。和RtABFD中，=黑

<CD=FD

??.R9CD”仙BFD(HL)

-O

-?"=〃（全等三角形對應(yīng)角相等）

.?.4+/2=90。（直角三角形兩銳角互余），4+NC+NBEC=180。，

ZBEC=90°BELAC

【例題10]

【題干】如圖，4。是18c的角平分線，OOAB,DF1AC,垂足分別是"。連接EF,交距于點(diǎn)G。

說出AC與所之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。

【答案】EFLAD,且EG=FG.

【解析】證明：:A。平分44c

DELAB,DFLAC,垂足分別是瓦尸

DE=DF

在Rt\DEA和Rt\DFA中

.rDE=DF

■IAD=AD

Rt\DEA=Rt\DFA(HL)

NADE=^ADF

在^DGE和^DGF中

'DE=DF

ZGDE=ZGDF

DG=DG

\DGE=\DGF(SAS)

EG=FG,NDGE=ZDGF=90°

...EFLAD,且EG=FG.

【例題11]

【題干】

如圖，RG是0A上兩點(diǎn)，M，N是08上兩點(diǎn)，且FG=MN,S,PFG=S,PMN；試問點(diǎn)P是否在NA02的平

分線上？

【答案】是.

【解析】證明：過點(diǎn)P作P0L0A于D,PE1.08于E

,.S&PFG=^FGPDSgMN=gMN.PE

S&PFG-5MAfN

?I

LFGPD=>MNPE

22

文,,FG=MN

PD=PE

0

又?「PO_LO4于D,PE10B^￡f，戶在40B的平分線上。MENB

【例題12]

【題干】如圖,已知在MBC中，BD=DC,Zl=Z2o

求證：AD平分4AC。

【答案】見解析.

【解析】證明：過點(diǎn)D作。E48于E,Of于F

BC

故，NBED=NCFD=90°

在ABDE與ACO尸中

2BDE=ZCFD

zl=Z2

.BD=CD

\BDE=\CDF(AAS)

DE=DF

又?「DEIAB于E,"_L4C于F,AD平分NBAC.

四、課堂運(yùn)用

【基礎(chǔ)】

1.如圖,AABC^ADEF,zA=25°,zB=65°,BF=3cm,求NDFE的度數(shù)和EC的長.

【答案】ZDFE=9O°,EC=3cm.

【解析】解：^ABC中/A=25°,NB=65°,

.*.zBCA=180°-zA-zB=180o-25o-65o=90°,

.「△ABC%DEF

??.NBCA=NDFE,BC=EF,

.,.EC=BF=3cm.

/.zDFE=90°,EC=3cm.

2.如圖,已知△EFG^^NMH,zF與NM是對應(yīng)角.

(1)寫出相等的線段與角.

(2)若EF=2.1cm,FH=l.lcm,HM=3.3cm，求MN和HG的長度.

【答案】⑴見解析；⑵MN=2.1cm,HG=2.2cm.L

【解析】解：(1)???△EFG%NMH,zF與NM是對應(yīng)角，

/.EF=NM,EG=NH,FG=MH,zF=zM,zE=zN,zEGF=zNHM,

/.FH=GM,zEGM=zNHF;

(2)vEF=NM,EF=2.1cm,

/.MN=2.1cm;

\FG=MH,FH+HG=FG,FH=l.lcm,HM=3.3cm,

/.HG=FG-FH=HM-FH=33-l.l=2.2cm.

3、（天水）如圖，已知MBC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD,AD與BE相交于

點(diǎn)F.

（1）求證：△ABE^^CAD；

（2）求NBFD的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）60。.

【解析】（1）證明：."ABC為等邊三角形，

/.ZBAE=ZC=60°,AB=CA,在MBE和MAD中,

AB=CA

<Z.BAE=Z.C/

、AE=CD

」.△ABE呈MAD(SAS).

(2)解：?「NBFD=NABE+NBAD,

又〈△ABE空"AD,

/.ZABE=ZCAD.

/.ZBFD=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60°.

4.（義烏市）如圖，在SBC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作射線AD,在線段AD及其延長線上分別取點(diǎn)

E、F，連接CE、BF添加一個條件，使得YDF￥CDE,并加以證明.你添加的條件是_____________（不

添加輔助線）.yk

【答案】DE=DF（或CEIIBF或NECD=NDBF或NDEC=NDFB等）.3y

【解析】解：（1）添力口的條件是：DE=DF（或CEIIBF或NECD=NDBF或NDEC=NDFB等）.

2）證明:在ABDF和ACDE中

'BD=CD

乙EDC=乙FDB

DE=DF

「.△BDF2CDE(SAS).

5.（宜賓）如圖,已知：在MFD和"EB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上，AE=CF,NB=ND,ADIIBC.求

證：AD=BC.

【答案】見解析.

【解析】證明：VADIIBC,

/.ZA=ZC,

?/AE=CF,

/.AE+EF=CF+EF,即AF=CE,二?在MDF和"BE中

'NB=ND

<ZA=ZC,

<AF=CE

...△AD0CBE(AAS),/.AD=BC.

6.如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測得.你能用已學(xué)過的知

識或方法設(shè)計(jì)測量方案，求出A、B間的距離嗎？

【答案】見解析.

【解析】解：要測量A、B間的距離，可用如下方法:

過點(diǎn)B作AB的垂線BF,在BF上取兩點(diǎn)C、D,使CD=BC,

再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上,

\ZACB=ZECD,CB=CD,ZABC=ZEDC,

「.△EDC￥ABC(ASA).

/.DE=BA.

答：測出DE的長就是A、B之間的距離.

7.如圖所示，在^ABC中,ZC=90°,AC=BC,AD是NBAC的平分線，DE±AB,垂足為E,若AB=10cm,

求ADBE的周長.

A

【答案】10cm.卜

【解析】解：求^DBE的周長,即求DE+EB+BD的值.I

?「AD平分NCAB,且NC=90°,DE_LAB,CDB

/.DC=DE.

可證△ACDMMED.「.AC=AE.

又.AC=BC,

」.DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.

又.AB=10cm,

/.△DBE的周長=DB+BE+DE=10cm./.△DBE的周長是10cm.

【鞏固】

L(南京)如圖，四邊形ABCD的對角線ACBD相交于點(diǎn)O,△ABC^ABAD.

求證:(1)OA=OB;(2)ABllCD.

【答案】見解析.

【解析】證明：(1).「△ABC*BAD,

/.zCAB=zDBA,

.*.OA=OB.

(2),/△ABC^^BAD,

.*.AC=BD,

又..OA=OB,

.*.AC-OA=BD-OB,

即：OC=OD,

/.zOCD=zODC,

,/zAAOB=zCOD,zCAB=-1-8-0--°---z-lA--O-B,zAACD=--1-8-0-°-—--乙-C--O-D-,

'2'2'

/.zCAB=zACD,

/.ABIICD.

2.如圖，在AABC中，zC=90°,AC=BC,AD平分NCAB交于BC于點(diǎn)D,DE±AB于點(diǎn).若

△DBE的周長是16cm,則邊AB的長是______________cm

［答案］16cm.

AEB

【解析】解：:AD是/BAC的平分線，DE±AB,zC=90°,

」.△ACD—AED,

/.CD=DE,AE=AC,

??.△DBE的周長

=DE+EB+DE

=CD+DB+EB

=BC+EB

=AC+EB

=AE+EB=AB=16cm.

3.（焦作一模）已知:如圖,R3ABC中，ZACB=90°，AC=BC,點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn),且不與A、B兩點(diǎn)

重合，AE±AB,AE=BD,連接DE、DC.

（1）求證：△ACE乎BCD；

（2）猜想：△DCE是________三角形；并說明理由

【答案】Q）見解析；（2）等腰直角.

【解析】（1）證明：???NACB=90°,AC=BC,

/.zB=z2=45°.

,??AE_LAB,

.\zl+z2=90°.

.\zl=45°.

CB

/.zl=zB.

在SCE和aBCD中,

fAE=BD

???<41=4B,

、AC二BC

??.△ACE乎BCD(SAS).

(2)猜想:ADCE是等腰直角三角形；

理由說明：

,「△ACE2BCD,

.*.CE=CD,z3=z4.

,.z4+z5=90°,

.?.N3+N5=90°,即NECD=90°,.“DCE是等月要直角三角形.

4.（荊州）如圖,△ABC與"DE均是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°,D在AB上,連結(jié)BE.請找

出一對全等三角形，并說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解:△ACD^BCE.

證明如下,「NACB=NDCE=90°,

/.ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,

即NACD=NBCE.

?「△ABC與MDE均是等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,

.,.CA=CB,CD=CE,

在MCD和MCE中,

'CD=CE

<^ACD=乙BCE,

^ACD=乙BCE

」.△ACD*BCE.

5.在AABC中，AD是NBAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且NEDF+NEAF=180°,求證DE=DF.

【答案】見解析.

【解析】證明：過D作DMJLAB，于M,DN_LAC于N,

即NEMD=NFND=90°,

?「AD平分NBAC,DM±AB,DN±AC,

??.DM=DN（角平分線性質(zhì)），

,/ZEAF+ZEDF=180o,

.,.ZMED+ZAFD=360°-180°=180°,

,/ZAFD+ZNFD=180°,

/.ZMED=ZNFD,

在aEMD和aFND中

ZMED=乙DFN

<乙DME=^DNF,

、DM=DN

.,.△EMD乎FND(AAS)

.,.DE=DF.

【拔高】

1.如圖，ZACB=90°,AC=BC,D為AB上一點(diǎn)，AE_LCD,BF_LCD,交CD延長線于F點(diǎn).求證：BF=CE.

【答案】見解析.

【解析】證明：vzACB=90°,

.-.zACE+zBCF=90°.

?.AE±CD,BF±CD,

/.zAEC=zF=90°,

/.zEAC+zACE=90°,

/.zEAC=zBCF.

在^AEC和4FB中

r^EAC=乙BCF

<Z.AEC=Z-F?

、AC=BC

??.△AEC2CFB(AAS)

/.CE=BF.

2.已知凸四邊形ABCD中,zABC+zADC=180°,AC平分/BAD，過C作AB的垂線交AB于E,求

證：AE《（AB+AD）.

【答案】見解析.

【解析】證明：過C作CM±AD于M,

\CE±AB,

.-.zM=zCEB=90°,

?.zABC+zADC=180°,zADC+°,

/.zB=zMDC,

??AC平分/BAD,CM±AD,CE±AB,

.*.CM=CE,zMAC=zEAC

在aMAC和^EAC中,

AMAC=^EAC

<^M=^AEC=90°,

、AC=AC

??.△MA8AEAC(AAS),

/.AM=AE,

?.zM=zBEC=90°,

???在RbDMC和RbBEC中

CD=BC

CM=CE'

???RbDMSRbBEC(HL)

/.BE=DM,

.".AB+AD

=AE+BE+AD

=AE+DM+AD

=2AM

=2AE,

即AE=|(AB+AD).

3.如圖，在SBC中，zB=60°,AD,CE是SBC的角平分線，且交于點(diǎn)。.求證：AC=AE+CD.

【答案】見解析.

【解析】證明：在AC上取AF=AE,連接OF,

?.AD平分NBAC、

.*.zEAO=zFAO,

在SEO與AAFO中，

'AE=AF

</.EAO=Z.FAO/

、AO=AO

BDC

??.△AEO￥AFO(SAS),

03a7H0。HY

、8ns▼

-P