應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第七章-蘭州大學(xué)信息院

第二篇數(shù)學(xué)物理方程本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法、保角變換法.特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程．

數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門(mén)自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.物理規(guī)律是代表某物理現(xiàn)象的物理量在空間的分布規(guī)律和時(shí)間的變化規(guī)律?？捎胾(r,t)表示。物理規(guī)律反應(yīng)的是同一類(lèi)物理現(xiàn)象遵從的共同規(guī)律，具有普遍性。

對(duì)于具體問(wèn)題，由于所處的“環(huán)境”或“歷史原因”不同，代表同一類(lèi)物理現(xiàn)象的物理量的具體表達(dá)式不同。物理規(guī)律的普遍性具體問(wèn)題的特殊性泛定方程：數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身叫做泛定方程。邊界條件：物理量在邊界處需滿足的關(guān)系。初始條件：物理量在一開(kāi)始的狀態(tài)值。定解條件：邊界條件和初始條件合稱為定解條件。定解問(wèn)題：由泛定方程和定解條件構(gòu)成的數(shù)理問(wèn)題。振（波）動(dòng)是研究源與波、場(chǎng)之間的變化關(guān)系熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散是研究熱源與溫度場(chǎng)、濃度之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國(guó)數(shù)學(xué)家）方程表示的是靜態(tài)勢(shì)（或場(chǎng)）和源分布之間的關(guān)系定解問(wèn)題從物理規(guī)律角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系．根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正向問(wèn)題和逆向問(wèn)題.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容.后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容。逆向問(wèn)題，即為已知場(chǎng)求源.正向問(wèn)題，即為已知源求場(chǎng)不同的出發(fā)點(diǎn)？多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類(lèi)型和所描述的物理規(guī)律三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題7.1數(shù)學(xué)建模----數(shù)學(xué)物理方程的建立具有波動(dòng)方程的數(shù)理方程的建立弦的橫振動(dòng)

桿的縱振動(dòng)

再討論定解條件傳輸線方程

一、波動(dòng)方程1.弦的微小橫振動(dòng)考察一根長(zhǎng)為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫(xiě)出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

任選一小段弧ABC（端點(diǎn)除外），作為研究對(duì)象。由于其長(zhǎng)度非常小,可以看作質(zhì)點(diǎn)。下面分析該弧段所遵循的物理規(guī)律。圖7.1注意：

物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化．?dāng)?shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)．

根據(jù)牛頓第二定律在橫向的運(yùn)動(dòng)方程可以描述為

（7.1.1）

作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：

(7.1.2)僅考慮微小的橫振動(dòng)，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式有注意到:

故由圖7.1得這樣，(7.1.1)和(7.1.2)簡(jiǎn)化為(7.1.3)(7.1.4)因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(7.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識(shí)有下式成立

這樣，段的運(yùn)動(dòng)方程(9.1.5)就成為

(7.1.6)即為

（7.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱為弦振動(dòng)方程．

其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(7.1.7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（7.1.8）

稱式（7.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程。(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(7.1.8)應(yīng)該改寫(xiě)為

(7.1.9)式中稱為力密度

，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（7.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程.2、均勻桿的縱振動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)方程為

（7.1.10）可得

（7.1.11）

這就是桿的縱振動(dòng)方程．

一根桿，只要其中任一小段做縱向移動(dòng)，必然使它的鄰段壓縮或伸長(zhǎng)，這鄰段的壓縮或伸長(zhǎng)又使它自己的鄰段壓縮或伸長(zhǎng)。這樣，任一小段的縱振動(dòng)必然傳播到整個(gè)桿,這種振動(dòng)的傳播就是波.3.傳輸線方程（電報(bào)方程）

在非常長(zhǎng)的兩條平行傳輸線的輸入端加上交變電源時(shí)，等效電路為設(shè)傳輸線上任一點(diǎn)處的電壓和電流分別為u(x,t),i(x,t)傳輸線所滿足的方程分別為

（7.1.10）

(7.1.11)

式（7.1.10）及（7.1.11）即為一般的傳輸線方程（或電報(bào)方程）．(1)無(wú)失真線

(7.1.12)

其中(2)無(wú)損耗線（7.1.13）

(7.1.14)

具有與振動(dòng)方程類(lèi)似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同(3)無(wú)漏導(dǎo)，無(wú)電感線

（7.1.15）

(7.1.16)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類(lèi)似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．7.2.1數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定場(chǎng)方程類(lèi)型的建立

1靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

(7.１.1７)若空間中無(wú)電荷，即電荷密度，上式成為

(7.１.１8)稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.

二、穩(wěn)定場(chǎng)方程2.穩(wěn)定溫度分布

導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(7.1.19)

(7.1.20)7.２.１波動(dòng)方程的定解條件定解條件：初始條件和邊界條件1.初始條件

波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，它給出振動(dòng)過(guò)程中每點(diǎn)的加速度．要確定振動(dòng)狀態(tài)，需知道開(kāi)始時(shí)刻每點(diǎn)的位移和速度．波動(dòng)方程的初始條件通常是

（7.2.1）

7.２數(shù)學(xué)物理定解條件例7.2.1

一根長(zhǎng)為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開(kāi)距離

，如圖7.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出初始條件。

x

u

o

b

l

h

圖7.5

【解】初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

2.邊界條件

常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類(lèi)：第一類(lèi)邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值

第二類(lèi)邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值

（7.2.2）

（7.2.3）

第三類(lèi)邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值

（7.2.4）

其中是時(shí)間的已知函數(shù)，為常系數(shù)．

7.2.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件

泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件.邊界條件分為三類(lèi):1、在邊界上直接給定未知函數(shù),即為第一類(lèi)邊界條件．2、在邊界上給定未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值,即為第二類(lèi)邊界條件．3、在邊界上給定未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的某種線性組合,

即第三類(lèi)邊界條件.

第一、二、三類(lèi)邊界條件可以統(tǒng)一地寫(xiě)成

(7.2.5)其中是邊界上的變點(diǎn)；

表示物理量沿邊界外法線方向的方向?qū)?shù)；

為常數(shù)，它們不同時(shí)為零．

7.２.3其它邊界條件

除了前面我們介紹的第一、第二、第三類(lèi)邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件,周期性條件．

7.2.4數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性

(1)解的存在性

看所歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解；(2)解的唯一性

看是否只有一個(gè)解(3)解的穩(wěn)定性

定解問(wèn)題來(lái)自實(shí)際，它的解答也應(yīng)回到實(shí)際中去。應(yīng)當(dāng)要求：定解問(wèn)題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性.當(dāng)定解問(wèn)題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)，解是否相應(yīng)地只有微小的變化量

7.2.5數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的求解方法

1.行波法；2.分離變量法；3.冪級(jí)數(shù)解法；4.格林函數(shù)法；5.積分變換法；6.保角變換法；7.變分法；8.計(jì)算機(jī)仿真解法；9.數(shù)值計(jì)算法典型綜合實(shí)例

例長(zhǎng)為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時(shí)刻時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動(dòng)，試寫(xiě)出此定解問(wèn)題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)，弦作自由（無(wú)外力）橫振動(dòng)，所以泛定方程為齊次波動(dòng)方程(2)確定邊界條件

對(duì)于弦的固定端，顯然有另一端自由，意味著其張力為零．故(3)確定初始條件

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零

初始速度

綜上討論，故定解問(wèn)題為歷年試題一、填空題

(2009)5.(6分)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程都是線性二階偏微分方程，主要有

，

和

三類(lèi)，對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的分類(lèi)，即

，

和；四、簡(jiǎn)述題(2008)3簡(jiǎn)述數(shù)理方程分析物理問(wèn)題的步驟以及數(shù)理方程、邊界條件的分類(lèi)。（9分）作業(yè)：161頁(yè)：第1,3題.

7.2.6數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi)三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程線性、非線性齊次、非齊次疊加原理（參見(jiàn)書(shū)161頁(yè)）7.3行波法對(duì)于常微分方程的求解,一般是先求方程的通解,而通解中含有任意常數(shù)(積分常數(shù)),用初始條件確定這些常數(shù).本節(jié)仿照這個(gè)方法求解偏微分方程的定解問(wèn)題.先求通解(其中含有任意函數(shù))用定解條件確定這些函數(shù)先求通解(其中含有任意函數(shù))用定解條件確定這些函數(shù)波動(dòng)方程的初值問(wèn)題（一維）（I）1.無(wú)界弦的自由振動(dòng)可以改寫(xiě)為作線性變換方程改寫(xiě)為此即為原方程的通解。利用初值條件確定函數(shù)f1,f2.其中為任意一點(diǎn).達(dá)朗貝爾公式物理意義右傳播波左傳播波例1：解：由達(dá)朗貝爾公式2.無(wú)界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)（I）（II）（III）疊加原理定解問(wèn)題（I）的解是定解問(wèn)題(II)的解與定解問(wèn)題（III）的解之和。問(wèn)題（II）的解可以用達(dá)朗貝爾公式來(lái)求解。故只須考慮求解問(wèn)題（III）的解。我們利用齊次化原理來(lái)求解問(wèn)題（III）的解。(在此從略)3.半無(wú)界弦的自由振動(dòng)我們先考慮情形，即一端x=0固定的振動(dòng)。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來(lái)求解。為此，我們要作奇延拓為了得到半無(wú)界問(wèn)題的解，只須限制當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)在x=0處有一個(gè)自由端，即則需要作偶延拓。當(dāng)在x=0處有一個(gè)自由端，即則需要作偶延拓。例3當(dāng)當(dāng)例4：解：由于外力、初始位移以及初始速度均為零，所以弦振動(dòng)時(shí)波傳播只是受到邊界點(diǎn)x＝0的影響而向x軸