2022-2023學(xué)年湖南省湘西州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年湖南省湘西州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝3 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝1，b＝32．（5分）已知為不共線的非零向量，，，，則（）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B、D三點(diǎn)共線 C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線3．（5分）湘西州有甲草原：龍山縣八面山空中草原，乙草原：瀘溪縣濱江大草原，暑假期間兩草原供游客休閑旅游，記事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一個(gè)草原”，事件G＝“至多去一個(gè)草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件Ⅰ＝“一個(gè)草原也不去”．下列命題正確的是（）A．E與G是互斥事件 B．F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件 C．F與G是互斥事件 D．G與Ⅰ是互斥事件4．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若，的夾角與，的夾角相等，則t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．65．（5分）已知a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列四個(gè)命題正確的有（）①α∥β，a?α?a∥β；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③a⊥b，a⊥α?b∥α；④a⊥α，α∥β，b∥β?a⊥b．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（5分）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P﹣AC﹣O為45°，則（）A．該圓錐的體積為3π B．該圓錐的側(cè)面積為 C． D．△PAC的面積為27．（5分）四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．平均數(shù)為2，方差為3.1 B．中位數(shù)為3，方差為1.6 C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為28．（5分）如圖，公園里有一塊邊長為4的等邊三角形草坪（記為△ABC），圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE鋪設(shè)灌溉水管，則水管的最短長度為（）A． B． C．3 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知i是虛數(shù)單位，若，則（）A．復(fù)數(shù)z的虛部為﹣2 B．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限 C．|z﹣2i|＝25 D．復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+6x+13＝0的一個(gè)根（多選）10．（5分）在某次數(shù)學(xué)測試中，對(duì)多項(xiàng)選擇題的要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．”已知某道多項(xiàng)選擇題的正確答案是ABC，且某同學(xué)不會(huì)做該題（該同學(xué)至少選一項(xiàng)且可能全選），下列結(jié)論正確的是（）A．該同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是 B．該同學(xué)隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是 C．該同學(xué)僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是 D．該同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是（多選）11．（5分）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說法正確的有（）A．該圓臺(tái)軸截面ABCD面積3cm2 B．與的夾角60° C．該圓臺(tái)的體積為cm3 D．沿著該圓臺(tái)側(cè)面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm（多選）12．（5分）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，點(diǎn)E在弧上．（）A． B．若，則u＝1 C．若∠DOE＝30°，則 D．的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）i+i2+i3+?+i2023＝．（i為虛數(shù)單位）14．（5分）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有人．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是．16．（5分）近期，貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起足球發(fā)燒友、旅游愛好者、社會(huì)名流等的廣泛關(guān)注．足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級(jí)非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗和臣子們蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐A﹣BCD如圖所示，頂點(diǎn)A在底面的射影落在△BCD內(nèi)，它的體積為，其中△BCD和△ABC都是邊長為6的正三角形，則該“鞠”的表面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）設(shè)平面內(nèi)三點(diǎn)A（3，﹣4），B（2，﹣3），C（4，1）．（1）求；（2）設(shè)向量與的夾角為θ，求cosθ．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求A；（2）若a＝6，△ABC的面積為，求△ABC的周長．19．（12分）某校舉行數(shù)學(xué)競賽，競賽要完成三道題：代數(shù)，幾何，組合各一道，競賽記分方法如下：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，答對(duì)代數(shù)題、幾何題，每題均可獲得30分，答對(duì)組合題，可獲得40分，每答錯(cuò)一題，則扣除總分中的10分（假設(shè)答題只有對(duì)與錯(cuò)兩種結(jié)果）．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)結(jié)果，小明答對(duì)代數(shù)、幾何、組合的概率分別為，，a，假設(shè)解答這三題結(jié)果彼此獨(dú)立，已知小明初始分為0分，設(shè)比賽結(jié)束后，小明的總分為X，求：（1）已知小明在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，將三題都答對(duì)的概率為，求該學(xué)生恰能答對(duì)三題中的一題的概率；（2）已知a＝，若總分X不低于50分才能獲獎(jiǎng)，求小明獲獎(jiǎng)的概率．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（1）設(shè)G、H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：GH∥平面PAD；（2）求證：PA⊥平面PCD；（3）求直線AD與平面PAC所成角的余弦值．21．（12分）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體育場（鳥巢）舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組[20，25），第二組[25，30），第三組[30，35），第四組[35，40），第五組[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．22．（12分）若函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（x+）且f（+x）＝f（﹣x）（x∈R），則稱函數(shù)f（x）為“M函數(shù)”．（1）試判斷f（x）＝sinx是否為“M函數(shù)”，并說明理由；（2）函數(shù)f（x）為“M函數(shù)”，且當(dāng)x∈[，π]時(shí)，f（x）＝sinx，求y＝f（x）的解析式，并寫出在[0，]上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）在（2）的條件下，當(dāng)x∈[，+π]（k∈N）時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）＝a（a為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為S（k），求S（3）．

2022-2023學(xué)年湖南省湘西州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝3 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝1，b＝3【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知為不共線的非零向量，，，，則（）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B、D三點(diǎn)共線 C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可．【解答】解：∵，，∴不存在λ，使＝λ，故A，B，C三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵＝+＝+5，∴＝，∴A，B、D三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)B正確；∵，，∴不存在λ，使＝λ，故B，C，D三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵＝+＝﹣+13，，∴不存在λ，使＝λ，故A，D，C三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）湘西州有甲草原：龍山縣八面山空中草原，乙草原：瀘溪縣濱江大草原，暑假期間兩草原供游客休閑旅游，記事件E＝“只去甲草原”，事件F＝“至少去一個(gè)草原”，事件G＝“至多去一個(gè)草原”，事件H＝“不去甲草原”，事件Ⅰ＝“一個(gè)草原也不去”．下列命題正確的是（）A．E與G是互斥事件 B．F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件 C．F與G是互斥事件 D．G與Ⅰ是互斥事件【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念，即可判斷．【解答】解：對(duì)于A，事件E，G有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件F與I不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，事件F與G有可能同時(shí)發(fā)生，即都包括去其中一個(gè)草原，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件G與I有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和對(duì)立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若，的夾角與，的夾角相等，則t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【分析】化簡＝+t＝（3+t，4），可得＝，從而求得．【解答】解：∵＝（3，4），＝（1，0），∴＝+t＝（3+t，4），∵，的夾角與，的夾角相等，∴＝，即＝，解得t＝5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列四個(gè)命題正確的有（）①α∥β，a?α?a∥β；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③a⊥b，a⊥α?b∥α；④a⊥α，α∥β，b∥β?a⊥b．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系，逐一判斷即可得解．【解答】解：對(duì)①，∵α∥β，a?α，∴a∥β，∴①正確；對(duì)②，∵α∥β，m?α，n?β，∴m∥n或m與n異面，∴②錯(cuò)誤；對(duì)③，∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b?α，∴③錯(cuò)誤；對(duì)④，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b∥β，∴a⊥b，∴④正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線、平面的位置關(guān)系，考查空間想象力，邏輯推理，屬基礎(chǔ)題．6．（5分）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P﹣AC﹣O為45°，則（）A．該圓錐的體積為3π B．該圓錐的側(cè)面積為 C． D．△PAC的面積為2【分析】根據(jù)題意，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的頂點(diǎn)為P，且∠APB＝120°，PA＝2，所以∠APO＝60°，則圓錐的高OP＝1，母線OA＝OB＝，對(duì)于A，圓錐的體積V＝Sh＝，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓錐的側(cè)面積S＝，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P﹣AC﹣O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及二面角的定義和圓錐的體積、表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．平均數(shù)為2，方差為3.1 B．中位數(shù)為3，方差為1.6 C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2【分析】根據(jù)題意，利用特例法可判斷ACD；結(jié)合平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，可判斷B正確，由此能求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，若平均數(shù)為2，則方差，平均數(shù)為2，方差為3.1，所以一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3，3，3，5，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，方差為：，此時(shí)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，公園里有一塊邊長為4的等邊三角形草坪（記為△ABC），圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE鋪設(shè)灌溉水管，則水管的最短長度為（）A． B． C．3 D．【分析】利用S△ADE＝S△ABC可以得到AD?AE＝8，再利用余弦定理和基本不等式求解即可．【解答】解：∵S△ADE＝S△ABC，∴＝．解得：AD?AE＝8．在△ADE中用余弦定理得到：cosA＝＝．整理得到：AD2+AE2＝8+DE2，即DE2≥8，當(dāng)且僅當(dāng)AD＝AE＝2時(shí)取得等號(hào)．故DE的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式和余弦定理，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知i是虛數(shù)單位，若，則（）A．復(fù)數(shù)z的虛部為﹣2 B．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限 C．|z﹣2i|＝25 D．復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+6x+13＝0的一個(gè)根【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，共軛復(fù)數(shù)的定義，模的運(yùn)算公式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)化簡即可判斷求解．【解答】解：由題意可得，z＝＝＝，復(fù)數(shù)z的虛部為﹣2，故A正確；z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（﹣3，﹣2），在第三象限，故B錯(cuò)誤；|z﹣2i|＝|﹣3﹣4i|＝5，故C錯(cuò)誤；將z＝﹣3﹣2i代入方程x2+6x+13＝0是成立的，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）在某次數(shù)學(xué)測試中，對(duì)多項(xiàng)選擇題的要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．”已知某道多項(xiàng)選擇題的正確答案是ABC，且某同學(xué)不會(huì)做該題（該同學(xué)至少選一項(xiàng)且可能全選），下列結(jié)論正確的是（）A．該同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是 B．該同學(xué)隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是 C．該同學(xué)僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是 D．該同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是【分析】對(duì)各項(xiàng)中的隨機(jī)事件，計(jì)算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出相應(yīng)的概率后可得正確的選項(xiàng)．【解答】解：該同學(xué)隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為A，B，C，D，共4個(gè)；隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個(gè)；隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為ABC，ABD，ACD，BCD，共4個(gè)；隨機(jī)選四個(gè)選項(xiàng)，其所有的基本事件為ABCD，共1個(gè)．于是根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得：僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是，故A錯(cuò)誤；隨機(jī)至少選擇二個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是＝，故B正確；僅隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是，故C正確；隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是＝，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說法正確的有（）A．該圓臺(tái)軸截面ABCD面積3cm2 B．與的夾角60° C．該圓臺(tái)的體積為cm3 D．沿著該圓臺(tái)側(cè)面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm【分析】利用圓臺(tái)的軸截面的面積，側(cè)面展開圖求解表面最短距離，圓臺(tái)的體積，異面直線所成角，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：對(duì)于A，圓臺(tái)高為，∴圓臺(tái)軸截面ABCD面積為，即圓臺(tái)軸截面ABCD面積3cm2，故A正確；對(duì)于B，由已知及題圖知，且，∴∠ADC＝60°，與的夾角60°，故B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，該圓臺(tái)的體積為πcm3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中ABCD，且E為AD中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐體側(cè)面展開為扇形COD，且OC＝4，C，∴在Rt△COE中，，即C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，即沿著該圓臺(tái)側(cè)面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓臺(tái)的相關(guān)計(jì)算，幾何體的體積的求法，表面距離的求解，是中檔題．（多選）12．（5分）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，點(diǎn)E在弧上．（）A． B．若，則u＝1 C．若∠DOE＝30°，則 D．的最小值為【分析】A選項(xiàng)先利用，再按照數(shù)量積運(yùn)算即可；B選項(xiàng)由平行四邊形法則即可判斷；C選項(xiàng)通過【解答】解：，A錯(cuò)誤；由知，E為弧CD的中點(diǎn)，又∠AOB＝120°，由平行四邊形法則可知?jiǎng)t，故u＝1，B正確．由∠DOE＝30°知，，設(shè)，則解得故，C正確．＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)∠BOE＝60°時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）i+i2+i3+?+i2023＝﹣1．（i為虛數(shù)單位）【分析】根據(jù)i的周期化簡求值即可．【解答】解：∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，即i的周期為4，所以原式＝505（i﹣1﹣i+1）+i﹣1﹣i＝505×0﹣1＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有6720人．【分析】求出在隨機(jī)抽取的50人中持反對(duì)態(tài)度的頻率，進(jìn)而求出結(jié)果．【解答】解：在隨機(jī)抽取的50人中，有15人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，則持反對(duì)態(tài)度的頻率為，所以可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有．故答案為：6720．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單隨機(jī)抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是[3，4）．【分析】利用余弦函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出不等式求解即可．【解答】解：因?yàn)?≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f（x）＝cosωx﹣1＝0，則cosωx＝1有4個(gè)根，令t＝ωx，則cost＝1有4個(gè)根，其中t∈[0，2ωπ]，結(jié)合余弦函數(shù)y＝cost的圖像性質(zhì)可得6π≤2ωπ＜8π，解得3≤ω＜4．故答案為：[3，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期應(yīng)用問題，以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．16．（5分）近期，貴州榕江“村超”火爆全網(wǎng)，引起足球發(fā)燒友、旅游愛好者、社會(huì)名流等的廣泛關(guān)注．足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級(jí)非物質(zhì)文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗和臣子們蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，連接這四點(diǎn)構(gòu)成三棱錐A﹣BCD如圖所示，頂點(diǎn)A在底面的射影落在△BCD內(nèi)，它的體積為，其中△BCD和△ABC都是邊長為6的正三角形，則該“鞠”的表面積為52π．【分析】取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，設(shè)△BCD和△ABC的中心分別為H、F，過H、F分別作平面BCD與平面ABC的垂線交于點(diǎn)O，即球心為O，再結(jié)合三棱錐的體積公式以及勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，設(shè)△BCD和△ABC的中心分別為H、F，過H、F分別作平面BCD與平面ABC的垂線交于點(diǎn)O，即球心為O，設(shè)“鞠”的半徑為R，連接OE，因?yàn)锽C⊥DE，BC⊥AE，所以BC⊥平面AED，則VA﹣BCD＝VB﹣AED+VC﹣AED＝，即：，又BC＝6，，所以，即∠AED＝60°，易知OE為∠AED的角平分線，所以∠OEH＝30°，在Rt△OEH中，因?yàn)椋瑒tOH＝EH?tan30°＝1，在Rt△OCH中，，所以該“鞠”的表面積為4πR2＝4π×13＝52π．故答案為：52π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三棱錐的外接球問題，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）設(shè)平面內(nèi)三點(diǎn)A（3，﹣4），B（2，﹣3），C（4，1）．（1）求；（2）設(shè)向量與的夾角為θ，求cosθ．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量模公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：（1）A（3，﹣4），B（2，﹣3），C（4，1），則，，則，故＝；（2），，則，，，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求A；（2）若a＝6，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，由輔助角公式可得，進(jìn)而可得A的值；（2）由三角形面積公式及余弦定理可求得b+c＝12，進(jìn)而可得△ABC的周長．【解答】解：（1）由及正弦定理得：因?yàn)閟inB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，所以sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0．由于sinC≠0，∴，所以，又0＜A＜π，故．（2）由題得△ABC的面積，故bc＝36①，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，又a＝6，故b2+c2＝72②，由①②得：b+c＝12，所以△ABC的周長為a+b+c＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（12分）某校舉行數(shù)學(xué)競賽，競賽要完成三道題：代數(shù)，幾何，組合各一道，競賽記分方法如下：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，答對(duì)代數(shù)題、幾何題，每題均可獲得30分，答對(duì)組合題，可獲得40分，每答錯(cuò)一題，則扣除總分中的10分（假設(shè)答題只有對(duì)與錯(cuò)兩種結(jié)果）．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)結(jié)果，小明答對(duì)代數(shù)、幾何、組合的概率分別為，，a，假設(shè)解答這三題結(jié)果彼此獨(dú)立，已知小明初始分為0分，設(shè)比賽結(jié)束后，小明的總分為X，求：（1）已知小明在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，將三題都答對(duì)的概率為，求該學(xué)生恰能答對(duì)三題中的一題的概率；（2）已知a＝，若總分X不低于50分才能獲獎(jiǎng)，求小明獲獎(jiǎng)的概率．【分析】（1）小明三道題都答對(duì)概率為，求出，由此能求出恰能解決三道題中的一道題的概率；（2）若三道題均答對(duì)，則X＝100，若組合題答對(duì)，代數(shù)、幾何恰有一道題答對(duì)，則X＝60，若代數(shù)幾何均答對(duì)，但組合未答對(duì)，則X＝50，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出總分X不低于50分的概率．【解答】解：（1）小明三道題都答對(duì)概率為，故，恰能解決三道題中的一道題的概率：．（2）若三道題均答對(duì)，則X＝100，，若組合題答對(duì)，代數(shù)、幾何恰有一道題答對(duì)，則X＝60，，若代數(shù)幾何均答對(duì)，但組合未答對(duì)，則X＝50，，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．（1）設(shè)G、H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：GH∥平面PAD；（2）求證：PA⊥平面PCD；（3）求直線AD與平面PAC所成角的余弦值．【分析】（1）利用線線平乖可證GH∥平面PAD；（2）利用已知可證DN⊥PA，PA⊥CD，可證PA⊥平面PCD；（3）可得∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角．進(jìn)而求解即可．【解答】解：（1）連接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，故GH∥PD，又因?yàn)镚H?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH∥平面PAD．（2）取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，依題意，得DN⊥PC，又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，故DN⊥PA，又因?yàn)镻A⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD．（3）連接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角．因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形，CD＝2且N為PC的中點(diǎn)，所以，所以，又DN⊥AN，所以AD＝3．在Rt△AND中，所以直線AD與平面PAC所成角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，屬中檔題．21．（12分）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體育場（鳥巢）舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組[20，25），第二組[25，30），第三組[30，35），第四組[35，40），第五組[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這m人的平均年齡；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解概率，由方差的計(jì)算即可求解方差．【解答】解：（1）設(shè)這m人的平均年齡為，則（歲）；（2）（i）由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為2：7：5：4：2，第四組應(yīng)抽取人，記為A，B，C，甲，第五組抽取人，記為D，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為Ω＝{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲）（C，乙），（C，D），（甲，乙