湖南省張家界市2021年中考數(shù)學(xué)真題試題（解析版）

湖南省張家界市2021年普通初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：本學(xué)科試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.-2021的絕對(duì)值等于（）

A.2021B.-2021C.」一

20212021

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)即可求出答案.

【詳解】解：-2021的絕對(duì)值即為：|-20211=2021.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，熟記絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵.

2.我國(guó)是世界上免費(fèi)為國(guó)民接種新冠疫苗最多的國(guó)家，截至2021年6月5日，免費(fèi)接種數(shù)量已超過

700000000劑次，將700000000用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為（）

A.0.7xlO9B.0.7xlO8C.7xl08D.7x1()9

【答案】C

【解析】

【分析】將700000000寫成ax。n為正整數(shù)）的形式即可.

【詳解】解：700000000=7x10s.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，將原數(shù)寫成axion（l<|a]<10,n為正整

數(shù)）的形式，確定a、n的值成為解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖所示的幾何體，其俯視圖是（

A

□

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖是從物體上面看所得到的圖形判斷即可.

【詳解】從上面看是一個(gè)圓，中間有一個(gè)點(diǎn),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.看得見部分的輪廓線要畫成實(shí)

線，看不見部分的輪廓線要畫成虛線.

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.x2+x3=%5B.(x-y)2-x2-y2

C.(x2)3=X6D.x64-x3=x2

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用合并同類項(xiàng)，完全平方差公式、幕的乘方、同底數(shù)幕的除法來計(jì)算即可.

【詳解】解：A,不能合并同類項(xiàng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B,（x-y）2=x2-2xy+y2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C,（＞2）3=x2x3=x6,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D,爐土工3=%6-3=%3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，完全平方差公式、幕的乘方、同底數(shù)幕的除法，解題的關(guān)鍵是：熟練掌

握合并同類項(xiàng)，完全平方差公式、基的乘方、同底數(shù)基的除法的基本運(yùn)算法則.

5.某校有4000名學(xué)生，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行體重調(diào)查，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.總體是該校4000名學(xué)生的體重B.個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生

C.樣本是抽取的400名學(xué)生的體重D.樣本容量是400

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的知識(shí)解答.總體是指所要考察對(duì)象的全體；個(gè)體是指每一個(gè)

考查對(duì)象：樣本是指從總體中抽取的部分考察對(duì)象稱為樣本；樣本容量是指樣本所含個(gè)體的個(gè)數(shù)（不含單位）.

【詳解】解：4、總體是該校4000名學(xué)生的體重，此選項(xiàng)正確，不符合題意；

8、個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生的體重，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、樣本是抽取的400名學(xué)生的體重，此選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、樣本容量是400,此選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的定義，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣

本，關(guān)鍵是明確考查的對(duì)象.總體、個(gè)體和樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量

是樣本中包含的個(gè)體的數(shù)量，不能帶單位.

6.如圖，正方形4BCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方

形的中心成中心對(duì)稱，設(shè)正方形ABCD的面積為S,黑色部分面積為5,則H:S的比值為（）

Tt71]_

A.—B.—C.D.

8442

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,則圓的半徑為小分別表示出黑色部分面積和正方形ABCO的

面積，進(jìn)而即可求得R:S的比值.

【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m則圓的半徑為a

：,S=4a2＞圓的面積為萬合

?.?正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱

黑色部分面積為圓面積的一半

S.=—ncr

?2

/.S,:S=—7ra2:(4a2)=—,

28

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了陰影部分面積的求解，準(zhǔn)確運(yùn)用字母表示正方形面積和圓形面積并結(jié)合多邊形內(nèi)

切圓性質(zhì)、中心對(duì)稱圖形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

7.對(duì)于實(shí)數(shù)a力定義運(yùn)算“☆”如下：a^b=ab2-ab，例如3^2=3x2?-3x2=6，則方程

[☆x=2根的情況為()

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【解析】

【分析】本題根據(jù)題目所給新定義將方程1☆%=2變形為一元二次方程的一般形式，即℃2+區(qū)+o=0的

形式，再根據(jù)根的判別式4=82—4ac的值來判斷根的情況即可.

【詳解】解：根據(jù)題意由方程1☆x=2得:

x2-x=2

整理得：X2-X-2=0

根據(jù)根的判別式A=l2-4xlx（-2）=9>0可知該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，根據(jù)題目所給的定義對(duì)方程進(jìn)行變形后依據(jù)/的值來判斷根的情況,

注意A>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=（）時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；/<0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根.

8,若二次函數(shù)y=依2+法+。（。工0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=依+人與反比例函數(shù)y=-￡在同

x

一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)拋物線的開口方向確定〃<0,對(duì)稱軸可確定6的正負(fù)，與），軸的交點(diǎn)可知。>0,然后逐項(xiàng)

排查即可.

【詳解】解：???拋物線開口方向向下

：.a<0,

b

??,拋物線對(duì)稱軸-五>0

：.h>0

???拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸

.\c>0

y=ox+6的圖像過二、一、四象限，y=—￡的圖象在二、四象限

X

選項(xiàng)滿足題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點(diǎn)成為

解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）

9.已知方程2x—4=0,則％=____.

【答案】2

【解析】

【分析】直接移項(xiàng)求解一元一次方程的解.

【詳解】解：4=0,

2x=4,

解得：x=2,

故答案是：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是：掌握解一元一次方程的一般步驟.

10.如圖是張家界市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，則這7天的最高氣溫的中位數(shù)是℃■

最高溫度re

【答案】26

【解析】

【分析】將7天的最高氣溫按從小到大排列以后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：根據(jù)7天的最高氣溫折線統(tǒng)計(jì)圖,

將這7天的最高氣溫按從小到大排列為：

20,22,24,26,28,28,30,

故中位數(shù)為26℃.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)的定義，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果這組數(shù)據(jù)的

個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)

的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

11.如圖，已知A8//CD,8C是NABZ）的平分線，若N2=64°,則N3=.

【解析】

【分析】先根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得28￡^=/2=64。,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得/48（7,最后根據(jù)角平分線

的定義求解即可.

【詳解】解：和/2是對(duì)頂角

：.ZBDC=Z2=6A°

AB//CD

：.ZBDC+ZABD=\S0°,即NABD=116°

V8C是NA8O的平分線

.,.Z3=Z1=—ZABD=58°.

2

故填：58°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等以及角平分線的相關(guān)知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)成為解

答本題的關(guān)鍵.

x>2

12.不等式L,-的正整數(shù)解為

2x+l<7—

【答案】3

【解析】

【分析】直接解出各個(gè)不等式的解集，再取公共部分，再找正整數(shù)解即可.

【詳解】解：由2X+1W7,

解得：x<3,

由x>2,

二原不等式的解集是：2<x?3.

x>2

故不等式4c,=的正整數(shù)解為：3,

2x+l<7

故答案是：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集和求不等式組的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是：掌握解不等式

組的基本運(yùn)算法則，求出解集后，找出滿足條件的正整數(shù)解即可.

13.如圖，AAHC內(nèi)接于O。，NA=50。，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，連接。。，OB,0C,則

NBOD=.

【解析】

【分析】圓上弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】解:根據(jù)圓上弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，

ZA=-ZBOC,

2

ZBOC=100°,

?;OB=OC,

為等腰三角形，

又???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一，

二。。為N8OC的角平分線，

:.ZBOD=50°,

故答案是：50°.

【點(diǎn)睛】本題考查了弦長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是:

根據(jù)性質(zhì)求出ZBOC,再利用角平分線或三角形全等都能求出解.

14.如圖，在正方形A8CO外取一點(diǎn)E，連接。E，AE,CE,過點(diǎn)。作?！甑拇咕€交AE于點(diǎn)P,若

DE=DP=1，PC=6下列結(jié)論：①會(huì)△CEO；②A￡_LCE；③點(diǎn)C到直線￡>￡的距離為

G；④S正方形$8=5+2及，其中正確結(jié)論的序號(hào)為一

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用同角的余角相等可得/E￡>C=/PD4,利用SAS可證明尸。也△CEO,可得①正確；②根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NAPD=NCED,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NDPE=NOEP=45。，即可得出

ZPEC=90°,可得②正確；過C作CF1DE,交OE的延長(zhǎng)線于F,利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)△DEP

是等腰直角三角形，可證△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出C尸的長(zhǎng)，可得③

錯(cuò)誤；④由③可知EF的長(zhǎng)，即可得出。F的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出CQ的長(zhǎng)，即可求出正方形A8CQ的

面積，可得④正確，綜上即可得答案.

【詳解】??,四邊形ABCD為正方形，PDLDE,

???NPDA+NPDC=90。，NEDC+NPDC=90。,AD=CD9

AZEDC=ZPDA,

AD=CD

在^APD和^CED中</EDC=ZPDA,

DP=DE

???△APOgZkCED,故①正確，

???/APD=/DEC,

"：DP=DE,ZPDE=90°,

JNDPE=NDEP=45。,

：.NAPD=NDEC=135。,

：.ZPEC=ZDEC-ZDEP=90°,

J.AELCE,故②正確，

如圖，過C作CF_LOE,交QE的延長(zhǎng)線于F,

'；DE=DP=1，ZPD￡=90°,

：.PE=41，

■:PC=癡，ZP￡C=90°,

：.CE=y]pc2-PE2=2.

；NDEP=45。,ZPEC=90°,

ZFEC=45°,

?：NEFC=9Q0,

.?.△CEF是等腰直角三角形，

歷

:.CF=EF=—CE=O,

2

.?.點(diǎn)C到直線OE的距離為0,故③錯(cuò)誤,

:.DF=EF+DE=6，+1,

...CD2=。尸2+C//2=（&+1）2+（正）2=5+272,

Sjp方形ABCD=5+2V2,故④正確,

JJDzj

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④，

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形面積公式、

勾股定理的運(yùn)用等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，滿分58分.請(qǐng)考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號(hào)后的

答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運(yùn)算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效.）

15.計(jì)算：（一l）2°2i+|2-0]-2cos6O°+次

【答案】&

【解析】

【分析】先運(yùn)用乘方、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值以及平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可.

詳解】解：（—l）2°2i+12—④卜2cos60°+際

=-1+2-夜-2x4+2拒

2

=■

【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、平方根的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知

識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

16.先化簡(jiǎn)￡4.}2，+￡21區(qū),然后從0,1,2,3中選一個(gè)合適的。值代入求解.

a~+4cz+4，廠+2aci-\

【答案】2a,6

【解析】

【分析】將分子、分母因式分解除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分、合并同類項(xiàng)，選擇合適的值時(shí)，。的取值不能使原

算式的分母及除數(shù)為0.

（a—2）（a+2）a（a+2）a（a—l）

【詳解】解：原式=（入2r一:或+:r

=2a

因?yàn)閍=0,1,2時(shí)分式無意義，所以。=3

當(dāng)4=3時(shí)，原式=6

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)，后代值，注意a的取值不能使原算式的分母及除數(shù)

為0.

17.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，全國(guó)各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長(zhǎng)征路”主題教育學(xué)習(xí)活動(dòng),

我市“紅二方面軍長(zhǎng)征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動(dòng)基地.據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬

人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人.

（1）求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；

（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)是多少？

【答案】（1）10%；（2）13.31萬

【解析】

【分析】（I）設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為％,根據(jù)題意列出等式解出x即可；

（2）直接利用（1）中求出的月平均增長(zhǎng)率計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為X,

由題意得：10（1+x）2=12.1,

21

解得：X,=10%,馬=——（不合題意，舍去），

~10

答：這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為10%.

（2）12.1x（1+10%）=13.31（萬人），

答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和增長(zhǎng)率問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目條件列出等式，求出增長(zhǎng)率，再利

用增長(zhǎng)率來預(yù)測(cè).

18.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與8□相交于點(diǎn)。，NAO6=60°,對(duì)角線AC所在的直線繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<120。），所得的直線/分別交A￡>，于點(diǎn)及F.

（1）求證：/\AOE^/\COF；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a為多少度時(shí)，四邊形AFCE為菱形？試說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）90°,理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線相交，對(duì)頂角相等，且AO=CO,可以證明兩三角形

全等；

（2）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線垂直即可說明.

【詳解】（1）證明：?..四邊形ABCO是矩形，

AD//BC,AO=CO,

：.ZAEO=ZCFO,

又?:ZAOE=NCOF,

：.^AOE^COF（AAS）.

（2）當(dāng)a=90°時(shí)四邊形AFCE為菱形，

理由：V^AOE^^COF,

Z.OE=OF,

又?；AO=CO,

四邊形AFCE為平行四邊形，

又：ZAOE=90°,

，四邊形AFC￡為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判斷定理，菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)得

出角之間的關(guān)系，利用A4S來證明；證明四邊形是菱形，只要求證明平行四邊形對(duì)角線垂直即可.

19.為了積極響應(yīng)中共中央文明辦關(guān)于“文明用餐”的倡議，某校開展了“你的家庭使用公筷了嗎？”的

調(diào)查活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們家庭用餐使用公筷情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)分類為以下四種：A（完

全使用）、B（多數(shù)時(shí)間使用）、C（偶爾使用）、D（完全不使用），將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，繪制了兩幅不完整

的統(tǒng)計(jì)圖.

公筷使用情況條形統(tǒng)計(jì)圖使用公筷情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有.

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中A對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是.

（4）為了了解少數(shù)學(xué)生完全不使用公筷的原因，學(xué)校決定從。組的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩位進(jìn)行回訪，若。組

中有3名男生，其余均為女生，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率.

【答案】（1）50人；（2）作圖見解析；（3）72°；（4）!

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得。類學(xué)生數(shù)量，再根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖性質(zhì)作圖，即可得到答案；

（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；

（4）根據(jù)列表法求概率，即可得到答案.

【詳解】(1)本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有：理-=50人

40%

故答案為：50人；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，得。類學(xué)生數(shù)量為：50—10—20—16=4人

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全如下：

0ABCD使用公筷情況

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是：—X360°=72°

50

故答案為：72。；

(4)列表如下：

男1男2男3女

男1男1，男2男1,男3男1，女

男2男2,男1男2,男3男2,女

男3男3,男1男3,男2男3,女

女女，男1女，男2女，男3

.??總共有12種情況，其中抽取兩位學(xué)生恰好是一男一女的情況總共有6種

.?.抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率=9=1.

122

【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)調(diào)查和簡(jiǎn)單概率的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、列表

法或者樹狀圖法求概率的性質(zhì)，從而完成求解.

20.如圖，在用AAOB中，NA5O=90。，NQ46=30°,以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑的圓交的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作OA的平行線，交于點(diǎn)O,連接AO.

A

（1）求證：AD為O。的切線；

（2）若QB=2,求弧CD的長(zhǎng).

2

【答案】（1）見解析；（2）—71

3

【解析】

【分析】（1）連接08,先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/AOB=60。，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得

ZAOD=60°,再證明^AOB^^AOD可得ZADO=ZABO=90°即可；

（2）先求出NC。。，然后再運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：連接

VZOAB=30°,NB=90°

/.ZAOB=GO°

又；CDIIAO

：.ZC=ZAOB=^）°

ZBOD=2ZC=120°

/.NAQD=60。

又：OB=OD,AO=AO

：.^AOB^AAOD（SAS）

：.ZADO=ZABO^90°

又：點(diǎn)。在。。上

AO是。。的切線；

A

(2)VZBOD=\20°

：.ZCOD=60°

=^x2萬x2=%

3603

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A的切線的證明方法成為解答本題的

關(guān)鍵.

21.張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點(diǎn).某校初三年級(jí)在一次研學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)研學(xué)小

組設(shè)計(jì)以下方案測(cè)量橋的高度.如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測(cè)點(diǎn)A,觀測(cè)到橋面8,。的仰角分別

為30。,60°,測(cè)得8C長(zhǎng)為320米，求觀測(cè)點(diǎn)A到橋面的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：631.73）

【答案】277米

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作AD,交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)已知條件可得CA=CB=320m,在Rt/\ACD

中，求出A。即可

【詳解】解：過點(diǎn)A作4），8c交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。

C

B口

M

A

由圖可知：N8=30°,AM//CD

/B=/BAM=30°,ZDCA=ZCAA/=60°

ZCAB=ZCAM-ZBAM-60°-30°=30°

/.ZB=ABAC

CA=CB=320m

在用八4。0中，ZDC4=60°

AnAn

：.sinZDCA=—,即sin/60°=——

AC320

,4D=—x320?—x320?277(米)

22

答.觀測(cè)點(diǎn)A到橋面BC的距離是277米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、根據(jù)三角函數(shù)正確列方程是解題

的關(guān)鍵.

22.閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)于自變量x取值范圍內(nèi)任意占，々，

(1)若不<々，都有/(%)</(工2)，則稱/(幻是增函數(shù)；

(2)若玉<w，都有/(%)>/(工2)，則稱/(x)是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/1(X)=/(x>0)是增函數(shù).

證明：任取藥<工2，且不>0，x2>0

則/(七)一/(>2)=%2-考=(玉+工2)(王一無2)

X]<入2且5>0，工2>0

J玉+Z>°，玉一期<°

/.(x,+x2)(Xj-x2)<0,即(⑷-/(/)<0,f(x])<f(x2)

???函數(shù)f(x)=x\x>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)函數(shù)/(x)=‘(x>0),/(1)=!=1,八2)=!，/(3)=,/(4)=；

x12

(2)猜想/(x)=—(x>0)是函數(shù)(填“增”或“減”),并證明你的猜想.

x

【答案】(1)---；(2)減，證明見解析

34

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；

(2)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1)中的猜想成立.

【詳解】解：(1)/◎)=；，”4)=：

(2)猜想：/。)=40>0)是減函數(shù)；

X

證明：任取由<工2，X>0，x2>0,則

/U,)-/(x2)=-!—

X]x2x1x2

Xi<9且%>0，x2>0

/.x2-Xj>0,x]x2>0

土二五>0,即/(西)一/(工2)>0

X\X2

函數(shù)/(x)=4(x>0)是減函數(shù).

X

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

23.如圖，已知二次函數(shù)丁=以2+笈+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(2,—3)且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)8(8,0).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

（3）判斷AABO的形狀，試說明理由；

（4）若點(diǎn)P為。。上的動(dòng)點(diǎn)，且。。的半徑為2后，一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

沿線段AP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，的最小值.

【答案】（1）y=2%；（2）A（4,-4）,y=x-8；（3）等腰直角三角形，理由見解析：（4）572

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；

（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出A8解析式

即可;

（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知AABO為等腰三角形，再根據(jù)0、4、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長(zhǎng)，利

用勾股定理驗(yàn)證即可；

⑷根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f=；|AP|+|P@,在OA上取點(diǎn)。，使00=血，可證明

△APOs△PDO,根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得|P"=；|A