湖南省2021年中考數(shù)學真題分項匯編-11 四邊形（含答案解析）

專題11四邊形

一、單選題

1.（2021.湖南婁底市.中考真題）如圖，點E,F在矩形4BCO的對角線8。所在的直線上，BE=DF，則

四邊形AEC戶是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【分析】

利用三角形全等的性質得，對應邊相等及時應角相等，得出一組對邊平行且相等，即可判斷出形狀.

【詳解】

解：由題意：

AD//BC,：.ZADB=NCBD,

：.NFDA=/EBC,

乂AD=BC,BE=DF,

:.^ADF^ACBE（SAS）,

:.AF=EC,

ZAFD=ZCEB,:.AFIIEC,

四邊形AECF為平行四邊形，

故選：A.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，三角形全等的判定定理及性質、平行四邊形的判定，解題的關鍵是：掌握平行四

邊形判定定理，利用三角形全等去得出相應條件.

2.（2021?湖南株洲市.中考真題）如圖所示，四邊形A88是平行四邊形，點E在線段的延長線上，

若ZDCE=132°,則ZA=（）

D

A.38°B.48°C.58°D.66°

【答案】B

【分析】

根據(jù)補角的定義求ZDCB,再利用平行四邊形對角相等的性質求解即可.

【詳解】

,:"CE=132°

二ZDCB=180°-ZDCE=180°-132°=48°

四邊形ABC。是平行四邊形

二ZA=ZZ)CB=48°.

故選：B.

【點睛】

本題考查了補角的定義和平行四邊形的性質.平行四邊形的性質，對邊相等，對角相等，對角相互相平分.

3.（2021?湖南常德市?中考真題）如圖，已知F、E分別是正方形ABC。的邊AB與8c的中點，AE與DF

交于P.則下列結論成立的是（）

B.PC=PD

2

C.ZE4F+ZAFZ)=90°D.PE=EC

【答案】C

【分析】

根據(jù)正方形的性質，全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質逐一判斷即可.

【詳解】

解：；四邊形ABCO是正方形,

：.AB=BC=CD=CAfZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

??,已知F、E分別是正方形ABC。的邊AB與8c的中點,

：.BE=-BC=-AB<-AE故A選項錯誤，不符合題意；

222f

在△A8E和ADAF中，

AB=DA

<ZABE=ZDAF=90°t

BE=FA

：./^ABE^ADAF(SAS),

，NBAE=NADF,

*/ZADF+ZAFD=90°f

：.ZBAE+ZAFD=90°9

：.ZAPF=90°f

AZEAF+ZAFD=90o,故。選項正確，符合題意；

連接“C,

同理可證得尸(SAS),

J/BCF=/ADF,

:?/BCD?/BCF=/ADCNADF,即90°-ZBCF=90°-ZADF,

???ZPDC=ZFCD>ZPCD,

：.POPD,故8選項錯誤，不符合題意；

?:AD>PD,

CD>PD9

：.ZDPOZDCP,

.??90°-ZDPC<90°-ZDCP,

：./CPEv/PCE,

:?PE>CE,故。選項錯誤，不符合題意;

故選：c.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質等知識.此題綜合性很強，解題

的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用.

4.（2021?湖南常德市?中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和是1800。，則這個多邊形是（）邊形.

A.9B.10C.IID.12

【答案】D

【分析】

根據(jù)〃邊形的內(nèi)角和是（〃-2）X180。，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為1800°,就得到一個關于〃的方程，從而

求出邊數(shù).

【詳解】

根據(jù)題意得:（"-2）義180。=1800。，

解得:"=12.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查多邊形的內(nèi)角和，解題的關鍵是熟知〃邊形的內(nèi)角和是（n-2）X180°.

5.（2021?湖南株洲市?中考真題）如圖所示，在正六邊形ABCDEF內(nèi)，以A3為邊作正五邊形，

則N￡4Z=（）

A.10°B.12°C.14°D.15°

【答案】B

【分析】

利用正〃邊形的外角和定理計算即可

【詳解】

如圖，延長84到點0,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

ED

.\ZMO=—=60°,

6

???五邊形ABGHI是正五邊形,

皆=72。,

/.ZFAI=ZIAO-ZFAO=\20,

故選B.

【點睛】

本題考查了正多邊形的外角和定理，熟練掌握正〃邊形的外角和定理是解題的關鍵.

6.（2021.湖南衡陽市.中考真題）如圖，矩形紙片438,45=4,5。=8,點加、N分別在矩形的邊4。、

BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AO上，記為點尸，點。落在G處，連接PC,

交MN于點Q,連接CM.下列結論:①四邊形OWPN是菱形;②點P與點A重合時，MN=5；③APQM

的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結論的序號是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【分析】

根據(jù)矩形的性質與折疊的性質，證明出NPMN=NPM0，PM=PN,通過等量代換，得到PM=CN,則

由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結論正確；用勾股定理CN=5,CQ=gAC=2g,由菱形的性

質對角線互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QV=2石：當MN過點。時，最小面積

S=；S菱形CMPS=；X4X4=4,當尸點與A點重合時，S最大為S=；x5x4=5,得出答案.

【詳解】

解：①如圖1,

圖1

PMPCN,

：.NPMN=ZMNC,

?折疊，:.ZMNC=4PNM,NC=NP

：./PMN=/PNM,

PM=PN，

:.PM=CN,

MP//CN,

：.四邊形CNPM為平行四邊形，

CN=NP,

,平行四邊形CNPM為菱形，

故①正確，符合題意；

②當點P與A重合時，如圖2所示

G

(P)

N

圖2

較BN=x，則AN=MC=8—x，

在RfAABN中,AB?+BN?=AN?,

即42+\=(8一彳了,

解得：x=3,

CN=51AC=yjAB2+BC2=475-

CQ=；AC=2后，

又???四邊形CNPM為菱形，

AAC±MN.且MN=2QN,

/.QN=‘CN?-CQ。=V5

：.MN=2QN=2yf5,故②錯誤，不符合題意.

③當MN過點。時，如圖3所示：

(M)

圖3

此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S=(S菱形c“ps=；x4x4=4,

當尸點與A點重合時，CN最長，四邊形OWPN的面積最大，則S最大為S=[x5x4=5,

4

.,.4<5<5,故③正確，符合題意.

故答案為：①③.

【點睛】

本題主要考查了菱形的判定與性質、折疊問題、勾股定理的綜合應用，熟練掌握菱形的判定定理與性質定

理、勾股定理是解決本題的關鍵.

二、填空題

7.(2021?湖南中考真題)一個多邊形的每個外角的度數(shù)都是60。，則這個多邊形的內(nèi)角和為.

【答案】720°

【分析】

多邊形的外角和計算公式為：邊數(shù)x外角的度數(shù)=360。，根據(jù)公式即可得出多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)多邊

形的內(nèi)角和公式求出它的內(nèi)角和，〃邊形內(nèi)角和等于(〃-2)x|80。.

【詳解】

解：?..任何多邊形的外角和是360。，此正多邊形每一個外角都為60。，邊數(shù)x外角的度數(shù)=360。，

.,.n=360°+60°=6,

.?.此正多邊形的邊數(shù)為6,

則這個多邊形的內(nèi)角和為(〃-2)x180。，

(6-2)xl80°=720°,

故答案為720°.

【點睛】

本題主要考查了多邊形內(nèi)角和及外角和定理，熟知“任何多邊形的外角和是360°,n邊形內(nèi)角和等于(小2)

/180°”是解題的關鍵.

8.(2021?湖南長沙市?中考真題)如圖，菱形ABC。的對角線AC,相交于點。，點E是邊AB的中

點，若OE=6,則5c的長為.

【答案】12

【分析】

先根據(jù)菱形的性質可得。4=0C,再根據(jù)三角形中位線定理即可得.

【詳解】

解：?.?四邊形A8CD是菱形，

OA=OC,

??,點E是邊A3的中點，

.?.0E是△ABC的中位線，

：.BC=2OE=2x6=U,

故答案為：12.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關鍵.

9.（2021.湖南株洲市.中考真題）如圖所示，線段BC為等腰AABC的底邊，矩形AD3E的對角線與DE

交于點。，若。0=2,則AC=.

BC

【答案】4

【分析】

先求出矩形的對角線的長，得到48的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值.

【詳解】

解：?.?矩形ADBE的對角線AB與DE交于點。,

：.AB=DE,OE=OD,

：.AB=DE^2OD=4,

?.?線段BC為等腰4ABC的底邊，

：.AC=AB=4,

故答案為:4.

【點睛】

本題考查了矩形的性質和對等腰三角形概念的理解，解決本題的關鍵是理解相關概念與性質，能靈活運用

題干信息，將它們用數(shù)學符號進行表示，本題較基礎，考查了學生的幾何語言表述的能力以及基本功.

10.（2021?湖南中考真題）如圖，已知四邊形A3C0是平行四邊形，從①=?AC=BD,③

中選擇一個作為條件，補充后使四邊形A8C。成為菱形，則其選擇是一（限填序號）.

【答案】①

【分析】

根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質即可得.

【詳解】

解：①AB=A￡）時，平行四邊形A5CD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

②AC=8￡＞時，平行四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；

③由平行四邊形的性質可知，ZABC^ZADC,則不能作為構成菱形的條件；

故答案為：①.

【點睛】

本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質，熟練掌握菱形的判定方法是解題關鍵.

11.（2021?湖南張家界市?中考真題）如圖，在正方形ABC。外取一點E，連接。E，AE，CE,過點。

作DE的垂線交AE于點P，若DE==1，PC=指.下列結論:①△"￡＞會ACED；②AE，CE；

③點C到直線DE的距離為由；④S正方形.8=5+2J5,其中正確結論的序號為.

【答案】①②④

【分析】

利用同角的余角相等可得NE2)C=NPZM,利用S45可證明△APDg/XCED,可得①正確；②根據(jù)全等三

角形的性質可得/A尸慶/CEQ,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得NOPE=/OEP=45。，即可得出ZPEC=90°,

可得②正確；過C作CFJ_QE,交?！甑难娱L線于F,利用勾股定理可求出CE的長，根據(jù)是等腰直

角三角形，可證ACEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可求出C尸的長，可得③錯誤；④

由③可知EF的長，即可得出。尸的長，利用勾股定理可求出CO的長，即可求出正方形48co的面積，可

得④正確，綜上即可得答案.

【詳解】

?.?四邊形ABCD為正方形，PD1DE,

ZPDA+ZPDC=90°,ZEDC+ZPDC=90°,AD^CD,

二NEDC=NPDA,

AD^CD

在△AP/）和△CEO中，ZEDC=ZPDA,

DP=DE

：.AAPD^ACED,故①正確，

???ZAPD=ZDECf

?：DP=DE,NPOE=90。，

NDPE=NDEP=45。,

：.ZAPD=ZD￡C=135°,

???ZPEC=ZDEC-ZDEP=90°,

：.AE.LCE,故②正確，

如圖，過C作C/J_OE,交OE的延長線于凡

?；DE=DP=1，ZPDE=90°,

：,PE=y[2，

,:PC=?ZPEC=90°,

:?CE=1pc2_PE2=2,

VZDEP=45°,ZP￡C=90°,

，ZFEC=45°,

,：ZEFC=90°,

.?.△CE尸是等腰直角三角形,

：.CF=EF^^CE=J2，

2

:,點C到直線OE的距離為灰，故③錯誤，

:.DF=EF+DE=O+1,

：■CD'DF2+CF2=(0+1)2+(偽2=5+2夜，

S正方形4gs=5+20,故④正確，

綜上所述：正確的結論有①②④，

故答案為：①②④

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質、iE方形面積公式、勾股定

理的運用等知識，熟練掌握相關判定定理和性質是解題的關鍵.

12.（2021?湖南株洲市?中考真題）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設計圖（蠕，同"蝶”），它

的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共

十三只（圖①中的“棣”和“要，為“樣”和“只”）.圖②為某蝶幾設計圖，其中△ABO和△CBO為“大三斜”組件

（“一棣二集”的大三斜組件為兩個全等的等腰直角三角形），已知某人位于點P處，點P與點A關于直線

。。對稱，連接CP、DP.若44OQ=24。，則N47=度.

建

售

泌

,加

M

X

午?|

圖1圖2

【答案】21

【分析】

由題意易得四邊形ABC￡＞是正方形，進而根據(jù)軸對稱的性質可得A慶。p,NPDQ=NADQ=24。，則有

CD^DP,然后可得NCOP=138°,最后根據(jù)等腰三角形的性質可求解.

【詳解】

解：且都為等腰直角=角形，

二四邊形ABCQ是正方形，

/.^CDA=90°,CD=AD,

?.?點P與點A關于直線DQ時稱，ZADQ=24°,

:.4PDQ=ZADQ=24°,AD^DP,

J.CD^DP,ZA￡>P=48°,

二NCDP=138。，

NDCP=ZDPC=改一=21°,

2

故答案為21.

【點睛】

本題主要考查正方形的判定與性質、軸對稱的性質及等腰三角形的性質，熟練掌握正方形的判定與性質、

軸對稱的性質及等腰三角形的性質是解題的關鍵.

13.（2021?湖南衡陽市.中考真題）如圖1,菱形A5CO的對角線AC與8。相交于點O,P、。兩點同時從

。點出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動.點尸的運動路線為O-A-0-0,點。的運

動路線為。-C—B—0.設運動的時間為x秒，P、。間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關系的圖象大致如

圖2所示，當點P在段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為

厘米.

四邊形ABCD是菱形，由圖象可得AC和BD的長，從而求出0C、0B和4CB.當點P在A—￡＞段上運

動且P、。兩點間的距離最短時，此時PQ連線過。點且垂直于BC.根據(jù)三角函數(shù)和已知線段長度，求出

P、。兩點的運動路程之和.

【詳解】

由圖可知，AC=2A/3,BD=2（厘米），

???四邊形ABC。為菱形

AOC=-AC=y[3,OB=-BD=\（厘米）

22

二ZACB=30。

尸在A。上時，Q在上，PQ距離最短時，PQ連線過。點且垂直于BC.

此時，P、。兩點運動路程之和S=2（OC+CQ）

,:CQ=0C.css4ACB=舟與=3（厘米）

故答案為（26+3）.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質和三角函數(shù).解題的關鍵在于從圖象中找到菱形對角線的長度.

三、解答題

14.（2021?湖南中考真題）如圖，在矩形ABC。中，已知AB=6,ZDBC=30°,求AC的長.

【答案】12.

【分析】

先根據(jù)矩形的性質可得CQ=AB=6,AC=&）,288=90。，再根據(jù)直角三角形的性質可得

BD=2CD=12,由此即可得出答案.

【詳解】

解：???四邊形A8CD是矩形，AB=6,

CD=AB=6,AC=BD,NBCD=90°,

???在mABCD中，ZE>BC=30°.

：.BD=2CD=n,

.?.AC=BO=12.

【點睛】

本題考查了矩形的性質、直角三角形的性質，熟練掌握矩形的性質是解題關鍵.

15.（2021糊南中考真題）如圖，四邊形ABCD中，A3=DC,將對角線AC向兩端分別延長至點E，F(xiàn),

使AE=b.連接BE,DF，若BE=DF.證明：四邊形ABCD是平行四邊形.

【答案】見詳解

【分析】

先證明△ABEGACDF，再證明A8〃CD,進而即可得到結論.

【詳解】

證明：在AABE和AC"中,

AB=DC

:<AE=CF,

BE=DF

/.AABE四衛(wèi)DF,

:.NBAE=NDCF,

：.ZBAC^\SO°-ZBAE=\SO°-ZDCF=ZDCA,

:.AB〃CD,

又,:AB=DC.

...四邊形A5CO是平行四邊形.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定定理，掌握“一組對邊平行且相等的四邊形是平

行四邊形”，是解題的關鍵.

16.(2021?湖南永州市?中考真題)如圖，已知點A,D,C,8在同一條直線上，AD=BC,AE=BF,AE//BF.

(1)求證：AAfC^ABFD.

(2)判斷四邊形。ECF的形狀，并證明.

【答案】(1)見詳解；(2)四邊形0ECF是平行四邊形，理由見詳解

【分析】

(1)由平行線的性質可得再證明AC=BD,根據(jù)SAS即可得到結論；

(2)由△AECgZkBED得DF=CE,根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可得到結論.

【詳解】

(1)證明：

AD=BC,

AAD+CD=BC+CD,即：AC=BD,

在AAEC和△BED中，

AC^BD

<NA=NB,

AE=BF

；.AAEC且ABFD；

(2)四邊形￡)ECE是平行四邊形，理由如下：

AAECm4BFD,

:.NACE=NBDF,DF=CE,

：.DF//CE,

...四邊形DECF是平行四邊形.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定定理，掌握上述性質和判定定理，是解題的關

鍵.

17.(2021?湖南株洲市?中考真題)如圖所示，在矩形A8C。中，點E在線段C。上，點F在線段的延

長線上，連接EF交線段8C于點G,連接BO,若DE=BF=2.

(1)求證：四邊形3在D是平行四邊形；

(2)若tanNABO=2,求線段BG的長度.

3

4

【答案】(1)證明見解析；(2)-

3

【分析】

(I)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求證；

(2)利用平行四邊形的性質得到NR=Z4B￡>，接著利用銳角三角函數(shù)值解直角三角形即可.

【詳解】

解：（1）證明：因為四邊形ABC。是矩形ABC。，

CD//AB,

又：DE=BF=2,

二四邊形3E即是平行四邊形：

（2）由（1）知四邊形3EED是平行四邊形，

/.BDHEF,

：./F=ZABD，

2

tanNF=tanNABD=—,

3

BG2

"-?--,

BF3

4

BG=—,

3

4

線段BG的長度為一.

3

【點睛】

本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容，解決本題的關鍵

是牢記相關概念，能進行邊和角之間關系的相互轉化等，本題較基礎，著重考查了學生的基礎知識和對概

念公式的運用.

18.（2021.湖南長沙市.中考真題）如圖，口A8CD的對角線AC,8。相交于點0,AOIB是等邊三角形，

AB=4.

（1）求證：nABCD是矩形：

（2）求AD的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）473.

【分析】

(1)先根據(jù)平行四邊形的性質可得。4=。。=！4。,05=0￡>=,比>,再根據(jù)等邊三角形的性質可得

22

OA=OB，從而可得AC=30,然后根據(jù)矩形的判定即可得證；

(2)先根據(jù)等邊三角形的性質可得OB=AB=4,從而可得=8,再根據(jù)矩形的性質可得ABAD=90°,

然后在RtAABO中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

:.OA=OC=；4C,08=OO=；肛

?.?△Q鉆是等邊三角形，：.OA=OB.：.AC=BD,

.?QABCD是矩形；

(2)?.?△OS是等邊三角形，A6=4，

；.OB=AB=4,

:.BD=2OB=8,

由(1)已證：C7ABe0是矩形，.?.NfiM>=90°,

則在RtAABD中，*=ylBlf-AB2=782-42=473-

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的性質等知識點，熟練掌握矩形的判定與

性質是解題關鍵.

19.(2021?湖南衡陽市?中考真題)如圖，點E為正方形ABCD外一點，乙鉆8=90。，將用ZXABE繞A點

逆時針方向旋轉90°得到AAD尸,DF的延長線交BE于H點.

（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；

（2）已知377=7,BC=13,求?！ǖ拈L.

【答案】（1）正方形，理由見解析；（2）17

【分析】

（I）由旋轉的性質可得NAE8=/AF/）=90。，AE=AF,ZDAF=ZEAB,由正方形的判定可證四邊形BEFE

是正方形；

（2）連接8￡＞，利用勾股定理可求BD=JCC）2+CB?=130，再利用勾股定理可求?！钡拈L.

【詳解】

解：（1）四邊形AEHE是正方形，理由如下：

根據(jù)旋轉：ZAEB=ZAFD=90°,AE=AF,ZDAF=ZEAB,

???四邊形ABC。是正方形

二ZDAB=90°

二ZFAE=ZDAB=90°

：.ZAEB=ZAFH=ZFAE=90°

四邊形AF7/E是矩形，

XVAE=AF

矩形AFHE是正方形.

（2）連接BD

；8C=CZ)=13,

在RtMCD中,BD=VCZ)2+CBr=13夜

?.?四邊形AEHE是正方形

NEHD=90。

在Rt/\DHB中，DH-\IBD2-BH2，又BH=7,

:.DH=17.

故答案是17.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質，旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，

等腰三角形的性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

20.（2021?湖南岳陽市?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，AE±BD，CF1BD,垂足分別為點E,

F.

（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加的條件是；

（2）添加了條件后，證明四邊形AEC尸為平行四邊形.

【答案】（1）AF//CE（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析

【分析】

（I）由題意可知AE〃C下，要使得四邊形AEC產(chǎn)為平行四邊形，則使得AF〃CE即可，從而添加適當條

件即可；

（2）根據(jù)（1）的思路，利用平行四邊形的定義證明即可.

【詳解】

（I）顯然，直接添加A/7/CE,可根據(jù)定義得到結果，

故答案為：AF//CE（答案不唯一，符合題意即可）；

（2）證明；：CFYBD.

：.AE//CF，

,/AF//CE，

二四邊形AECF為平行四邊形.

【點睛】

本題考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題關鍵.

21.(2021?湖南懷化市?中考真題)已知：如圖，四邊形A8CD為平行四邊形，點E、A、C、F在同一直線

上，AE=CF.求證：

(1)NADE^CBF

(2)ED//BF

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【分析】

(1)利用平行四邊形的性質得出AD=BC,再證明利用SAS證明兩三角形全等

即可.

(2)利用VADE絲VCBF,得出/E=/凡再利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證明.

【詳解】

(1)證明：?.?四邊形A8CD為平行四邊形

：.AD//HC,AD^BC

ZDAC=ZACB

：.ZEAD=ZFCB

在AAOE和△C8F中，

AE=CF

<READ=NFCB

AD=BC

：.NADE^/CBF(SAS)

(2)VADE^CBF

：.NE=NF

：.ED//BF

【點睛】

本題考查全等三角形的證明、平行四邊形的性質、平行線的判定及性質、靈活進行角的轉換是關鍵.

22.(2021?湖南邵陽市?中考真題)如圖，在正方形ABC。中，對角線AC,3。相交于點。，點E，F(xiàn)是

對角線AC上的兩點，且AE=CF.連接OE，DF，BE,BF.

(1)證明：VADE絲VCBE.

(2)若43=4j5，A￡=2,求四邊形中的周長.

【答案】(1)證明見解析(2)四邊形8瓦中的周長=86

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質可得AO=Z)C=BC=A8,^DAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°,再根據(jù)SAS證明兩三

角形全等即可

(2)先根據(jù)正方形的性質得出ND4C=NOC4=NC4B=N4C8=45。，ACLBD,再根據(jù)勾股定理計算出BE,

再證明四邊形DEBF是菱形,即可得出四邊形BEOF的周長

【詳解】

(1)證明：.??四邊形ABCD是正方形

:.AD=DC=BC=AB,ZDAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°

AD=CB

在△/1￡)￡：和ACSF中<ZDAE=NFCB

AE=CF

：.NADE^/CBF(SAS)

(2)I?四邊形ABC。是正方形

/.ZDAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°,AC1.BD

在Rt^AOB中，N043=45。又AB=472

/.OA=OB=s\nZ0ABAB=-----x4v2=4

2

VA￡=2

???0E=2

在Rt^EOB中，BE=y/OE2+OB2=J4+16=2后

?.?四邊形ABC。是正方形

：.A0=C0,DO=BO

又,；AE=CF

：.E0=F0,XDO=BO

，四邊形DEBF是平行四邊形

又?.?ACLLB。，即

.?.四邊形。&3尸是菱形

BE=DE=DF=BF=2后

二四邊形BEDF的周長=4x275=875

【點睛】

本題考查全等三角形的證明、正方形的性質、平行四邊形的判定、菱形的判定、勾股定理、特殊銳角三角

函數(shù)值、熟練掌握特殊平行四邊形的性質及判定是解題的關鍵

23.（202卜湖南張家界市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與8。相交于點O,NAQB=60°,

對角線AC所在的直線繞點。順時針旋轉角a（O°<a<120°）,所得的直線I分別交AD，BC于點E,F.

（1）求證：AAOE^ACOF；

（2）當旋轉角a為多少度時，四邊形AFCE為菱形？試說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）90°,理由見解析

【分析】

(1)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線相交，對頂角相等，且AO=CO,可以證明兩三角形全等;

(2)根據(jù)平行四邊形對角線垂直即可說明.

【詳解】

(1)證明：?.?四邊形ABCO是矩形，

AD//BC,AO=CO,

:.ZAEO=NCFO,

又???ZAOE=NCOF，

：.^AOE^COF(AAS).

(2)當a=90°時四邊形AFCE為菱形，

理由：

OE=OF,

又：49=CO，

二四邊形AFCE為平行四邊形，

又,:NAOE=90°，

二四邊形AFCE為菱形.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判斷定理，菱形的判定定理，解題的關鍵是：根據(jù)兩直線平行的性質得出角之間