云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．22．點(diǎn)、、、在同一個(gè)球的球面上，，.若四面體的體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．3．一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．404．已知，那么()A． B． C． D．5．在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足，則的形狀為（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形6．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列，且（），若，，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線9．設(shè)，,則的值可表示為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列中，，，則________.12．有一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱，點(diǎn)，分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離不大于1的概率是________.13．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．14．_________________．15．已知三點(diǎn)、、共線，則a=_______.16．等比數(shù)列中首項(xiàng)，公比，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生第一學(xué)期數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)效果.從高三第一學(xué)期期末考試成績(jī)中隨機(jī)抽取50名文科考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，分成6組制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試?yán)么祟l率分布直方圖求的值及這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)的估計(jì)值；（2）該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，從被抽取的成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)中選出3位作為代表進(jìn)行座談，若已知被抽取的成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)中男女比例為，求至少有一名女生參加座談的概率.18．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．19．已知無(wú)窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過的最大整數(shù)，即.（1）直接寫出數(shù)列，的前4項(xiàng)，使得數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，．（1）求證：且；（2）設(shè)向量，，且，求實(shí)數(shù)的值．21．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AB上.（1）當(dāng)點(diǎn)M為AB中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；（2）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)不等式組畫出可行域，數(shù)形結(jié)合解決問題.【題目詳解】不等式組確定的可行域如下圖所示：因?yàn)榭苫?jiǎn)為與直線平行，且其在軸的截距與成正比關(guān)系，故當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過和的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查常規(guī)線性規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題，注意數(shù)形結(jié)合即可.2、D【解題分析】

根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時(shí)體積最大，可得與面垂直時(shí)體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．【題目詳解】根據(jù)題意知，、、三點(diǎn)均在球心的表面上，且，，，則的外接圓半徑為，的面積為，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時(shí)體積最大，所以，當(dāng)與面垂直時(shí)體積最大，最大值為，，設(shè)球的半徑為，則在直角中，，即，解得，因此，球的表面積為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體體積取最大值，是解答的關(guān)鍵．3、B【解題分析】分析：要求圓柱的軸截面的面積，需先知道圓柱的軸截面是什么圖形，圓柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長(zhǎng)、寬分別為，根據(jù)矩形面積公式可得結(jié)果.詳解：因?yàn)閳A柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長(zhǎng)是母線長(zhǎng)，寬為底面圓的直徑，所以軸截面的面積為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查圓柱的性質(zhì)以及圓柱軸截面的面積，屬于簡(jiǎn)單題.4、C【解題分析】試題分析：由，得.故選B．考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式．5、A【解題分析】

由正弦定理進(jìn)行邊化角，再由二倍角公式可得，則或，所以或，即可判斷三角形的形狀.【題目詳解】由正弦定理得，則，因此在中，或，即或.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，判斷三角形形狀，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】由題意可設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,選B.7、B【解題分析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的圖象向左平移φ（0＜φ＜）個(gè)單位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．為偶函數(shù)，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因?yàn)?，故得到，k=-1,的值為.故答案為B．8、B【解題分析】

本題首先可以根據(jù)題目所給出的圖像得出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)平移的相關(guān)性質(zhì)以及函數(shù)的解析式得出函數(shù)的解析式，最后通過函數(shù)的解析式求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得出結(jié)果．【題目詳解】由函數(shù)的圖像可知函數(shù)的周期為、過點(diǎn)、最大值為3，所以,，，，，所以取時(shí)，函數(shù)的解析式為，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)圖像的變換，函數(shù)向左平移個(gè)單位所得到的函數(shù)，考查推理論證能力，是中檔題．9、A【解題分析】

由，可得到，然后根據(jù)反余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查反余弦函數(shù)的運(yùn)用，熟練掌握反余弦函數(shù)的概念及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.10、A【解題分析】

再遞推一步，兩個(gè)等式相減，得到一個(gè)等式，進(jìn)行合理變形，可以得到一個(gè)等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出，選出答案即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)得：，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此有，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，考查了等比數(shù)列的判斷以及通項(xiàng)公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由遞推公式可以求出，可以歸納出數(shù)列的周期，從而可得到答案.【題目詳解】由，，.,可推測(cè)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.所以。故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)量的遞推公式同時(shí)考查數(shù)列的周期性，屬于中檔題.12、【解題分析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點(diǎn)到點(diǎn)，的距離不大于1的概率；【題目詳解】解：由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離都不大于1的點(diǎn)組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關(guān)鍵是明確滿足題意的測(cè)度為體積比．13、【解題分析】

由得，將轉(zhuǎn)化為，整理，利用基本不等式即可求解?！绢}目詳解】因?yàn)?，所?所以當(dāng)且僅當(dāng)，即：時(shí)，等號(hào)成立。所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了構(gòu)造法及轉(zhuǎn)化思想，考查基本不等式的應(yīng)用及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。14、3【解題分析】

分式上下為的二次多項(xiàng)式,故上下同除以進(jìn)行分析.【題目詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式型多項(xiàng)式的極限問題，注意：當(dāng)時(shí),15、【解題分析】

由三點(diǎn)、、共線，則有，再利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：由、、，則,,又三點(diǎn)、、共線，則，則，解得：，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.16、9【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列求和公式，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后得到關(guān)于和的等式，結(jié)合，討論出和的值，得到答案.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中首項(xiàng)，公比，所以成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，共項(xiàng)，所以整理得因?yàn)樗钥傻茫仁接疫厼檎麛?shù)，故等式左邊也需要為整數(shù)，則應(yīng)是的約數(shù)，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，所以，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列求和的基本量運(yùn)算，涉及分類討論的思想，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；平均數(shù)的估計(jì)值（2）【解題分析】

（1）根據(jù)各小矩形面積和為1可求得的值；由頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的求法即可求解.（2）根據(jù)頻率分布直方圖先求得成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)人數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得男生4人，女生2人，設(shè)男生分別為；女生分別為，利用列舉法可得抽取3人的所有情況，進(jìn)而得至少有一名女生的情況，即可由古典概型概率公式求解.【題目詳解】（1）由題，解得，由頻率分布直方圖，得這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)的估計(jì)值為：（2）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘耐瑢W(xué)有人，由比例可知男生4人，女生2人，記男生分別為；女生分別為，則從6名同學(xué)中選出3人的所有可能如下：共20種，其中不含女生的有4種，設(shè)至少有一名女生參加座談為事件，則至少有一名女生參加座談的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)求法，分層抽樣及各組人數(shù)的確定方法，列舉法求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解題分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、分組求和法．19、（1）的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）；（3）證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項(xiàng)，盡量選用整數(shù)計(jì)算方便；（2）分別考慮，的前項(xiàng)的規(guī)律，然后根據(jù)計(jì)算的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【題目詳解】（1）由的前4項(xiàng)為：2，3，4，5，選、的前項(xiàng)為正整數(shù)：的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）將的前項(xiàng)列舉出：；將的前項(xiàng)列舉出：；則；（3）充分性：取，此時(shí)，將的前項(xiàng)列舉出：，將前項(xiàng)列出：，此時(shí)的前項(xiàng)為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿足；必要性：設(shè)，，當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以有：，且，所以；，，不妨令，則有如下不等式：；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；所以必有：，故：必要性滿足；綜上：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的定義以及證明，難度困難.對(duì)于充分必要條件的證明，需要對(duì)充分性和必要性同時(shí)分析，不能取其一分析；新定義的數(shù)列問題，可通過定義先理解定義的含義，然后再分析問題.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量模的方法以及向量的數(shù)量積即可求解.（2）根據(jù)向量垂直，可得數(shù)量積等于，進(jìn)而解方程即可求解.【題目詳解】（1）證明：，，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，由?）得：所以，解得．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量坐標(biāo)求向量