工程數(shù)學(xué)概率論

工程數(shù)學(xué)概率論匯報(bào)人：202X-01-05概率論基礎(chǔ)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)向量與聯(lián)合概率分布數(shù)字特征與矩大數(shù)定律與中心極限定理參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)貝葉斯推斷contents目錄01概率論基礎(chǔ)概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，通常用P表示。概率的取值范圍在0到1之間，其中0表示事件不可能發(fā)生，1表示事件一定會(huì)發(fā)生。概率的定義概率具有一些基本性質(zhì)，包括概率的規(guī)范性、可加性和有限可加性。規(guī)范性是指一個(gè)不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1?？杉有允侵竷蓚€(gè)互斥事件的并的概率等于它們概率的和。有限可加性是指對(duì)任意有限個(gè)互斥事件，它們的并的概率等于它們概率的和。概率的性質(zhì)概率的定義與性質(zhì)條件概率條件概率是指在某個(gè)已知事件B發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。條件概率滿足公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。獨(dú)立性獨(dú)立性是指兩個(gè)事件之間沒有相互影響，一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率。如果兩個(gè)事件A和B是獨(dú)立的，則P(A∩B)=P(A)P(B)。條件概率與獨(dú)立性貝葉斯定理：貝葉斯定理是概率論中的一個(gè)重要定理，用于計(jì)算在已知某些其他信息的情況下，某個(gè)事件發(fā)生的概率。貝葉斯定理的公式為：P(A|B)=(P(B|A)P(A))/P(B)。其中，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率；P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；P(A)是事件A發(fā)生的概率；P(B)是事件B發(fā)生的概率。貝葉斯定理02隨機(jī)變量及其分布03常見的離散隨機(jī)變量常見的離散隨機(jī)變量包括二項(xiàng)式隨機(jī)變量、泊松隨機(jī)變量等。01離散隨機(jī)變量定義離散隨機(jī)變量是在一定范圍內(nèi)可以一一列舉出來的隨機(jī)變量，其取值是離散的。02離散隨機(jī)變量的概率分布離散隨機(jī)變量的概率分布是指每個(gè)可能取值的概率，通常用概率質(zhì)量函數(shù)表示。離散隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量是在一定范圍內(nèi)可以連續(xù)取值的隨機(jī)變量，其取值是連續(xù)的。連續(xù)隨機(jī)變量定義連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布通常用概率密度函數(shù)表示，其值域覆蓋整個(gè)可能的取值范圍。連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布常見的連續(xù)隨機(jī)變量包括正態(tài)隨機(jī)變量、指數(shù)隨機(jī)變量等。常見的連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)的定義隨機(jī)變量的函數(shù)是指對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算后得到的新的隨機(jī)變量。常見的隨機(jī)變量的函數(shù)常見的隨機(jī)變量的函數(shù)包括隨機(jī)變量的和、積、商等。隨機(jī)變量的函數(shù)的性質(zhì)隨機(jī)變量的函數(shù)的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、單調(diào)性質(zhì)、可逆性質(zhì)等。隨機(jī)變量的函數(shù)03隨機(jī)向量與聯(lián)合概率分布隨機(jī)向量在概率論中，隨機(jī)向量是一個(gè)包含多個(gè)隨機(jī)變量的集合，每個(gè)隨機(jī)變量都有自己的概率分布。多元隨機(jī)變量當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)有多個(gè)可能的結(jié)果時(shí)，描述試驗(yàn)結(jié)果的量被稱為多元隨機(jī)變量。聯(lián)合概率分布描述多元隨機(jī)變量之間相互關(guān)聯(lián)的概率分布。隨機(jī)向量的概念030201聯(lián)合概率分布函數(shù)描述隨機(jī)向量的所有可能結(jié)果的概率分布函數(shù)。條件概率分布在給定某些變量的條件下，其他變量的概率分布。邊緣概率分布在聯(lián)合概率分布中，某些變量的概率分布可以通過其他變量的概率分布計(jì)算得出。聯(lián)合概率分布條件概率分布在給定某些變量的條件下，其他變量的概率分布。條件獨(dú)立當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量在給定第三個(gè)隨機(jī)變量的條件下相互獨(dú)立時(shí)，這兩個(gè)隨機(jī)變量被稱為條件獨(dú)立的。邊緣概率分布在多元隨機(jī)變量中，某些變量的概率分布可以通過其他變量的概率分布計(jì)算得出。邊緣概率分布與條件概率分布04數(shù)字特征與矩期望值是隨機(jī)變量所有可能取值的概率加權(quán)和，表示隨機(jī)變量取值的平均水平。期望值定義期望值具有線性性質(zhì)、可加性和可交換性等性質(zhì)，這些性質(zhì)在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。期望值的性質(zhì)期望值的計(jì)算公式為$E(X)=sum_{i=1}^{n}x_ip_i$，其中$x_i$是隨機(jī)變量$X$的可能取值，$p_i$是對(duì)應(yīng)的概率。期望值的計(jì)算期望值方差定義方差是隨機(jī)變量與其期望值之差的平方的期望值，表示隨機(jī)變量取值與其期望值的偏離程度。方差性質(zhì)方差具有非負(fù)性、可加性、可分解性和齊次性等性質(zhì)。協(xié)方差定義協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量的取值與其各自期望值之差的乘積的期望值，表示兩個(gè)隨機(jī)變量取值之間的線性相關(guān)程度。方差與協(xié)方差矩的定義矩是隨機(jī)變量的各階原點(diǎn)矩，表示隨機(jī)變量取值的分布形態(tài)和離散程度。常用矩常用的一階矩是期望值，二階矩是方差，三階矩是偏度，四階矩是峰度。高階矩高階矩是指隨機(jī)變量的高階原點(diǎn)矩，如三階矩、五階矩等，用于描述隨機(jī)變量取值的分布形態(tài)和離散程度。矩與高階矩05大數(shù)定律與中心極限定理當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨于無窮時(shí)，隨機(jī)事件的頻率趨于該事件的概率。切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨于無窮時(shí)，某一獨(dú)立隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率趨于該事件發(fā)生的概率。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨于無窮時(shí)，一組獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的算術(shù)平均值以概率1收斂于這組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。大數(shù)定律中心極限定理當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨于無窮時(shí)，一組獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的算術(shù)平均值依分布收斂于正態(tài)分布。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)$X_1,X_2,ldots,X_n$為相互獨(dú)立且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的隨機(jī)變量序列，則它們的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)化變量依概率收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。列維-林德伯格中心極限定理強(qiáng)大數(shù)定律強(qiáng)大數(shù)定律：設(shè)$X_1,X_2,\ldots,X_n$為相互獨(dú)立且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的隨機(jī)變量序列，則當(dāng)$n$趨于無窮時(shí)，$\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}$以概率1收斂于這組隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。06參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)基于樣本統(tǒng)計(jì)量，給出總體參數(shù)可能落在某一區(qū)間的概率。區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間誤差限01020403區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度，表示估計(jì)的精度。用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，如樣本均值、樣本比例等。根據(jù)置信水平確定的區(qū)間，用于估計(jì)總體參數(shù)的取值范圍。點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)樣本信息，對(duì)總體參數(shù)或分布形式做出推斷。零假設(shè)與對(duì)立假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)中的兩種假設(shè)，零假設(shè)通常為無差異或無關(guān)系。顯著性水平假設(shè)檢驗(yàn)中判斷差異是否顯著的臨界值，如5%或1%。拒絕域與接受域根據(jù)顯著性水平確定的決策區(qū)域。假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)只考慮單方向的差異，如只關(guān)心總體均值是否高于或低于某個(gè)值。雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)考慮兩個(gè)方向的差異，即同時(shí)關(guān)心總體均值是否高于或低于某個(gè)值。單側(cè)與雙側(cè)的決策根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的檢驗(yàn)方式，單側(cè)檢驗(yàn)通常用于關(guān)注某一方向的差異，雙側(cè)檢驗(yàn)則更全面。單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)與雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)07貝葉斯推斷在觀察任何數(shù)據(jù)之前，對(duì)未知參數(shù)的初始信念。先驗(yàn)概率在觀察數(shù)據(jù)后，對(duì)未知參數(shù)的更新信念。后驗(yàn)概率描述數(shù)據(jù)與未知參數(shù)之間關(guān)系的函數(shù)。似然函數(shù)010203貝葉斯推斷的基本概念根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，確定未知參數(shù)的先驗(yàn)分布。確定先驗(yàn)分布根據(jù)數(shù)據(jù)和模型，計(jì)算似然函數(shù)。計(jì)算似然函數(shù)使用貝葉斯定理，將先驗(yàn)分布與似然函數(shù)結(jié)合，得到后驗(yàn)分布。更新信念基于后驗(yàn)分布進(jìn)行決策或預(yù)測(cè)。決策貝葉斯推斷的步驟信號(hào)