空間向量及其運(yùn)算+第1課時(shí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.1.1空間向量及其運(yùn)算第1課時(shí)新授課1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的表示方法.2.學(xué)會(huì)空間向量的線性運(yùn)算及它們的運(yùn)算律.3.能用空間向量的線性運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.向量的定義零向量單位向量相等向量向量平行(向量共線)始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量，記為，模為0，即||=0.

大小相等，方向相同的向量.如果兩個(gè)非零向量的方向相同或相反.規(guī)定：

與任意向量共線.在平面內(nèi)，既有大小又有方向的量稱為向量(也稱矢量)，向量的大小也稱為向量的模(或長(zhǎng)度).回顧平面向量的相關(guān)概念

AB

思考1：觀察上述平面向量的有關(guān)概念與約定，能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說(shuō)出推廣后的不同之處；如果不能，說(shuō)明理由.

只要去掉“在平面內(nèi)”的限定，平面向量的概念與約定都可以原封不動(dòng)地推廣到空間中.空間中，既有大小又有方向的量稱為空間向量(簡(jiǎn)稱向量).①大小相等,方向相同的向量稱為相等的向量；②方向相同或相反的兩個(gè)非零向量互相平行(也稱共線)，BADCA1C1D1B1如平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1,BB1,CC1,DD1互相平行且長(zhǎng)度相等，因此概念生成兩個(gè)向量

平行，記為ABDCA1C1D1B1空間中的向量除了共線之外，還有共面的情形

一般地，空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過(guò)平移之后，都能在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這些向量共面；否則，稱這些向量不共面.直線AA1，B1C1異面，但所以

共面.而

不共面

空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，但空間中任意三個(gè)向量不一定共面.

思考2：回憶平面向量的加法運(yùn)算中，該如何定義空間向量的加法?空間向量加法運(yùn)算與平面向量加法運(yùn)算有何不同？三角形法則平行四邊形法則

ABC

D

空間向量的加法運(yùn)算給定兩個(gè)向量知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的加法運(yùn)算

OCBA有限個(gè)空間向量的和，首尾相連.和向量=“封口向量”向量加法運(yùn)算律：對(duì)任意向量交換律：結(jié)合律：例1

如圖所示是一個(gè)平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡(jiǎn)解:因?yàn)榈酌鍭BCD是一個(gè)平行四邊形，所以又因?yàn)橐虼巳齻€(gè)不共面的向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的體對(duì)角線所表示的向量.

則

等于什么？知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的線性運(yùn)算

思考3：結(jié)合平面向量中的方法，如圖所示的四棱錐O-ABCD中，記向量

是向量

與

的差(也稱差向量).?同平面中的情形一樣，給定一個(gè)空間向量，把與這個(gè)向量方向相反大小相等的向量稱為它的相反向量，向量的相反向量記作.空間向量的減法也可以看成向量的加法，即因此，的相反向量是,而且.因?yàn)榱阆蛄康氖键c(diǎn)與終點(diǎn)相同，所以一個(gè)向量減去另一個(gè)向量，等于第一個(gè)向量加上第二個(gè)向量的相反向量.同平面中的情形一樣，給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，規(guī)定它們的乘積是一個(gè)空間向量，記作λa,其中：(1)當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：①當(dāng)λ>0時(shí)，與a的方向相同：②當(dāng)λ<0時(shí)，與a的方向相反.(2)當(dāng)λ=0或a=0時(shí)，λa=0.對(duì)于實(shí)數(shù)λ與μ，向量a與b，有如下運(yùn)算律：λa+μa=(λ+μ)a，λ(a+b)=λa+λb.上述實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量.

例2

設(shè)AB是空間中任意一條線段，O是空間中任意一點(diǎn)，求證：M為AB中點(diǎn)的充要條件是證明

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)所以結(jié)論成立.ABOM例3如圖所示三棱錐A-BCD中，O為CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)并在圖中作出表示化簡(jiǎn)結(jié)