2024屆北京市西城區(qū)北京市第四中學數(shù)學高一下期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)北京市第四中學數(shù)學高一下期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，三個頂點分別為A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），點P（x，y）在△ABC的內部及其邊界上運動，則y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．已知函數(shù)，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．63．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內的一組基底；D．若，都是單位向量，則.4．已知向量，且，則的值為（）A． B． C． D．5．兩條平行直線與間的距離等于（）A． B．2 C． D．46．數(shù)列的通項，其前項和為，則為（）A． B． C． D．7．在中，已知，且，則的值是（）A． B． C． D．8．記等差數(shù)列前項和，如果已知的值，我們可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值9．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數(shù)量積的最小值為（）A． B． C． D．10．某次運動會甲、乙兩名射擊運動員成績如右圖所示，甲、乙的平均數(shù)分別為為、，方差分別為，，則（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．定義運算，如果，并且不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的范圍是______.12．已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為______.13．設常數(shù)，函數(shù)，若的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則_______.14．在某校舉行的歌手大賽中，7位評委為某同學打出的分數(shù)如莖葉圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為______.15．已知無窮等比數(shù)列的所有項的和為，則首項的取值范圍為_____________.16．在等比數(shù)列{an}中，a1三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．關于的不等式，其中為大于0的常數(shù)。（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式的解集為，且中恰好含有三個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．已知數(shù)列，.（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，當時，求的值.19．設函數(shù)，其中，.（1）設，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，求的值；（2）若將的圖象向左平移個單位，或者向右平移個單位得到的圖象都過坐標原點，求所有滿足條件的和的值；（3）設，，已知函數(shù)在區(qū)間上的所有零點依次為，且，，求的值.20．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a3=9，a（1）求{a（2）設數(shù)列{bn}滿足bn=1n(21．已知是等差數(shù)列，設數(shù)列的前n項和為，且，，又，.（1）求和的通項公式；（2）令，求的前n項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)線性規(guī)劃的知識求解．【題目詳解】根據(jù)線性規(guī)劃知識，的最小值一定在的三頂點中的某一個處取得，分別代入的坐標可得的最小值是．故選B．【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎題．2、D【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質，對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對應的點是最值點，然后再對應圖象取值.【題目詳解】，因為正弦函數(shù)對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點，因為，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.3、C【解題分析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【題目詳解】對于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，如果兩個非零向量滿足，則，若存在零向量，結論不一定成立，故B錯誤；對于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內的一組基底，故C正確；對于D，若都是單位向量，且方向相同時，；若方向不相同，結論不成立，所以D錯誤．故選C．【題目點撥】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎題．4、B【解題分析】

由向量平行可構造方程求得結果.【題目詳解】，解得：故選：【題目點撥】本題考查根據(jù)向量平行求解參數(shù)值的問題，關鍵是明確兩向量平行可得.5、C【解題分析】

先把直線方程中未知數(shù)的系數(shù)化為相同的，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得結果．【題目詳解】解：兩條平行直線與間，即兩條平行直線與，故它們之間的距離為，故選：．【題目點撥】本題主要考查兩條平行直線間的距離公式應用，注意未知數(shù)的系數(shù)必需相同，屬于基礎題．6、A【解題分析】分析：利用二倍角的余弦公式化簡得，根據(jù)周期公式求出周期為，從而可得結果.詳解：首先對進行化簡得，又由關于的取值表：123456可得的周期為，則可得，設，則，故選A．點睛：本題考查二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的周期性以及等差數(shù)列的求和公式，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力以及計算能力，求求解過程要細心，注意避免計算錯誤.7、C【解題分析】

由正弦定理邊角互化思想得，由可得出的三邊長，可判斷出三角形的形狀，由此可得出的值，再利用平面向量數(shù)量積的定義可計算出的值.【題目詳解】，，，，，，為等腰直角三角形，.因此，，故選C.【題目點撥】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查了平面向量數(shù)量積定義的計算，在求平面向量數(shù)量積的計算時，要注意向量的起點要一致，考查運算求解能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由a5+a21=2a1+24d的值為已知，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可得出結論．【題目詳解】設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值為已知，∴a1+12d的值為已知，∵∴我們可以求得S25的值．故選：C．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】

根據(jù)條件可得，，，然后進行數(shù)量積的運算即可.【題目詳解】根據(jù)條件，，，，當時，取最小值.故選：B【題目點撥】本題考查了向量數(shù)量積的運算，同時考查了二次函數(shù)的最值，屬于基礎題.10、C【解題分析】試題分析：,;,,故選C.考點：莖葉圖.【易錯點晴】本題考查學生的是由莖葉圖中的數(shù)據(jù)求平均數(shù)和方差,屬于中檔題目.由莖葉圖觀察數(shù)據(jù),用莖表示成績的整數(shù)環(huán)數(shù),葉表示小數(shù)點后的數(shù)字,利用平均值公式及標準差公式求出兩個樣本的平均數(shù)和方差,一般平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的平均水平,平均數(shù)越大,則該名運動員的平均成績越高;方差式用來描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的指標,方差越小,說明數(shù)據(jù)波動越小,即該名運動員的成績越穩(wěn)定.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先由題意得到，根據(jù)題意求出的最大值，即可得出結果.【題目詳解】由題意得到，其中，因為，所以，又不等式對任意實數(shù)x恒成立，所以.故答案【題目點撥】本題主要考查由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記三角函數(shù)的性質即可，屬于常考題型.12、【解題分析】

先根據(jù)平均數(shù)計算出的值，再根據(jù)方差的計算公式計算出這組數(shù)的方差.【題目詳解】依題意.所以方差為.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查平均數(shù)和方差的有關計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.13、1【解題分析】

反函數(shù)圖象過（2，1），等價于原函數(shù)的圖象過（1，2），代點即可求得．【題目詳解】依題意知：f（x）＝lg（x+a）的圖象過（1，2），∴l(xiāng)g（1+a）＝2，解得a＝1．故答案為：1【題目點撥】本題考查了反函數(shù)，熟記其性質是關鍵，屬基礎題．14、2【解題分析】

去掉分數(shù)后剩余數(shù)據(jù)為22,23,24,25,26，先計算平均值，再計算方差.【題目詳解】去掉分數(shù)后剩余數(shù)據(jù)為22,23,24,25,26平均值為：方差為：故答案為2【題目點撥】本題考查了方差的計算，意在考查學生的計算能力.15、【解題分析】

設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出或，根據(jù)無窮等比數(shù)列的和得出與所滿足的關系式，由此可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出或，由于無窮等比數(shù)列的所有項的和為，則，.當時，則，此時，；當時，則，此時，.因此，首項的取值范圍是.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用無窮等比數(shù)列的和求首項的取值范圍，解題的關鍵就是結合題意得出首項和公比的關系式，利用不等式的性質或函數(shù)的單調性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、64【解題分析】由題設可得q3=8?q=3，則a7三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）關于的不等式的解集為，得出判別式△，且，由此求出的取值范圍；（2）由題意知判別式△，設，利用對稱軸以及（1），，得出不等式的解集中恰好有三個整數(shù)，等價于，由此求出的取值范圍．【題目詳解】（1）由題意得一元二次不等式對應方程的判別式，結合，解得.（2）由題意得一元二次不等式對應方程的判別式，解得.又，所以.設，其對稱軸為.注意到，，對稱軸，所以不等式解集中恰好有三個整數(shù)只能是1、2、3，此時中恰好含有三個整數(shù)等價于：，解得.【題目點撥】本題考查了不等式的解法與應用問題．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式解方程可得首項和公比，即可得到所求通項；（2）數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式解方程可得首項和公差，可得數(shù)列的通項，進而得到，再由指數(shù)的運算性質和等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求值．【題目詳解】解：（1）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，，可得，，解得，，可得，；（2）數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，，可得，，解得，，則，，，即可得，可得，解得或（舍去）．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2），；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)對稱軸對應三角函數(shù)最值以及計算的值；（2）根據(jù)條件列出等式求解和的值；（3）根據(jù)圖象利用對稱性分析待求式子的特點，然后求值.【題目詳解】（1），因為是一條對稱軸，對應最值；又因為，所以，所以，則；（2）由條件知：，可得，則，又因為，所以，則，故有：，當為奇數(shù)時，令，所以，當為偶數(shù)時，令，所以，當時，，又因為，所以；（3）分別作出（部分圖像）與圖象如下：因為，故共有個；記對稱軸為，據(jù)圖有：，，，，，則，令，則，又因為，所以，由于與僅在前半個周期內有交點，所以，則.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)圖象與性質的綜合運用，難度較難.對于三角函數(shù)零點個數(shù)問題，可將其轉化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，通過數(shù)形結合去解決問題會更方便.20、（1）an=4n-3【解題分析】

（1）根據(jù)條件列方程組，求出首項和公差即可得出通項公式；（2）利用裂項相消法求和．【題目詳解】（1）設等差數(shù)列an的公差為d(d≠0)a1解得d=4或d=0（舍去），a1∴a（2）∵b∴S=1【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式