2024屆廣東省河源市連平縣附城中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆廣東省河源市連平縣附城中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）.A． B． C． D．2．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3．如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中“同簇函數(shù)”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④4．若正實(shí)數(shù)，滿足，則有下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．6．已知向量，向量，則（）A． B． C． D．7．若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中也成等差數(shù)列的是()A． B． C． D．8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．9．已知，則().A． B． C． D．10．如圖所示，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列，若，則________________．12．關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)_____．13．設(shè)α為第二象限角，若sinα=3514．已知數(shù)列前項(xiàng)和，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式______.15．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．16．若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.18．中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.19．已知向量，．（I）若，共線，求的值．（II）若，求的值；（III）當(dāng)時(shí)，求與夾角的余弦值．20．在中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，，,已知.(1)求的值；(2)若，，求的面積．21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，的解集為，求的最小値.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：根據(jù)初等函數(shù)的圖象，可得函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．解：由題意，A的底數(shù)大于0小于1、C是圖象在一、三象限的單調(diào)減函數(shù)、D是余弦函數(shù)，，在（0，+∞）上不單調(diào)，B的底數(shù)大于1，在（0，+∞）上單調(diào)增，故在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù),故選B考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，掌握初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．2、D【解題分析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題．【題目詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元法的使用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題.3、C【解題分析】試題分析：對(duì)于①中的函數(shù)而言，，對(duì)于③中的函數(shù)而言，，由“同簇函數(shù)”的定義而知，互為“同簇函數(shù)”的若干個(gè)函數(shù)的振幅相等，將②中的函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新函數(shù)解析式為，故選C.考點(diǎn)：1.新定義；2.三角函數(shù)圖象變換4、C【解題分析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)推理判斷，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正實(shí)數(shù)是正數(shù)，且，①中，可得，所以是錯(cuò)誤的；②中，由，可得是正確的；③中，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可得是正確的；④中，因?yàn)?，所以是正確的，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，合理推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

由關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求得，再結(jié)合長(zhǎng)度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

設(shè)，根據(jù)系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解【題目詳解】設(shè)，即，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查向量共線的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需任意相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為定值即可．【題目詳解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，與n有關(guān)系，因此不是等差數(shù)列．B:==與n有關(guān)系，因此不是等差數(shù)列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d為常數(shù)，仍然為等差數(shù)列；D:當(dāng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正數(shù)、公差為負(fù)數(shù)時(shí)，{|an|}不是等差數(shù)列；故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

由以及，結(jié)合二倍角的正切公式，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式可得答案.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據(jù)基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.9、C【解題分析】

分子分母同時(shí)除以，利用同角三角函數(shù)的商關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，于是有，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的商關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、A【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，由三角形面積公式計(jì)算可得△DEF和△ACF的面積，進(jìn)而可得△ABC的面積，由幾何概型公式計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，為等邊三角形，則，則，中，，其面積，中，，，其面積，則的面積，故在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型中的面積類型，基本方法是：分別求得構(gòu)成事件A的區(qū)域面積和試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積，兩者求比值，即為概率．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由圖乙可得：第行有個(gè)數(shù)，且第行最后的一個(gè)數(shù)為，從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，注意到，，據(jù)此確定n的值即可.【題目詳解】分析圖乙，可得①第行有個(gè)數(shù)，則前行共有個(gè)數(shù)，②第行最后的一個(gè)數(shù)為，③從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，又由，，則，則出現(xiàn)在第行，第行第一個(gè)數(shù)為，這行中第個(gè)數(shù)為，前行共有個(gè)數(shù)，則為第個(gè)數(shù)．故填．【題目點(diǎn)撥】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．12、【解題分析】

首先從方程看是不能直接解出這個(gè)方程的根的，因此可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)，從函數(shù)的奇偶性出發(fā)?！绢}目詳解】設(shè)，則∴為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又依題意只有一個(gè)零點(diǎn)，故此零點(diǎn)只能是，所以，∴，∴，∴，∴，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)奇偶性以及零點(diǎn)與方程的關(guān)系，方程的根就是對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，本題屬于基礎(chǔ)題。13、-【解題分析】

先求出cosα，再利用二倍角公式求sin2α【題目詳解】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，若sinα=所以cosα=所以sin2α故答案為-【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由，n≥2時(shí)，兩式相減，可得{an}的通項(xiàng)公式；【題目詳解】∵Sn＝2n2（n∈N*），∴n＝1時(shí)，a1＝S1＝2；n≥2時(shí)，an＝Sn﹣＝4n﹣2，a1＝2也滿足上式，∴an＝4n﹣2故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,代入條件化簡(jiǎn)得和的關(guān)系,再代入所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【題目詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由,得,得,.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ).16、；【解題分析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【題目詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式能成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）【解題分析】

（1）對(duì)x分類討論解不等式得解；（2）由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.所以不等式解集為或.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由正弦定理化邊為角，再由同角間的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可求得；（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面積最大值．【題目詳解】（1）∵，∴，又，∴，即，∴；（2）由（1），∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴，，最大值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理和余弦定理，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查基本不等式求最值．本題主要是考查的公式較多，掌握所有公式才能正確解題．本題屬于中檔題．19、（I）;（II）;（III）【解題分析】

（1）根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，則有，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根據(jù)題意，由x的值可得的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得、和的值，結(jié)合，計(jì)算可得答案．解：（I）∵與共線，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．20、(1)2(2)【解題分析】

（1）在題干等式中利用邊化角思想，結(jié)合兩角和的正弦公式、內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式計(jì)算出，再利用角化邊的思想可得出的比值；（2）由（1）中的結(jié)果，結(jié)合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，最后利用三角形的面積公式求出的面積．【題目詳解】（1）由正弦定理得，則，所以，即，化簡(jiǎn)可得．又，所以．所以，即.（2）由（1）知．由余弦定理及，，得，．解得，因此因?yàn)椋宜砸虼耍绢}目點(diǎn)撥】在解三角形的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知元素的類型合理選擇正弦定理與余弦定理解