小學六年級奧數(shù)舉一反三

第1講定義新運算一、知識要點定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運算。解答定義新運算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴格按照新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四那么運算算式進行計算。定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、△、⊙等，這是與四那么運算中的“＋、－、×、÷〞不同。新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種運算定律的。二、精講精練【例題1】假設(shè)a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*〔5*4〕。13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=265*4=〔5+4〕+〔5-4〕=1013*〔5*4〕=13*10=〔13+10〕+〔13-10〕=26【思路導航】這題新運算被定義為：a*b等于a和b兩數(shù)之和加上兩數(shù)之差。這里13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=265*4=〔5+4〕+〔5-4〕=1013*〔5*4〕=13*10=〔13+10〕+〔13-10〕=26練習1：1.將新運算“*〞定義為：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。2.設(shè)a*b=a2+2b，那么求10*6和5*〔2*8〕。3△(4△3△(4△6)＝3△【4×6－〔4+6〕÷2】＝3△19＝4×19－〔3+19〕÷2＝76－11＝65【例題2】設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。【思路導航】根據(jù)定義先算4△6。在這里“△〞是新的運算符號。練習2：1．設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定p△q＝4×q－〔p+q〕÷2，求5△〔6△4〕。2．設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定p△q＝p2+〔p－q〕×2。求30△〔5△3〕。3．設(shè)M、N是兩個數(shù)，規(guī)定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4?！纠}3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________?！舅悸穼Ш健拷?jīng)過觀察，可以發(fā)現(xiàn)此題的新運算“*〞被定義為。因此7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104207*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420練習3：1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。2．規(guī)定，那么8*5=________。3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么〔6*3〕÷〔2*6〕=________。A=〔1/⑥－1/⑦〕÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1=〔6×7×8〕/〔5×6×7〕－1=1又3/5－1=3/5【例題4】規(guī)定②=1A=〔1/⑥－1/⑦〕÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1=〔6×7×8〕/〔5×6×7〕－1=1又3/5－1=3/5【思路導航】這題的新運算被定義為：@=〔a－1〕×a×〔a＋1〕，據(jù)此，可以求出1/⑥－1/⑦=1/〔5×6×7〕－1/〔6×7×8〕，這里的分母都比擬大，不易直接求出結(jié)果。根據(jù)1/⑥－1/⑦=1/⑦×A，可得出A=(1/⑥－1/⑦)÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1。即練習4：1．規(guī)定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。2．規(guī)定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。4⊙1＝4×4-2×1+1/2×44⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16＝12x－3212x－32=3412x=66x＝5.5【思路導航】先求出小括號中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根據(jù)x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16=12x－32，然后解方程12x－32=34，求出x的值。列算式為練習5：1．設(shè)a⊙b=3a－2b，x⊙〔4⊙1〕＝7求x。2．對兩個整數(shù)a和b定義新運算“△〞：a△b=，求6△4+9△8。3．對任意兩個整數(shù)x和y定于新運算，“*〞：x*y＝〔其中m是一個確定的整數(shù)〕。如果1*2＝1，那么3*12＝________。第2講簡便運算〔一〕一、知識要點根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)和數(shù)的特征，靈活運用運算法那么、定律、性質(zhì)和某些公式，可以把一些較復雜的四那么混合運算化繁為簡，化難為易。二、精講精練【例題1】計算4.75-9.63+〔8.25-1.37〕【思路導航】先去掉小括號，使4.75和8.25相加湊整，再運用減法的性質(zhì)：a－b－c=a－〔b＋c〕，使運算過程簡便。所以原式＝4.75+8.25－9.63－1.37＝13－〔9.63+1.37〕＝13－11＝2練習1：計算下面各題。1．6.73－2又8/17+〔3.27－1又9/17〕2.7又5/9－〔3.8+1又5/9〕－1又1/53.14.15－〔7又7/8－6又17/20〕－2.1254.13又7/13－〔4又1/4+3又7/13〕－0.75【例題2】計算333387又1/2×79+790×66661又1/4【思路導航】可把分數(shù)化成小數(shù)后，利用積的變化規(guī)律和乘法分配律使計算簡便。所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25＝33338.75×790+790×66661.25＝〔33338.75+66661.25〕×790＝100000×790＝79000000練習2：計算下面各題：1.3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/52.975×0.25+9又3/4×76－9.753.9又2/5×425+4.25÷1/604.0.9999×0.7+0.1111×2.7【例題3】計算：36×1.09+1.2×67.3【思路導航】此題外表看沒有什么簡便算法，仔細觀察數(shù)的特征后可知：36=1.2×30。這樣一轉(zhuǎn)化，就可以運用乘法分配律了。所以原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3＝1.2×〔30×1.09+1.2×67.3〕＝1.2×〔32.7+67.3〕＝1.2×100＝120練習3：計算：1.45×2.08+1.5×37.62.52×11.1+2.6×7783.48×1.08+1.2×56.84.72×2.09－1.8×73.6【例題4】計算：3又3/5×25又2/5＋37.9×6又2/5【思路導航】雖然3又3/5與6又2/5的和為10，但是與它們相乘的另一個因數(shù)不同，因此，我們不難想到把37.9分成25.4和12.5兩局部。當出現(xiàn)12.5×6.4時，我們又可以將6.4看成8×0.8，這樣計算就簡便多了。所以原式＝3又3/5×25又2/5＋〔25.4+12.5〕×6.4＝3又3/5×25又2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4＝〔3.6+6.4〕×25.4＋12.5×8×0.8＝254＋80＝334練習4：計算下面各題：1．6.8×16.8＋19.3×3.22．139×137/138＋137×1/1383．4.4×57.8＋45.3×5.6【例題5】計算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5【思路導航】先分組提取公因數(shù)，再第二次提取公因數(shù)，使計算簡便。所以原式＝81.5×〔15.8＋51.8〕＋67.6×18.5＝81.5×67.6＋67.6×18.5＝〔81.5＋18.5〕×67.6＝100×67.6＝6760練習5：1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.52．235×12.1＋+235×42.2－135×54.33．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5第3講簡便運算〔二〕一、知識要點計算過程中，我們先整體地分析算式的特點，然后進行一定的轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件運用乘法分配律來簡算，這種思考方法在四那么運算中用處很大。二、精講精練【例題1】計算：1234＋2341＋3412＋4123【思路導航】整體觀察全式，可以發(fā)現(xiàn)題中的4個四位數(shù)均由數(shù)1，2，3，4組成，且4個數(shù)字在每個數(shù)位上各出現(xiàn)一次，于是有原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111＝〔1＋2＋3＋4〕×1111＝10×1111＝11110練習1：1．23456＋34562＋45623＋56234＋623452．45678＋56784＋67845＋78456＋845673．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68【例題2】計算：2又4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28【思路導航】我們可以先整體地分析算式的特點，然后進行一定的轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件運用乘法分配律來簡算。所以原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2＝2.8×〔23.4＋65.4〕＋88.8×7.2＝2.8×88.8＋88.8×7.2＝88.8×〔2.8＋7.2〕＝88.8×10＝888練習2：計算下面各題：1．99999×77778＋33333×666662．34.5×76.5－345×6.42－123×1.453．77×13＋255×999＋510【例題3】計算〔1993×1994－1〕/〔1993＋1992×1994〕【思路導航】仔細觀察分子、分母中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分子中1993×1994可變形為1992＋1〕×1994=1992×1994＋1994，同時發(fā)現(xiàn)1994－1=1993，這樣就可以把原式轉(zhuǎn)化成分子與分母相同，從而簡化運算。所以原式＝【〔1992＋1〕×1994－1】/〔1993＋1992×1994〕＝〔1992×1994＋1994－1〕/〔1993＋1992×1994〕＝1練習3：計算下面各題：1．〔362＋548×361〕/〔362×548－186〕2．〔1988＋1989×1987〕/〔1988×1989－1〕3．〔204＋584×1991〕/〔1992×584―380〕―1/143【例題4】有一串數(shù)1，4，9，16，25，36…….它們是按一定的規(guī)律排列的，那么其中第2000個數(shù)與2001個數(shù)相差多少？【思路導航】這串數(shù)中第2000個數(shù)是20002，而第2001個數(shù)是20012，它們相差：20012－20002，即20012－20002＝2001×2000－20002＋2001＝2000×〔2001－2000〕＋2001＝2000＋2001＝4001練習4：計算：1．19912－199022．99992＋199993．999×274＋6274【例題5】計算：〔9又2/7＋7又2/9〕÷〔5/7＋5/9〕【思路導航】在此題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65，除數(shù)提取公因數(shù)5，再把1/7與1/9的和作為一個數(shù)來參與運算，會使計算簡便得多。原式＝〔65/7＋65/9〕÷〔5/7＋5/9〕＝【65×〔1/7＋1/9〕】÷【5×〔1/7＋1/9〕】＝65÷5＝13練習5：計算下面各題：1．〔8/9＋1又3/7＋6/11〕÷〔3/11＋5/7＋4/9〕2．〔3又7/11＋1又12/13〕÷〔1又5/11＋10/13〕3．〔96又63/73＋36又24/25〕÷〔32又21/73＋12又8/25〕第4講簡便運算〔三〕一、知識要點在進行分數(shù)運算時，除了牢記運算定律、性質(zhì)外，還要仔細審題，仔細觀察運算符號和數(shù)字特點，合理地把參加運算的數(shù)拆開或者合并進行重新組合，使其變成符合運算定律的模式，以便于口算，從而簡化運算。二、精講精練【例題1】計算：〔1〕EQ\F(44,45)×37〔2〕27×EQ\F(15,26)〔2〕原式＝〔26+1〕×EQ\F(15,26)＝26×EQ\F(15,26)〔2〕原式＝〔26+1〕×EQ\F(15,26)＝26×EQ\F(15,26)+EQ\F(15,26)＝15+EQ\F(15,26)＝15EQ\F(15,26)＝1×37－EQ\F(1,45)×37＝37－EQ\F(37,45)＝36EQ\F(8,45)練習1用簡便方法計算下面各題：1.EQ\F(14,15)×82.EQ\F(2,25)×1263.35×EQ\F(11,36)4.73×EQ\F(74,75)5.EQ\F(1997,1998)×1999【例題2】計算：73EQ\F(1,15)×EQ\F(1,8)原式＝〔72+EQ\F(16,15)〕×EQ\F(1,8)＝72×EQ\F(1,8)+EQ\F(16,15)×EQ\F(1,8)＝9+EQ\F(2,15)＝9EQ\F(2,15)練習2計算下面各題：1.64EQ\F(1,17)×EQ\F(1,9)2.22EQ\F(1,20)×EQ\F(1,21)3.EQ\F(1,7)×57EQ\F(1,6)4.41EQ\F(1,3)×EQ\F(3,4)+51EQ\F(1,4)×EQ\F(4,5)【例題3】計算：EQ\F(1,5)×27+EQ\F(3,5)×41原式＝EQ\F(3,5)×9+EQ\F(3,5)×41＝EQ\F(3,5)×〔9+41〕＝EQ\F(3,5)×50＝30練習3計算下面各題：1.EQ\F(1,4)×39+EQ\F(3,4)×272.EQ\F(1,6)×35+EQ\F(5,6)×173.EQ\F(1,8)×5+EQ\F(5,8)×5+EQ\F(1,8)×10【例題4】計算：EQ\F(5,6)×EQ\F(1,13)+EQ\F(5,9)×EQ\F(2,13)+EQ\F(5,18)×EQ\F(6,13)原式＝EQ\F(1,6)×EQ\F(5,13)+EQ\F(2,9)×EQ\F(5,13)+EQ\F(6,18)×EQ\F(5,13)＝〔EQ\F(1,6)+EQ\F(2,9)+EQ\F(6,18)〕×EQ\F(5,13)＝EQ\F(13,18)×EQ\F(5,13)＝EQ\F(5,18)練習4計算下面各題：1．EQ\F(1,17)×EQ\F(4,9)+EQ\F(5,17)×EQ\F(1,9)2.EQ\F(1,7)×EQ\F(3,4)+EQ\F(3,7)×EQ\F(1,6)+EQ\F(6,7)×EQ\F(1,12)3．EQ\F(5,9)×79EQ\F(16,17)+50×EQ\F(1,9)+EQ\F(1,9)×EQ\F(5,17)4.EQ\F(5,17)×EQ\F(3,8)+EQ\F(1,15)×EQ\F(7,16)+EQ\F(1,15)×3EQ\F(1,2)【例題5】〔2〕原式＝1998÷EQ\F(1998×1999+1998,1999)＝1998÷EQ\F(1998×2000,1999)〔2〕原式＝1998÷EQ\F(1998×1999+1998,1999)＝1998÷EQ\F(1998×2000,1999)＝1998×EQ\F(1999,1998×2000)＝EQ\F(1999,2000)解：〔1〕原式＝〔164+2EQ\F(1,20)〕÷41＝164÷41+EQ\F(41,20)÷41＝4+EQ\F(1,20)＝4EQ\F(1,20)練習5計算下面各題：1.54EQ\F(2,5)÷172.238÷238EQ\F(238,239)3.163EQ\F(1,13)÷41EQ\F(1,39)第5講簡便運算〔四〕一、知識要點前面我們介紹了運用定律和性質(zhì)以及數(shù)的特點進行巧算和簡算的一些方法，下面再向同學們介紹怎樣用拆分法〔也叫裂項法、拆項法〕進行分數(shù)的簡便運算。運用拆分法解題主要是使拆開后的一些分數(shù)互相抵消，到達簡化運算的目的。一般地，形如EQ\F(1,a×(a+1))的分數(shù)可以拆成EQ\F(1,a)－EQ\F(1,a+1)；形如EQ\F(1,a×〔a+n〕)的分數(shù)可以拆成EQ\F(1,n)×〔EQ\F(1,a)－EQ\F(1,a+n)〕，形如EQ\F(a+b,a×b)的分數(shù)可以拆成EQ\F(1,a)+EQ\F(1,b)等等。同學們可以結(jié)合例題思考其中的規(guī)律。二、精講精練【例題1】計算：EQ\F(1,1×2)+EQ\F(1,2×3)+EQ\F(1,3×4)+…..+EQ\F(1,99×100)原式＝〔1－EQ\F(1,2)〕+〔EQ\F(1,2)－EQ\F(1,3)〕+〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)〕+…..+〔EQ\F(1,99)－EQ\F(1,100)〕＝1－EQ\F(1,2)+EQ\F(1,2)－EQ\F(1,3)+EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+…..+EQ\F(1,99)－EQ\F(1,100)＝1－EQ\F(1,100)＝EQ\F(99,100)練習1計算下面各題：1.EQ\F(1,4×5)+EQ\F(1,5×6)+EQ\F(1,6×7)+…..+EQ\F(1,39×40)2.EQ\F(1,10×11)+EQ\F(1,11×12)+EQ\F(1,12×13)+EQ\F(1,13×14)+EQ\F(1,14×15)3.EQ\F(1,2)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,20)+EQ\F(1,30)+EQ\F(1,42)4.1－EQ\F(1,6)+EQ\F(1,42)+EQ\F(1,56)+EQ\F(1,72)【例題2】計算：EQ\F(1,2×4)+EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,6×8)+…..+EQ\F(1,48×50)原式＝〔EQ\F(2,2×4)+EQ\F(2,4×6)+EQ\F(2,6×8)+…..+EQ\F(2,48×50)〕×EQ\F(1,2)＝【〔EQ\F(1,2)－EQ\F(1,4)〕+〔EQ\F(1,4)－EQ\F(1,6)〕+〔EQ\F(1,6)－EQ\F(1,8)〕…..+〔EQ\F(1,48)－EQ\F(1,50)〕】×EQ\F(1,2)＝【EQ\F(1,2)－EQ\F(1,50)】×EQ\F(1,2)＝EQ\F(6,25)練習2計算下面各題：1.EQ\F(1,3×5)+EQ\F(1,5×7)+EQ\F(1,7×9)+…..+EQ\F(1,97×99)2.EQ\F(1,1×4)+EQ\F(1,4×7)+EQ\F(1,7×10)+…..+EQ\F(1,97×100)3.EQ\F(1,1×5)+EQ\F(1,5×9)+EQ\F(1,9×13)+…..+EQ\F(1,33×37)4.EQ\F(1,4)+EQ\F(1,28)+EQ\F(1,70)+EQ\F(1,130)+EQ\F(1,208)【例題3】計算：1EQ\F(1,3)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)+EQ\F(13,42)－EQ\F(15,56)原式＝1EQ\F(1,3)－〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕+〔EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕－〔EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕+〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,7)〕－〔EQ\F(1,7)+EQ\F(1,8)〕＝1EQ\F(1,3)－EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,7)－EQ\F(1,7)－EQ\F(1,8)＝1－EQ\F(1,8)＝EQ\F(7,8)練習3計算下面各題：1.1EQ\F(1,2)+EQ\F(5,6)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)2.1EQ\F(1,4)－EQ\F(9,20)+EQ\F(11,30)－EQ\F(13,42)+EQ\F(15,56)3.EQ\F(1998,1×2)+EQ\F(1998,2×3)+EQ\F(1998,3×4)+EQ\F(1998,4×5)+EQ\F(1998,5×6)4.6×EQ\F(7,12)－EQ\F(9,20)×6+EQ\F(11,30)×6【例題4】計算：EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)原式＝〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)+EQ\F(1,64)〕－EQ\F(1,64)＝1－EQ\F(1,64)＝EQ\F(63,64)練習4計算下面各題：1.EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+………+EQ\F(1,256)2.EQ\F(2,3)+EQ\F(2,9)+EQ\F(2,27)+EQ\F(2,81)+EQ\F(2,243)3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6【例題5】計算：〔1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕×〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕－〔1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕×〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕設(shè)1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)＝aEQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)＝b原式＝a×〔b+EQ\F(1,5)〕－〔a+EQ\F(1,5)〕×b＝ab+EQ\F(1,5)a－ab－EQ\F(1,5)b＝EQ\F(1,5)〔a－b〕＝EQ\F(1,5)練習51.〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕×〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕－〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕×〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕2.〔EQ\F(1,8)+EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)〕×〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)+EQ\F(1,12)〕－〔EQ\F(1,8)+EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)+EQ\F(1,12)〕×〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)〕3.〔1+EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)〕×〔EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)+EQ\F(1,2002)〕－〔1+EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)+EQ\F(1,2002)〕×〔EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)〕第6講轉(zhuǎn)化單位“1〞〔一〕一、知識要點把不同的數(shù)量當作單位“1〞，得到的分率可以在一定的條件下轉(zhuǎn)化。如果甲是乙的a/b，乙是丙的c/d，那么甲是丙的ac/bd；如果甲是乙的a/b，那么乙是甲的b/a；如果甲的a/b等于乙的c/d，那么甲是乙的c/d÷a/b＝bc/ad，乙是甲的a/b÷a/b＝ad/bc。二、精講精練【例題1】乙數(shù)是甲數(shù)的2/3，丙數(shù)是乙數(shù)的4/5，丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？2/3×4/5＝8/15練習1：1．乙數(shù)是甲數(shù)的3/4，丙數(shù)是乙數(shù)的3/5，丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？2．一根管子，第一次截去全長的1/4，第二次截去余下的1/2，兩次共截去全長的幾分之幾？3．一個旅客從甲城坐火車到乙城，火車行了全程的一半時旅客睡著了。他醒來時，發(fā)現(xiàn)剩下的路程是他睡著前所行路程的1/4。想一想，剩下的路程是全程的幾分之幾？他睡著時火車行了全程的幾分之幾？【例題2】修一條8000米的水渠，第一周修了全長的1/4，第二周修的相當于第一周的4/5，第二周修了多少米？解一：8000×1/4×4/5＝1600〔米〕解二：8000×〔1/4×4/5〕＝1600〔米〕答：第二周修了1600米。練習2：用兩種方法解答下面各題：1．一堆黃沙30噸，第一次用去總數(shù)的1/5，第二次用去的是第一次的1又1/4倍，第二次用去黃沙多少噸？2．大象可活80年，馬的壽命是大象的1/2，長頸鹿的壽命是馬的7/8，長頸鹿可活多少年？3．倉庫里有化肥30噸，第一次取出總數(shù)的1/5，第二次取出余下的1/3，第二次取出多少噸？【例題3】晶晶三天看完一本書，第一天看了全書的1/4，第二天看了余下的2/5，第二天比第一天多看了15頁，這本書共有多少頁？解：15÷【〔1－1/4〕×2/5－1/4】＝300〔頁〕答：這本書有300頁。練習3：1．有一批貨物，第一天運了這批貨物的1/4，第二天運的是第一天的3/5，還剩90噸沒有運。這批貨物有多少噸？2．修路隊在一條公路上施工。第一天修了這條公路的1/4，第二天修了余下的2/3，這兩天共修路1200米，這條公路全長多少米？3．加工一批零件，甲先加工了這批零件的2/5，接著乙加工了余下的4/9。乙加工的個數(shù)比甲少200個，這批零件共有多少個？【例題4】男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5，女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？解：把女生人數(shù)看作單位“1〞。1÷4/5＝5/4把男生人數(shù)看作單位“1〞。5÷4＝5/4練習4：1．停車場里有小汽車的輛數(shù)是大汽車的3/4，大汽車的輛數(shù)是小汽車的幾分之幾？2．如果山羊的只數(shù)是綿羊的6/7，那么綿羊的只數(shù)是山羊的幾分之幾？3．如果花布的單價是白布的1又3/5倍，那么白布的單價是花布的幾分之幾？【例題5】甲數(shù)的1/3等于乙數(shù)的1/4，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾，乙數(shù)是甲數(shù)的幾倍？解：1/4÷1/3＝3/41/3÷1/4＝1又1/3答：甲數(shù)是乙數(shù)的3/4，乙數(shù)是甲數(shù)的1又1/3。練習5：1．甲數(shù)的3/4于乙數(shù)的2/5，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？2．甲數(shù)的1又2/3倍等于乙數(shù)的5/6，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲乙兩數(shù)和的幾分之幾？3．甲數(shù)是丙數(shù)的3/4，乙數(shù)是丙數(shù)的2/5，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？〔想一想：這題與第一題有什么不同？〕第7講轉(zhuǎn)化單位“1〞〔二〕一、知識要點我們必須重視轉(zhuǎn)化訓練。通過轉(zhuǎn)化訓練，既可理解數(shù)量關(guān)系的實質(zhì)，又可拓展我們的解題思路，提高我們的思維能力。二、精講精練【例題1】甲數(shù)是乙數(shù)的2/3，乙數(shù)是丙數(shù)的3/4，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？解法一：把丙數(shù)看所單位“1〞那么甲數(shù)就是丙數(shù)的3/4×2/3＝1/2，丙：216÷〔1+3/4+3/4×2/3〕＝96乙：96×3/4＝72甲：72×2/3＝48解法二：可將“乙數(shù)是丙數(shù)的3/4〞轉(zhuǎn)化成“丙數(shù)是乙數(shù)的4/3〞，把乙數(shù)看作單位“1〞。乙：216÷〔2/3+1+4/3〕＝72甲：72×2/3＝48丙：72÷3/4＝96解法三：將條件“甲數(shù)是乙數(shù)的2/3〞轉(zhuǎn)化為“乙數(shù)是甲數(shù)的3/2〞，再將條件“乙數(shù)是丙數(shù)的3/4〞轉(zhuǎn)化為“丙數(shù)是乙數(shù)的4/3〞，以甲數(shù)為單位“1〞。甲：216÷〔1+3/2+3/2×4/3〕＝48乙：48×3/2＝72丙：72×4/3＝96答：甲數(shù)是48，乙數(shù)是72，丙數(shù)是96。練習1：下面各題怎樣計算簡便就怎樣計算：1．甲數(shù)是乙數(shù)的5/6，乙數(shù)是丙數(shù)的3/4，甲、乙、丙三個數(shù)的和是152，甲、乙、丙三個數(shù)各是多少？2．橘子的千克數(shù)是蘋果的2/3，香蕉的千克數(shù)是橘子的1/2，香蕉和蘋果共有220千克，橘子有多少千克？3．某中學的初中部三個年級中，初一的學生數(shù)是初二學生數(shù)的9/10，初二的學生數(shù)是初三學生數(shù)的1又1/4倍，這個學校里初三的學生數(shù)占初中部學生數(shù)的幾分之幾？【例題2】紅、黃、藍氣球共有62只，其中紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3，藍氣球有24只，紅氣球和黃氣球各有多少只？解法一：將條件“紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3〞轉(zhuǎn)化為“黃氣球的只數(shù)是紅氣球的〔3/5÷2/3〕＝9/10〞。先求紅氣球的只數(shù)，再求出黃氣球的只數(shù)。紅氣球：〔62－24〕÷〔1+3/5÷2/3〕＝20〔只〕黃氣球：62－24－20＝18〔只〕解法二：將條件“紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3〞轉(zhuǎn)化為“紅氣球的只數(shù)是黃氣球的〔2/3÷3/5〕＝10/9〞。先求黃氣球的只數(shù)，再求出紅氣球的只數(shù)。黃氣球：〔62－24〕÷〔1+2/3÷3/5〕＝18〔只〕紅氣球：62－24－18＝20〔只〕答：紅氣球有20只，黃氣球有18只。練習2：1．甲數(shù)的2/3等于乙數(shù)的5/6，甲、乙兩數(shù)的和是162，甲、乙兩數(shù)各是多少？2．今年8月份，甲所得的獎金比乙少200元，甲得的獎金的2/3正好是乙得獎金的4/7，甲、乙兩人各得獎金多少元？3．商店運來香蕉、蘋果和梨子共900千克，香蕉重量的1/4等于蘋果重量的1/3，梨子的重量是200千克。香蕉和蘋果各多少千克？【例題3】甲校學生數(shù)是乙校學生數(shù)的2/5，甲校的女生數(shù)是甲校學生數(shù)的3/10，乙校的男生數(shù)是乙校學生數(shù)的21/50，那么兩校女生總數(shù)占兩校學生總數(shù)的幾分之幾？解法一：把乙校學生數(shù)看作單位“1〞。【2/5×3/10+〔1－21/50〕】÷〔1+2/5〕＝1/2解法二：把甲校學生數(shù)看作單位“1〞?！?/2－5/2×2150+3/10〕÷〔1+5/2〕＝1/2答：甲、乙兩校女生總數(shù)占兩校學生總數(shù)的1/2。練習3：1．在一座城市中，中學生數(shù)是居民的1/5，大學生是中學生數(shù)的1/4，那么占大學生總數(shù)的2/5的理工科大學生是居民數(shù)的幾分之幾？2．某人在一次選舉中，需3/4的選票才能中選，計算2/3的選票后，他得到的選票已到達中選票數(shù)的5/6，他還要得到剩下選票的幾分之幾才能中選？3．某校有3/5的學生是男生，男生的1/20想當醫(yī)生，全校想當醫(yī)生的學生的3/4是男生，那么全校女生的幾分之幾想當醫(yī)生？【例題4】倉庫里的大米和面粉共有2000袋。大米運走2/5，面粉運作1/10后，倉庫里剩下大米和面粉正好相等。原來大米和面粉各有多少袋？解法一：將大米的袋數(shù)看作單位“1〞〔1－2/5〕÷〔1－1/10〕＝2/32000÷〔1+2/3〕＝1200〔袋〕2000－1200＝800〔袋〕解法二：將面粉的袋數(shù)看作單位“1〞〔1－1/10〕÷〔1－2/5〕＝3/22000÷〔1+3/2〕＝800〔袋〕2000－800＝1200〔袋〕答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。練習4：1．甲、乙兩人各準備加工零件假設(shè)干個，當甲完成自己的2/3、乙完成自己的1/4時，兩人所剩零件數(shù)量相等，甲比乙多做了70個，甲、乙兩人各準備加工多少個零件？2．一批水果四天賣完。第一天賣出180千克，第二天賣出余下的2/7，第三、四天共賣出這批水果的一半，這批水果有多少千克？3．甲、乙兩人合打一篇書稿，共有10500字。如果甲增加他的任務(wù)的20％，乙減少他的任務(wù)的20％，那么甲打的字數(shù)就是乙的2倍，問兩人原來的任務(wù)各是多少？【例題5】400名學生參加植樹活動，方案每個男生植樹20棵，每個女生植樹15棵。除抽出25％的男生搞衛(wèi)生外，其他的同學都按方案完成了植樹任務(wù)。問共植樹多少棵？解：20×〔1－25％〕×400＝20×0.75×400＝6000〔棵〕答：共植樹6000棵。練習5：1．有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的1/3放在一起是13公頃，麥地的一半和菜地的1/3放在一起是12公頃，那么，菜地有多少公頃？2．師徒兩人加工同樣多的零件，師傅要10分鐘，徒弟要18分鐘。兩人共同加工零件168個，如果要在相同的時間內(nèi)完成，兩人各應加工零件多少個？3．有5元和2元的人民幣假設(shè)干張，其金額之比為15：4。如果5元人民幣減少6張，那么兩種人民幣的張數(shù)相等。求原來兩種人民幣的張數(shù)各是多少？第8講轉(zhuǎn)化單位“1〞〔三〕一、知識要點解答較復雜的分數(shù)應用題時，我們往往從題目中找出不變的量，把不變的量看作單位“1〞，將條件進行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相當于單位“1〞的幾分之幾，再列式解答。二、精講精練【例題1】有兩筐梨。乙筐是甲筐的3/5，從甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的7/9。甲、乙兩筐梨共重多少千克？解：5÷〔5/〔5+3〕－9/〔7+9〕〕＝80〔千克〕答：甲、乙兩筐梨共重80千克。練習1：1．某小學低年級原有少先隊員是非少先隊員的1/3，后來又有39名同學參加少先隊組織。這樣，少先隊員的人數(shù)是非少先隊員的7/8。低年級有學生多少人？2．王師傅生產(chǎn)一批零件，不合格產(chǎn)品是合格產(chǎn)品的1/19，后來從合格產(chǎn)品中又發(fā)現(xiàn)了2個不合格產(chǎn)品，這時算出產(chǎn)品合格率是94％。合格產(chǎn)品共有多少個？3．某校六年級上學期男生占總?cè)藬?shù)的54％，本學期轉(zhuǎn)進3名女生，轉(zhuǎn)走3名男生，這時女生占總?cè)藬?shù)的48％?，F(xiàn)在有男生多少人？【例題2】某學校原有長跳繩根數(shù)占長、短跳繩總數(shù)的3/8。后來又買進20根長跳繩，這時長跳繩的根數(shù)占長、短跳繩總數(shù)的7/12。這個學校現(xiàn)有長、短跳繩的總數(shù)是多少根？解法一：根據(jù)短跳繩的根數(shù)沒有變，我們把短跳繩看作單位“1〞。可以得出原來的長跳繩根數(shù)占短跳繩根數(shù)的3/〔8-3〕，后來長跳繩是短跳繩的7/〔12-7〕。這樣就找到了20根長跳繩相當于短跳繩的〔7/〔12-7〕－3/〔8-3〕〕，從而求出短跳繩的根數(shù)。再用短跳繩的根數(shù)除以〔1－7/12〕就可以求出這個學?，F(xiàn)有跳繩的總數(shù)。即20÷【7/〔12-7〕－3/〔8-3〕】÷〔1－7/12〕＝60〔根〕解法二：把短跳繩看作單位“1〞，原來的總數(shù)是短跳繩的8/〔8-3〕，后來的總數(shù)是短跳繩的12/〔12-7〕。所以20÷〔12/〔12-7〕－8/〔8-3〕〕÷〔1－7/12〕＝60〔根〕答：這個學?，F(xiàn)有長、短跳繩的總數(shù)是60根。練習2：1．閱覽室看書的同學中，女同學占3/5，從閱覽室走出5位女同學后，看數(shù)的同學中，女同學占4/7，原來閱覽室一共有多少名同學在看書？2．一堆什錦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，這堆糖中有奶糖多少千克？3．數(shù)學課外興趣小組，上學期男生占5/9，這學期增加21名女生后，男生就只占2/5了，這個小組現(xiàn)有女生多少人？【例題3】有兩段布，一段布長40米，另一段長30米，把兩段布都用去同樣長的一局部后，發(fā)現(xiàn)短的一段布剩下的長度是長的一段布所剩長度的3/5，每段布用去多少米？解：40－〔40－30〕÷〔1－3/5〕＝15〔米〕答：每段布用去15米。練習3：1．有兩根塑料繩，一根長80米，另一根長40米，如果從兩根上各剪去同樣長的一段后，短繩剩下的長度是長繩剩下的2/7，兩根繩各剪去多少米？2．今年父親40歲，兒子12歲，當兒子的年齡是父親的5/12時，兒子多少歲？3．倉庫里原來存大米和面粉袋數(shù)相等，運出800袋大米和500袋面粉后，倉庫里所剩的大米袋數(shù)時面粉的3/4，倉庫里原有大米和面粉各多少袋？4．甲、乙、丙、丁四個筑路隊共筑1200米長的一段公路，甲隊筑的路時其他三個隊的1/2，乙隊筑的路時其他三個隊的1/3，丙隊筑的路時其他三個隊的1/4，丁隊筑了多少米？【例題4】某商店原有黑白、彩色電視機共630臺，其中黑白電視機占1/5，后來又運進一些黑白電視機。這時黑白電視機占兩種電視機總臺數(shù)的30％，問：又運進黑白電視機多少臺？解：630×〔1－1/5〕÷〔1－30％〕－630＝90〔臺〕答：又運進黑白電視機90臺。練習4：1．書店運來科技書和文藝書共240包，科技書占1/6。后來又運來一批科技書，這時科技書占兩種書總和的3/11，現(xiàn)在兩種書各有多少包？2．某市派出60名選手參加田徑比賽，其中女選手占1/4，正式比賽時，有幾名女選手因故缺席，這樣女選手人數(shù)占參賽選手總數(shù)的2/11。問：正式參賽的女選手有多少人？3．把12千克的鹽溶解于120千克水中，得到132千克鹽水，如果要使鹽水中含鹽8％，要往鹽水中加鹽還是加水？加多少千克？4．東風水果店上午運進梨和蘋果共1020千克，其中梨占水果總數(shù)的1/5；下午又運進梨假設(shè)干千克，這時梨占兩種水果總數(shù)的2/5，下午運進梨多少千克？【例題5】一堆煤，運走的比總數(shù)的2/5多120噸，剩下的比運走的5/6多60噸，這堆煤原有多少噸？解：〔120+120×5/6+60〕÷〔1―2/5―2/5×5/6〕＝1050〔噸〕答：這堆煤原有1050噸。練習5：1．修一條路，第一天修了全長的2/5多60米，第二天修的長度比第一天的3/4多35米，還剩100米沒有修，這條路全長多少米？2．修一條路，第一天修了全長的2/5多60米，第二天修的長度比第一天的3/4少35米，這兩天共修路420米，這條路全長多少米？3．某工程隊修筑一條公路，第一天修了全長的2/5，第二天修了剩下局部的5/9又20米，第三天修的是第一天的1/4又30米，這樣，正好修完，這段公路全長多少米？第9講設(shè)數(shù)法解題一、知識要點在小學數(shù)學競賽中，常常會遇到一些看起來缺少條件的題目，按常規(guī)解法似乎無解，但仔細分析就會發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件對于答案并無影響，這時就可以采用“設(shè)數(shù)代入法〞，即對題目中“缺少〞的條件，隨便假設(shè)一個數(shù)代入〔當然假設(shè)的這個數(shù)要盡量的方便計算〕，然后求出解答。二、精講精練【例題1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝〔〕個△。解：由第一個等式可以設(shè)△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號內(nèi)應填4。說明：此題如果不用設(shè)數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費周折。練習1：1．△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，問△□☆＝〔〕個○。2．五個人比擬身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲與戊誰高，高幾厘米？3．甲、乙、丙三個倉庫原有同樣多貨，從甲倉庫運60噸到乙倉庫，從乙倉庫運45噸到丙倉庫，從丙倉庫運55噸到甲倉庫，這時三個倉庫的貨哪個最多？哪個最少？最多的比最少的多多少？【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5，問一張門票降價多少元？【思路導航】初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個條件，實際上觀眾人數(shù)于答案無關(guān)，我們可以隨便假設(shè)一個觀眾數(shù)。為了方便，假設(shè)原來只有一個觀眾，收入為15元，那么降價后有兩個觀眾，收入為15×〔1+1/5〕＝18元，那么降價后每張票價為18÷2＝9元，每張票降價15－9＝6元。即：15－15×〔1+1/5〕÷2＝6〔元〕答：每張票降價6元。說明：如果設(shè)原來有a名觀眾，那么每張票降價：15－15a×〔1+1/5〕÷2a＝6〔元〕練習2：1．某班一次考試，平均分為70分，其中3/4及格，及格的同學平均分為80分，那么不及格的同學平均分是多少分？2．游泳池里參加游泳的學生中，小學生占30％，又來了一批學生后，學生總數(shù)增加了20％，小學生占學生總數(shù)的40％，小學生增加百分之幾？3．五年級三個班的人數(shù)相等。一班的男生人數(shù)和二班的女生人數(shù)相等，三班的男生是全部男生的2/5，全部女生人數(shù)占全年級人數(shù)的幾分之幾？【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200米，求小王的平均速度?！舅悸穼Ш健款}中四個速度的最小公倍數(shù)是1200，設(shè)一個單程是1200米。那么〔1〕四個單程的和：1200×4＝4800〔米〕〔2〕四個單程的時間分別是；1200÷200＝6〔分〕1200÷240＝5〔分〕1200÷150＝8〔分〕1200÷200＝6〔分〕〔3〕小王的平均速度為：4800÷〔6+5+8+6〕＝192〔米〕答：小王的平均速度是每分鐘192米。練習3：1．小華上山的速度是每小時3千米，下山的速度是每小時6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。2．張師傅騎自行車往返A(chǔ)、B兩地。去時每小時行15千米，返回時因逆風，每小時只行10千米，張師傅往返途中的平均速度是每小時多少千米？3．小王騎摩托車往返A(chǔ)、B兩地。平均速度為每小時48千米，如果他去時每小時行42千米，那么他返回時的平均速度是每小時行多少千米？【例題4】某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，這個班男孩平均身高是多少？【思路導航】題中沒有男、女孩的人數(shù)，我們可以假設(shè)女孩有5人，那么男孩有6人?！?〕總身高：115×【5+5×〔1+1/5〕】＝1265〔厘米〕〔2〕由于女孩平均身高是男孩的〔1+10％〕，所以5個女孩的身高相當于5×〔1+10％〕＝5.5個男孩的身高，因此男孩的平均身高為：1265÷【〔1+10％〕×5+6】＝110〔厘米〕答：這個班男孩平均身高是110厘米。練習4：1．某班男生人數(shù)是女生的2/3，男生平均身高為138厘米，全班平均身高為132厘米。問：女生平均身高是多少厘米？2．某班男生人數(shù)是女生的4/5，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？3．一個長方形每邊增加10％，那么它的周長增加百分之幾？它的面積增加百分之幾？【例題5】狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問狗再跑多遠，馬可以追到它？【思路導航】馬跑一步的距離不知道，跑3步的時間也不知道，可取具體數(shù)值，并不影響解題結(jié)果。設(shè)馬跑一步為7，那么狗跑一步為4，再設(shè)馬跑3步的時間為1，那么狗跑5步的時間為1，推知狗的速度為20，馬的速度為21。那么，20×【30÷〔21－20〕】＝600〔米〕練習5：1．獵狗前面26步遠的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗只跑5步，但兔跑9步的距離僅等于狗跑4步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？2．獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。獵狗跑2步的時間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠，獵狗可以追到它？3．狗和兔同時從A地跑向B地，狗跑3步的距離等于兔跑5步的距離，而狗跑2步的時間等于兔跑3步的時間，狗跑600步到達B地，這時兔還要跑多少步才能到達B地？第10講假設(shè)法解題〔一〕一、知識要點假設(shè)法解體的思考方法是先通過假設(shè)來改變題目的條件，然后再和條件配合推算。有些題目用假設(shè)法思考，能找到巧妙的解答思路。運用假設(shè)法時，可以假設(shè)數(shù)量增加或減少，從而與條件產(chǎn)生聯(lián)系；也可以假設(shè)某個量的分率與另一個量的分率一樣，再根據(jù)乘法分配律求出這個分率對應的和，最后依據(jù)它與實際條件的矛盾求解。二、精講精練【例題1】甲、乙兩數(shù)之和是185，甲數(shù)的1/4與乙數(shù)的1/5的和是42，求兩數(shù)各是多少？【思路導航】假設(shè)將題中“甲數(shù)的1/4〞、“乙數(shù)的1/5〞與“和為42〞同時擴大4倍，那么變成了“甲數(shù)與乙數(shù)的4/5的和為168〞，再用185減去168就是乙數(shù)的1/5。解：乙：〔185－42×4〕÷〔1－1/5×4〕＝85答：甲數(shù)是100，乙數(shù)是85。練習1：1．甲、乙兩人共有錢150元，甲的1/2與乙的1/10的錢數(shù)和是35元，求甲、乙兩人各有多少元錢？2．甲、乙兩個消防隊共有338人。抽調(diào)甲隊人數(shù)的1/7，乙隊人數(shù)的1/3，共抽調(diào)78人，甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？3．海洋化肥廠方案第二季度生產(chǎn)一批化肥，四月份完成總數(shù)的1/3多50噸，五月份完成總數(shù)的2/5少70噸，還有420噸沒完成，第二季度原方案生產(chǎn)多少噸？【例題2】彩色電視機和黑白電視機共250臺。如果彩色電視機賣出1/9，那么比黑白電視機多5臺。問：兩種電視機原來各有多少臺？【思路導航】從圖中可以看出：假設(shè)黑白電視機增加5臺，就和彩色電視機賣出1/9后剩下的一樣多。黑白電視機增加5臺后，相當于彩色電視機的〔1－1/9〕＝8/9。〔250+5〕÷〔1+1－1/9〕＝135〔臺〕250－125＝115〔臺〕答：彩色電視機原有135臺，黑白電視機原有115臺。練習2：1．姐妹倆養(yǎng)兔120只，如果姐姐賣掉1/7，還比妹妹多10只，姐姐和妹妹各養(yǎng)了多少只兔？2．學校有籃球和足球共21個，籃球借出1/3后，比足球少1個，原來籃球和足球各有多少個？3．小明甲養(yǎng)的雞和鴨共有100只，如果將雞賣掉1/20，還比鴨多17只，小明家原來養(yǎng)的雞和鴨各有多少只？【例題3】師傅與徒弟兩人共加工零件105個，師傅加工零件個數(shù)的3/8與徒弟加工零件個數(shù)的4/7的和為49個，師、徒各加工零件多少個？【思路導航】假設(shè)師、徒兩人都完成了4/7，一個能完成〔105×4/7〕＝60個，和實際相差〔60－49〕＝11個，這11個就是師傅完成將零件的3/8與完成加工零件的4/7相差的個數(shù)。這樣就可以求出師傅加工了【11÷〔4/7－3/8〕】＝56個。即：師傅：〔105×4/7－49〕÷〔4/7－3/8〕＝56〔個〕徒弟：105－56＝49〔個〕答：師傅加工了56個，徒弟加工了49個。練習3：1．某商店有彩色電視機和黑白電視機共136臺，賣出彩色電視機的2/5和黑白電視機的3/7，共賣出57臺。問：原來彩色電視機和黑白電視機各有多少臺？2．甲、乙兩個消防隊共有336人，抽調(diào)甲隊人數(shù)的5/7、乙隊人數(shù)的3/7，共抽調(diào)188人參加滅火。問：甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？3．學校買來足球和排球共64個，從中借出排球個數(shù)的1/4和足球個數(shù)的1/3后，還剩下46個，買來排球和足球各是多少個？【例題4】甲、乙兩數(shù)的和是300，甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55，甲、乙兩數(shù)各是多少？【思路導航】甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的2/5的和就是甲、乙兩數(shù)的2/5，是300×2/5＝120，因為甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55，所以從120中減去55所得的差就可以看成是乙數(shù)的1/4與乙數(shù)的2/5的和。乙：〔300×2/5－55〕÷〔2/5+1/4〕＝100甲：300－100＝200答：甲數(shù)是200，乙數(shù)是100。練習4：1．畜牧場有綿羊、山羊共800只，山羊的2/5比綿羊的1/2多50只，這個畜牧場有山羊、綿羊各多少只？2．師傅和徒弟共加工零件840個，師傅加工零件的個數(shù)的5/8比徒弟加工零件個數(shù)的2/3多60個，師傅和徒弟各加工零件多少個？3．某校六年級甲、乙兩個班共種100棵樹，乙班種的1/10比甲班種的1/3少16棵，兩個班各種多少棵？【例題5】育紅小學上學期共有學生750人，本學期男學生增加1/6，女學生減少1/5，共有710人，本學期男、女學生各有多少人？【思路導航】假設(shè)本學期女學生不是減少1/5，而是增加1/6，半學期應該有750×〔1+1/6〕＝875人，比實際多875－710＝165人，這165人是假設(shè)女學生也增加1/6多出的人數(shù)，而實際女學生減少1/5，所以，這165人對應著女學生的〔1/5+1/6〕＝11/30。上學期女生：【750×〔1+1/6〕－710】÷〔1/5+1/6〕＝450〔人〕本學期女生：450×〔1－1/5〕＝360〔人〕本學期男生：710－360＝350〔人〕答：本學期男學生有350人，女學生有360人。練習5：1．金放在水里稱，重量減輕1/19，銀放在水里稱，重量減少1/10，一塊重770克的金銀合金，放在水里稱是720克，這塊合金含金、銀各多少克？2．某中學去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？3．袋子里原有紅球和黃球共119個。將紅球增加3/8，黃球減少2/5后，紅球與黃球的總數(shù)變?yōu)?21個。原來袋子里有紅球和黃球各多少個？第11講假設(shè)法解題〔二〕一、知識要點甲是乙的幾分之幾，又知甲與乙各改變一定的數(shù)量后兩者之間新的倍數(shù)關(guān)系，要求甲、乙兩個數(shù)是多少，這樣的應用題稱為變倍問題。應用題中的變倍問題，有兩數(shù)同增、兩數(shù)同減、一增一減等各種情況。雖然其中的數(shù)量關(guān)系比擬復雜，但解答時的關(guān)鍵仍是確定哪個量為單位“1〞，然后通過假設(shè)，找出變化前后的相差數(shù)相當于單位“1〞的幾分之幾，從而求出單位“1〞的量，其他要求的量就迎刃而解了。二、精講精練【例題1】兩根鐵絲，第一根長度是第二根的3倍，兩根各用去6米，第一根剩下的長度是第二根剩下的長度的5倍，第二根原來有多少米？【思路導航】假設(shè)第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的長度仍是第二根剩下長度的3倍，而事實上第一根比假設(shè)的少用去〔6×3－6〕＝12米，也就多剩下第二根剩下的長度的〔5－3〕＝2倍?！?×3－3〕÷〔5－3〕+6＝12〔米〕答：第二根原來有12米。 練習1：1．丁曉原有書的本數(shù)是王陽的5倍，假設(shè)兩人同時各借出5本給其他同學，那么丁曉書的本數(shù)是王陽的10倍，兩人原來各有書多少本？2．在植樹勞動中，光明中學植樹的棵數(shù)是光明小學的3倍，如果中學增加450棵，小學增加400棵，那么中學是小學的2倍。求中、小學原來各植樹多少棵？3．兩堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8噸，第二堆用去11噸，第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原來是多少噸？【例題2】王明平時積蓄下來的零花錢比陳剛的3倍多6.40元，假設(shè)兩個人各買了一本4.40元的故事書后，王明的錢就是陳剛的8倍，陳剛原來有零花錢多少元？【思路導航】假設(shè)仍然保持王明的錢比陳剛的3倍多6.40元，那么王明要相應地花去4.40×3＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明買書后的錢比陳剛買書后的錢的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而題中已告訴：買書后王明的錢是陳剛的8倍，所以，15.20元就對應著陳剛花錢后剩下錢的8－3＝5倍?！?.40+〔4.40×3－4.40】÷〔8－3〕+4.40＝7.44〔元〕答：陳剛原來有零花錢7.44元。練習2：1．甲書架上的書比乙書架上的3倍多50本，假設(shè)甲、乙兩個書架上各增加150本，那么甲書架上的書是乙書架上的2倍，甲、乙兩個書架原來各有多少本書？2．上學年，馬村中學的學生比牛莊小學的學生的2倍多54人，本學年馬村中學增加了20人，牛莊小學減少了8人，那么馬村中學的學生比牛莊小學的學生的4倍少26人，上學年馬村中學和牛莊小學各有學生多少人？3．箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球比白球的3倍多2粒，每次從箱子里取出7粒白球和15粒紅球，假設(shè)干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒紅球，那么，箱子里白球原有多少粒？【例題3】小紅的彩筆枝數(shù)是小剛的1/2，兩人各買5枝后，小紅的彩筆枝數(shù)是小剛的2/3，兩人原來各有彩筆多少枝？【思路導航】假設(shè)小剛買了5枝后，小紅的彩筆仍為小剛的1/2，那么小紅只需買〔5×1/2〕＝2又1/2枝，但實際上小紅買了5枝，多買了5－2又1/2＝2又1/2枝。將小剛買了5枝后的枝數(shù)看作“1〞，小紅多買了2又1/2，相當于〔2/3－1/2〕＝1/6。小剛原來：〔5－5×1/2〕÷〔2/3－1/2〕－5＝10〔枝〕小紅原來：10×1/2＝5〔枝〕答：小剛原來有彩筆10枝，小紅原來有彩筆5枝。練習3：1．小華今年的年齡是爸爸年齡的1/6，四年后小華的年齡是爸爸的1/4，求小華和爸爸今年的年齡各是多少歲？2．小紅今年的年齡是媽媽的3/8，10年后小紅的年齡是媽媽的1/2，小紅今年多少歲？3．甲書架上的書是乙書架上的5/7，甲、乙兩個書架上各增加90本后，甲書架上的書是乙書架上的4/5，甲、乙兩各書架原來各有多少本書？【例題4】王芳原有的圖書本數(shù)是李衛(wèi)的4/5，兩人各捐給“希望工程〞10本后，那么王芳的圖書的本數(shù)是李衛(wèi)的7/10，兩人原來各有圖書多少本？【思路導航】假設(shè)李衛(wèi)捐了10本后，王芳的圖書仍是李衛(wèi)的4/5，那么王芳只需捐10×4/5＝8本，實際王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本，將李衛(wèi)捐書后剩下的圖書看作“1〞，著2本書相當于4/5－7/10＝1/10。〔10－10×4/5〕÷(4/5－710)=30(本)30×4/5＝24〔本〕答：李衛(wèi)原有圖書30本，王芳原有圖書24本。練習4：1．甲書架上的書是乙書架上的4/5，從這兩個書架上各借出112本后，甲書架上的書是乙書架上的4/7，原來甲、乙兩個書架上各有多少本書？2．小明今年的年齡是爸爸的6/11，10年前小明的年齡是爸爸的4/9，小明和爸爸今年各多少歲？3．甲車間的工人是乙車間的1/4，從甲、乙兩個車間各抽出30人后，甲車間的工人只占乙車間的1/6，甲、乙兩個車間原來各有多少名工人？【例題5】某校六年級男生人數(shù)是女生的23，后來轉(zhuǎn)進2名男生，轉(zhuǎn)走3名女生，這時男生人數(shù)是女生的3/4，現(xiàn)在男、女生各有多少人？【思路導航】假設(shè)轉(zhuǎn)走3名女生后，男生人數(shù)仍是女生的2/3，那么男生應轉(zhuǎn)走3×2/3＝2人，實際上男生卻轉(zhuǎn)進2人，與應轉(zhuǎn)走2人相差2+2＝4人。將轉(zhuǎn)走3名女生后的女生人數(shù)看作“1〞，那么相差的4人相當于現(xiàn)在女生的3/4－2/3?！?+3×2/3〕÷〔3/4－2/3〕＝48〔人〕48×3/4＝36〔人〕答：現(xiàn)在男生有36人，女生有48人。練習5：1．甲車間的工人是乙車間的2/5，后來甲車間增加20人，乙車間減少35人，這樣甲車間的人數(shù)是乙車間的7/9，現(xiàn)在甲、乙兩個車間各有多少人？2．有一堆棋子，黑子是白子的2/3，現(xiàn)在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的5/12，現(xiàn)在白子、黑子各有多少粒？3．愛華小學和曙光小學的同學參加小學數(shù)學競賽，去年的比賽中，愛華小學得一等獎的人數(shù)是曙光小學的2.5倍。今年的比賽中，愛華小學得一等獎的人數(shù)減少了1人，曙光小學增加了6人，這時曙光小學得一等獎的人數(shù)是愛華小學的2倍。兩校去年的一等獎的同學各有多少人？第12講倒推法解題一、知識要點有些應用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過程比擬繁瑣。所以，解題時，我們可以從最后的結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后到前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。二、精講精練【例題1】一本文藝書，小明第一天看了全書的1/3，第二天看了余下的3/5，還剩下48頁，這本書共有多少頁？【思路導航】從“剩下48頁〞入手倒著往前推，它占余下的1－3/5＝2/5。第一天看后還剩下48÷2/5＝120頁，這120頁占全書的1－1/3＝2/3，這本書共有120÷2/3＝180頁。即48÷〔1－3/5〕÷〔1－1/3〕＝180〔頁〕答：這本書共有180頁。練習1：１．某班少先隊員參加勞動，其中3/7的人清掃禮堂，剩下隊員中的5/8清掃操場，還剩12人清掃教室，這個班共有多少名少先隊員？２．一輛汽車從甲地出發(fā)，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到達乙地。甲、乙兩地間的路程是多少千米？３．把一堆蘋果分給四個人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5，丙拿走這時所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15個，這堆蘋果共有多少個？【例題2】筑路隊修一段路，第一天修了全長的1/5又100米，第二天修了余下的2/7，還剩500米，這段公路全長多少米？【思路導航】從“還剩500米〞入手倒著往前推，它占余下的1－2/7＝5/7，第一天修后還剩500÷5/7＝700米，如果第一天正好修全長的1/5，還余下700+100＝800米，這800米占全長的1－1/5＝4/5，這段路全長800÷4/5＝1000米。列式為：【500÷〔1－2/7〕+100】÷〔1－1/5〕＝1000米答：這段公路全長1000米。練習2：１．一堆煤，上午運走2/7，下午運的比余下的1/3還多6噸，最后剩下14噸還沒有運走，這堆煤原有多少噸？２．用拖拉機耕一塊地，第一天耕了這塊地的1/3又2公頃，第二天耕的比余下的1/2多3公頃，還剩下35公頃，這塊地共有多少公頃？３．一批水泥，第一天用去了1/2多1噸，第二天用去了余下1/3少2噸，還剩下16噸，原來這批水泥有多少噸？【例題3】有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出1/3給乙桶后，又從乙桶中倒出1/5給甲桶，這時兩桶油各有24千克，原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油？【思路導航】從最后的結(jié)果出發(fā)倒推，甲、乙兩桶共有〔24×2〕＝48千克，當乙桶沒有倒出1/5給甲桶時，乙桶內(nèi)有油24÷〔1－1/5〕＝30千克，這時甲桶內(nèi)只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出1/3給了乙桶，可見甲桶原有的油為18÷〔1－1/3〕＝27千克，乙桶原有的油為48－27＝21千克。甲：【24×2－24÷〔1－1/5〕】÷〔1－1/3〕＝27〔千克〕乙：24×2－27＝21〔千克〕答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。練習3：１．小華拿出自己的畫片的1/5給小強，小強再從自己現(xiàn)有的畫片中拿出1/4給小華，這時兩人各有畫片12張，原來兩人各有畫片多少張？２．甲、乙兩人各有人民幣假設(shè)干元，甲拿出1/5給乙后，乙又拿出1/4給甲，這時他們各有90元，他們原來各有多少元？３．一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原來瓶中有多少克酒精？【例題4】甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙相同的錢數(shù)給乙；第二次乙拿出與丙相同的錢數(shù)給丙；第三次丙拿出與這時甲相同的錢數(shù)給甲。這樣，甲、乙、丙三人的錢數(shù)相等，原來甲比乙多多少元錢？【思路導航】根據(jù)題意，由最后甲錢數(shù)是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出與乙同樣的錢數(shù)給乙后，甲剩下的錢是56÷2＝28元，這28元就是原來甲比乙多的錢數(shù)。168÷3÷2＝28元答：原來甲比乙多28元。練習4：１．甲、乙、丙三個班共有學生144人，先從甲班調(diào)出與乙班相同的人數(shù)給乙班，再從乙班調(diào)出與丙班相同的人數(shù)到丙班。再從丙班調(diào)出與這時甲班相同的人數(shù)給甲班，這樣，甲、乙、丙三個班人數(shù)相等。原來甲班比乙班多多少人？２．甲、乙、丙三個盒子各有假設(shè)干個小球，從甲盒拿出4個放入乙盒，再從乙盒拿出8個放入丙盒后，三個盒子內(nèi)的小球個數(shù)相等。原來乙盒比丙盒多幾個球？３．甲、乙、丙三個倉庫面粉袋數(shù)的比是6：9：5，如果從乙倉庫拿出400袋平均分給甲、丙兩倉庫，那么甲、乙兩個倉庫的數(shù)量相等。這三個倉庫共存面粉多少袋？【例題5】甲、乙兩個倉庫各有糧食假設(shè)干噸，從甲倉庫運出1/4到乙倉庫后，又從乙倉庫運出1/4到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？【思路導航】解題關(guān)鍵是把兩個倉庫糧食的和看作“1〞，由題意可知，從乙倉庫運出1/4到甲倉庫，乙倉庫最后占兩倉庫和的1/2。①當乙倉庫沒有往甲倉庫運時，乙倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？1/2÷〔1－1/4〕＝2/3②甲倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？1－2/3＝1/3③甲倉庫原來占兩倉庫和的幾分之幾？1/3÷〔1－1/4〕＝4/9④原來甲倉庫時乙倉庫的幾分之幾？4÷〔9－4〕＝4/5答：原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的4/5。練習5：1．甲、乙兩個倉庫各有糧食假設(shè)干噸，從甲倉庫運出1/3到乙倉庫后，又從乙倉庫運出1/3到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？２．甲、乙兩個倉庫各有糧食假設(shè)干噸，從甲倉庫運出1/5到乙倉庫后，又從乙倉庫運出1/4到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？３．甲、乙兩個倉庫各有糧食假設(shè)干噸，從甲倉庫運出1/3到乙倉庫后，又從乙倉庫運出2/5到甲倉庫，這時乙倉庫的糧食是甲倉庫的9/10。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？第13講代數(shù)法解題一、知識要點有一些數(shù)量關(guān)系比擬復雜的分數(shù)應用題，用算術(shù)方法解答比擬繁、難，甚至無法列式算式，這時我們可根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程解答。二、精講精練【例題1】某車間生產(chǎn)甲、乙兩種零件，生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多12個，乙種零件全部合格，甲種零件只有4/5合格，兩種零件合格的共有42個，兩種零件個生產(chǎn)了多少個？【思路導航】本體用算術(shù)方法解有一定難度，可以根據(jù)兩種零件合格的一共有42個，列方程求解。解：設(shè)生產(chǎn)乙種零件x個，那么生產(chǎn)甲種零件〔x+12〕個?！瞲+12〕×4/5+x＝424/5x+9+x＝429/5x＝42－9又3/5x＝1818+12＝30〔個〕答：甲種零件生產(chǎn)了30個，乙種零件生產(chǎn)了18個。練習1：1．某校參加數(shù)學競賽的女生比男生多28人，男生全部得優(yōu)，女生的3/4得優(yōu)，男、女生得優(yōu)的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？2．有兩盒球，第一盒比第二盒多15個，第二盒中全部是紅球，第一盒中的2/5是紅球，紅球一共有69個，兩盒球共有多少個？3．六年級甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人參加課外數(shù)學組，兩個班參加課外數(shù)學組的共有29人，甲、乙兩班共有多少人？【例題2】閱覽室看書的學生中，男生比女生多10人，后來男生減少1/4，女生減少1/6，剩下的男、女生人數(shù)相等，原來一共有多少名學生在閱覽室看書？【思路導航】根據(jù)剩下的男、女人數(shù)相等的題意來列方程求解。解：設(shè)女生有x人，那么男生有〔x+10〕人〔1－1/6〕x＝〔x+10〕×〔1－1/4〕x＝9090+90+10＝190人答：原來一共有190名學生在閱覽室看書。練習2：1．某小學去年參加無線電小組的同學比參加航模小組的同學多5人。今年參加無線電小組的同學減少1/5，參加航模小組的人數(shù)減少1/10，這樣，兩個組的同學一樣多。去年兩個小組各有多少人？2．原來甲、乙兩個書架上共有圖書900本，將甲書架上的書增加5/8，乙書架上的書增加3/10，這樣，兩個書架上的書就一樣多。原來甲、乙兩個書架各有圖書多少本？3．某車間昨天生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多700個。今天生產(chǎn)的甲種零件比昨天少1/10，生產(chǎn)的乙種零件比昨天增加3/20，兩種零件共生產(chǎn)了2065個。昨天兩種零件共生產(chǎn)了多少個？【例題3】甲、乙兩校共有22人參加競賽，甲校參加人數(shù)的1/5比乙校參加人數(shù)的1/4少1人，甲、乙兩校各有多少人參加？【思路導航】這題中的等量關(guān)系是：甲×1/5＝乙×1/4－1解：設(shè)甲校有x人參加，那么乙校有〔22－x〕人參加。1/5x＝〔22－x〕×1/4－1x＝1022－10＝12〔人〕答：甲校有10人參加，乙校有12人參加。練習3：1．學校圖書館買來文藝書和連環(huán)畫共126本，文藝書的比連環(huán)畫的少7本，圖書館買來的文藝書和連環(huán)畫各是多少本？2．某小有學生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？3．王師傅和李師傅共加工零件62個，王師傅加工零件個數(shù)的比李師