2024屆北京市徐悲鴻中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆北京市徐悲鴻中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．2．經(jīng)過點(diǎn)，斜率為2的直線在y軸上的截距為（）A． B． C．3 D．53．已知函數(shù)，（），若對(duì)任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A． B． C． D．4．已知三棱柱()A． B． C． D．5．莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則，的值分別為A． B．C． D．6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．函數(shù)，的值域是（）A． B． C． D．8．若集合A=α|α=π6+kπ,k∈ZA．? B．π6 C．-π9．如圖，正方體中，異面直線與所成角的正弦值等于A． B． C． D．110．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.12．設(shè)，，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若、、三點(diǎn)共線，則的最小值是_______．13．計(jì)算：__________．14．福利彩票“雙色球”中紅色球由編號(hào)為01，02，…，33的33個(gè)個(gè)體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表（下表是隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）選取6個(gè)紅色球，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表中第1行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第3個(gè)紅色球的編號(hào)為______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067615．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.16．已知向量，若，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)、，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)B到直線的距離；（2）求的面積.18．在中，，求角A的值。19．已知直線與.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求a的值.20．已知圓：．（Ⅰ）求過點(diǎn)的圓的切線方程；（Ⅱ）設(shè)圓與軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)及半徑；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？請說明理由．21．手機(jī)支付也稱為移動(dòng)支付，是指允許移動(dòng)用戶使用其移動(dòng)終端（通常是手機(jī)）對(duì)所消費(fèi)的商品或服務(wù)進(jìn)行賬務(wù)支付的一種服務(wù)方式.繼卡類支付、網(wǎng)絡(luò)支付后，手機(jī)支付儼然成為新寵.某金融機(jī)構(gòu)為了了解移動(dòng)支付在大眾中的熟知度，對(duì)15-65歲的人群隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是“你會(huì)使用移動(dòng)支付嗎？”其中，回答“會(huì)”的共有100個(gè)人，把這100個(gè)人按照年齡分成5組，然后繪制成如圖所示的頻率分布表和頻率分布直方圖.組數(shù)第l組第2組第3組第4組第5組分組頻數(shù)203630104（1）求；（2）從第l，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第l，3，4組抽取的人數(shù)：（3）在（2）抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人來自同一個(gè)組的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

容易看出，四邊形是平行四邊形，從而得出.【題目詳解】根據(jù)圖形看出，四邊形是平行四邊形故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查相等向量概念辨析，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再將點(diǎn)斜式方程化為斜截式方程即可得解.【題目詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為2，故點(diǎn)斜式方程為：，化簡得：，故直線在y軸上的截距為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的方程，解題關(guān)鍵是應(yīng)熟知直線的五種方程形式，屬于基礎(chǔ)題,3、A【解題分析】當(dāng)時(shí)，，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，時(shí)不符合題意，故選.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含有絕對(duì)值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特殊值法.主要的需要滿足的是，根據(jù)不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡為，左右兩邊為二次函數(shù)，中間可以由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象平移得到，由此畫出圖象驗(yàn)證是否符合題意.4、C【解題分析】因?yàn)橹比庵?，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝5、A【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的概念可確定；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法可構(gòu)造方程求得.【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)眾數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】，，．選B.點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．7、A【解題分析】

由的范圍求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【題目詳解】∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值1，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最小值，即函數(shù)的值域?yàn)?，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的值域問題，通過自變量的范圍求出整體的范圍是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先化簡集合A,B,再求A∩B.【題目詳解】由題得B={x|-1≤x≤3}，A=?所以A∩B=π故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題,9、D【解題分析】

由線面垂直的判定定理得：，又，所以面，由線面垂直的性質(zhì)定理得：，即可求解．【題目詳解】解：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又，所以面，所以，所以異面直線與所成角的正弦值等于1，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，屬中檔題．10、C【解題分析】

計(jì)算結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

用換元法把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式．然后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．【題目詳解】設(shè)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不等式化為，即，不等式在上恒成立，時(shí)，顯然成立，，對(duì)上恒成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在是減函數(shù)，時(shí)，，∴，即．綜上，．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問題，解題方法是轉(zhuǎn)化與化歸，首先用換元法化指數(shù)型不等式為一元二次不等式，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．12、【解題分析】

根據(jù)三點(diǎn)共線求得的的關(guān)系式，利用基本不等式求得所求表達(dá)式的最小值.【題目詳解】依題意，由于三點(diǎn)共線，所以，化簡得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三點(diǎn)共線的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

分子分母同除以，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“”型的極限計(jì)算，熟記常用做法即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、05【解題分析】

根據(jù)給定的隨機(jī)數(shù)表的讀取規(guī)則，從第一行第6、7列開始，兩個(gè)數(shù)字一組，從左向右讀取，重復(fù)的或超出編號(hào)范圍的跳過，即可.【題目詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，排除超過33及重復(fù)的編號(hào)，第一個(gè)編號(hào)為21，第二個(gè)編號(hào)為32，第三個(gè)編號(hào)05，故選出來的第3個(gè)紅色球的編號(hào)為05.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡單隨機(jī)抽樣中的隨機(jī)數(shù)表法，屬于容易題.15、【解題分析】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識(shí)與計(jì)算，利用向量相等解題.16、【解題分析】

直接利用向量平行性質(zhì)得到答案.【題目詳解】，若故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量平行的性質(zhì)，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意求得所在直線的斜率再由直線方程點(diǎn)斜式求的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；（2）設(shè)的坐標(biāo)，由題意列式求得的坐標(biāo)，再求出，代入三角形面積公式求解．【題目詳解】（1）由題意，，直線的方程為，即．點(diǎn)到直線的距離；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即，．的面積．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，是基礎(chǔ)題．18、或【解題分析】

根據(jù)的值可確定，進(jìn)而得到，利用兩角和差公式、二倍角公式和輔助角公式化簡求值可求得，根據(jù)所處范圍可求得的值，進(jìn)而求得角.【題目詳解】且或或【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角恒等變換的公式化簡求值的問題，涉及到兩角和差的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式的應(yīng)用、特殊角三角函數(shù)值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過三角恒等變換公式，整理化簡已知式子，得到與所求角有關(guān)的角的三角函數(shù)值.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，直線與聯(lián)立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)?，所以，即解?【題目點(diǎn)撥】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎(chǔ)簡單題目．20、（Ⅰ）或；（Ⅱ）（?。﹫A心為，半徑；（ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）先判斷在圓外，所以圓過點(diǎn)的切線有兩條．再由斜率是否存在分別討論．（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)直線PA和PB把其與直線交于，兩點(diǎn)表示出來，寫出圓的方程化簡即可．（ⅱ）先求出以為直徑的圓被軸截得的弦長，在設(shè)出PA和PB的直線方程，分別求出與直線的交點(diǎn)，求出圓心，再根據(jù)勾股定理易求解．【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以圓過點(diǎn)的切線有兩條．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，即．由圓心到切線的距離，解得．此時(shí)切線方程為．綜上，圓的切線方程為或．（Ⅱ）因?yàn)閳A與軸相交于，兩點(diǎn)，所以，．（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為，直線的方程為．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理直線的斜率為，直線的方程為．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．所以以為直徑的圓的圓心為，半徑．（ⅱ）以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．設(shè)點(diǎn)，則．直線的斜率為，直線的方程為．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．同理直線的斜率為，直線的方程為．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．所以圓的圓心，半徑為．方法一：圓被軸截得的弦長為．所以以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．方法二：圓的方程為．令，解得．所以．所以圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．所以以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．【題目點(diǎn)撥】此題考查解析幾何中關(guān)于圓的題目，一般做法是設(shè)而不求，將需要的信息表示出來再化簡求值，屬于一般性題目．21、(1)；(2)第1組2人,第3組3人，第4組1人；(3)【解題分析】

（1）直接計(jì)算.（2）根據(jù)分層抽樣的規(guī)律按照比例抽取.（3）設(shè)第1組抽取的2人為，，第3組抽取的3人為，，，第4組抽取的1人為，排列出所有可能