八年級(jí)數(shù)學(xué)（第十五章 一次函數(shù)）15.3 等腰三角形（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

15.3等腰三角形第十五章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)感悟新知知1－講知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)11.定理1

等腰三角形的兩底角相等

(簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”).幾何語(yǔ)言：如圖15.3-1，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.應(yīng)用它的前提是在同一個(gè)三角形中.知1－講感悟新知特別提醒1.適用條件：必須在同一個(gè)三角形中.2.作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證明角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便.感悟新知知1－講2.定理2

等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊(簡(jiǎn)稱“三線合一”).

如圖15.3-1，在△ABC

中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC

，∴AD

平分∠BAC(或BD=CD)；知1－講感悟新知特別解讀1.適用條件：(1)必須是等腰三角形；(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才互相重合.2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直的重要方法

.感悟新知知1－講(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD

平分∠BAC)；(3)∵AB=AC，AD

平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)．感悟新知知1－講3.對(duì)稱性?等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸．感悟新知知1－練如圖15.3-2，在△ABC

中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC=100°，求∠B、∠C

的度數(shù)；(3)若BC=3cm，求BD

的長(zhǎng).例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.解：(1)∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.知1－練感悟新知

感悟新知特別提醒在等腰三角形中，運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì)時(shí)，已知其中“一線”，就可以得到另外“兩線”.根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)可以得到等線段、等角以及兩條直線互相垂直．知1－練知1－練感悟新知如圖15.3-3，在△ABC

中，AB=AC，BD，CE分別是AC，AB邊上的高.求證：BD=CE.例2

知1－練感悟新知解題秘方：利用等腰三角形的邊角性質(zhì)為證明△BEC

和△CDB

全等創(chuàng)造條件.感悟新知解法提醒方法一是利用等腰三角形的定理1為三角形全等提供角相等的條件來(lái)解決問(wèn)題.由此可得等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形兩腰上的中線相等.2.等腰三角形兩腰上的高相等.3.等腰三角形兩底角的平分線也相等.方法二是利用面積法，由此方法還可得等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.知1－練知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)21.定義?

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.感悟新知知2－講2.性質(zhì)?(1)等邊三角形的三條邊都相等.(2)等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線.(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長(zhǎng)度相等.知2－講感悟新知特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：任意兩邊都可以作為腰；任意一個(gè)角都可以作為頂角.知2－練感悟新知如圖15.3-4，在等邊三角形ABC中，BC=8，過(guò)BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE=60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D

與點(diǎn)E．例3知2－練感悟新知解題秘方：掌握等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．知2－練感悟新知(1)在圖中找出與∠EPC

始終相等的角，并說(shuō)明理由．解：∠BDP=∠EPC，理由如下：∵△ABC

為等邊三角形，∴∠B=60°.∵∠DPE=60°，∴∠DPE=∠B.∵∠DPC

是△BDP

的外角，∴∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，∴∠EPC=∠BDP.知2－練感悟新知(2)若△PDE為等邊三角形，求BD+CE

的值．

感悟新知解法提醒等邊三角形的三個(gè)角都為60°，根據(jù)此轉(zhuǎn)化可得角之間的關(guān)系，這是典型的“一線三等角”型.知2－練知2－練感悟新知如圖15.3-5，等邊三角形ABC

的邊長(zhǎng)為3，D

是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在BC的延長(zhǎng)線上.若DE=DB，求CE的長(zhǎng).例4

知2－練感悟新知解題秘方：利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)將未知線段向已知線段轉(zhuǎn)化.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

感悟新知方法點(diǎn)撥等邊三角形具有“三線合一”的性質(zhì)，有時(shí)要運(yùn)用的和已知的不一致，需要通過(guò)“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出要求線段與已知線段的關(guān)系，再解答.知2－練知2－練感悟新知如圖15.3-6①，點(diǎn)P，Q

分別是等邊三角形ABC

邊AB，BC

上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P

從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q

從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ，CP交于點(diǎn)M．例5知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)等邊三角形邊相等、角相等的性質(zhì)，證明△ABQ≌△CAP是解題關(guān)鍵.知2－練感悟新知(1)求證：△ABQ≌△CAP；

知2－練感悟新知(2)當(dāng)點(diǎn)P，Q

分別在AB，BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)；解：∠QMC的大小不變化．∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP.∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.知2－練感悟新知(3)如圖15.3-6②，若點(diǎn)P，Q

在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB，BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ，CP

交點(diǎn)為M，則∠QMC的大小變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；知2－練感悟新知解：∠QMC的大小不變化．易知△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP.∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°－∠PAC=180°－60°=120°．感悟新知解法提醒等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角都等于60°，為三角形全等創(chuàng)造了邊、角相等的條件.知2－練知3－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定31.判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”)

.幾何語(yǔ)言：如圖15.3-7，在△ABC

中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.感悟新知知3－講特別提醒◆“等角對(duì)等邊”不能敘述為“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩條腰相等”，因?yàn)樵谖磁卸ǔ鏊堑妊切沃?，不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.◆“等角對(duì)等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過(guò)程中，經(jīng)常通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對(duì)的邊相等.感悟新知2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”.不同點(diǎn)：由三角形的兩邊相等，得到它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即，等腰三角形的性質(zhì)：兩邊相等→這兩邊所對(duì)的角相等.等腰三角形的判定：兩角相等→這兩角所對(duì)的邊相等.知3－講知3－練感悟新知[模擬·廣東]如圖15.3-8，在△ABC

中，BD，AE分別是AC，BC

邊上的高，它們相交于點(diǎn)F，且AF=BC．求證：△ABD

是等腰三角形．例6

知3－練感悟新知解題秘方：利用三角形全等即可得出BD=AD，從而利用定義判定△ABD

是等腰三角形．知3－練感悟新知

感悟新知解法提醒掌握判定三角形是等腰三角形的兩種方法是解題的關(guān)鍵：一是利用定義直接證明兩條邊相等；二是利用判定定理證明．知3－練知3－練感悟新知[期末·上海松江區(qū)]如圖15.3-9，已知在△ABD

中，AB=BD，∠ADE=∠B.求證：△ADE

是等腰三角形.例7知3－練感悟新知解題秘方：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠AED=∠BAD，利用等腰三角形的判定定理即可．知3－練感悟新知證明：∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA.∵∠ADE=∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED=180°，∠B+∠BDA+∠BAD=180°，∴∠AED=∠BAD.∴ED=AD.∴△ADE

是等腰三角形．感悟新知方法點(diǎn)撥根據(jù)等腰三角形的判定定理可知，證明一個(gè)三角形是等腰三角形，就是要證明這個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等，

所以證明兩個(gè)內(nèi)角相等是判定等腰三角形的關(guān)鍵所在.知3－練感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定41.推論1

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言：如圖15.3-10，在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形.感悟新知知4－講2.推論2

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言：如圖15.3-10，在△ABC

中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)，∴△ABC

是等邊三角形.感悟新知知4－講證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖知4－講感悟新知特別解讀在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，推論2都成立.感悟新知知4－練[期中·天津和平區(qū)]如圖15.3-11，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AF

為BC

邊上的中線，D

為AF

上的一點(diǎn)且BD的垂直平分線過(guò)點(diǎn)C

并交BD

于點(diǎn)E．求證：△BCD

是等邊三角形.例8

知4－練感悟新知解題秘方：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可推出BD=DC=BC，再利用等邊三角形的定義得出結(jié)論．知4－練感悟新知證明：∵AB=AC，AF

為BC

邊上的中線，∴AF⊥BC，BF=CF，∴BD=DC.∵CE

是BD

的垂直平分線，∴BC=CD.∴BD=DC=BC.∴△BCD是等邊三角形．知4－練感悟新知解法提醒掌握等邊三角形的三種判定方法是解此題的關(guān)鍵．感悟新知知4－練

[期末·西安藍(lán)田]如圖15.3-12，在△ABC

中，DE

是AC

邊的垂直平分線，且分別交BC，AC

于點(diǎn)D，E，∠B=60°，∠C=30°.求證：△ABD

是等邊三角形．例9知4－練感悟新知解題秘方：根據(jù)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形證明即可．知4－練感悟新知證明：∵DE

垂直平分線段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°.∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°.又∵∠B=60°，∴∠BAD=60°.∴∠B=∠ADB=∠BAD.∴△ABD

是等邊三角形．知4－練感悟新知教你一招從角的角度證明三角形是等邊三角形，兩條思路：一是證明三角形的三個(gè)內(nèi)角相等；二是求出三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)都是60°.感悟新知知4－練[期中·成都]已知：如圖15.3-13，△ABC，△CDE都是等邊三角形，AD，BE

相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)．例10

知4－練感悟新知解法提醒判定一個(gè)三角形是等邊三角形的思路：1.若已知三邊關(guān)系，則選用等邊三角形的定義來(lái)判定.2.若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”來(lái)判定.3.若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”來(lái)判定.知4－練感悟新知解題秘方：先證明△ACM≌△BCN，推出CM=CN

和∠NCM=60°，即可利用推論2進(jìn)行判定．感悟新知知4－練(1)求證：AD=BE；

感悟新知知4－練(2)求∠DOE

的度數(shù)；解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE

是等邊三角形，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=

∠CED+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180°－(∠ADE+∠BED)=60°.感悟新知知4－練(3)求證：△MNC

是等邊三角形．

知4－練感悟新知∴△ACM≌△BCN，(SAS)∴CM=CN，∠ACM=∠BCN.又∵∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=∠BCN+∠MCB=60°.∴∠MCN=60°，∴△MNC是等邊三角形．知5－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)5

感悟新知知5－講特別解讀◆應(yīng)用此性質(zhì)，必須滿足兩個(gè)條件：1.在直角三角形中；2.有一個(gè)銳角為30°.二者缺一不可.◆含30°角的直角三角形的性質(zhì)是求線段長(zhǎng)度和證明線段倍分關(guān)系的重要依據(jù).感悟新知2.作用應(yīng)用于證線段的倍分關(guān)系和計(jì)算角度.知5－講知5－練感悟新知[期末·汝州]如圖15.3-15，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB

于B，CE⊥AD交AD

的延長(zhǎng)線于E，連接BE．例11知5－練感悟新知解題秘方：通過(guò)證明三角形全等可得CE=CB.在Rt△AEC

中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求出AC的長(zhǎng).感悟新知教你一招含30°角的直角三角形的性質(zhì)揭示直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系.知5－練知5－練感悟新知(1)求證：CE=CB；證明：∵AD=CD，∴∠