八年級(jí)數(shù)學(xué)（第十九章 四邊形）19.2 平行四邊形（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

19.2平行四邊形第十九章四邊形第1課時(shí)平行四邊形的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平行四邊形平行四邊形的邊、角性質(zhì)兩條平行線之間的距離平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)平行四邊形11.定義?兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.感悟新知知1－講特別提醒平行四邊形的定義有兩個(gè)要素：(1)是四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別平行.作為四邊形，平行四邊形具有一般四邊形的一切性質(zhì)，如有四條邊，四個(gè)內(nèi)角，兩條對(duì)角線，內(nèi)角和為360°，外角和為360°等.作為平行四邊形，它區(qū)別于其他一般四邊形的特殊性質(zhì)為：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行.感悟新知知1－講

感悟新知2.表示方法?平行四邊形用符號(hào)“?”表示，如圖19.2－1，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”

.知1－講感悟新知注意：(1)表示平行四邊形一定要按順時(shí)針或逆時(shí)針依次注明各頂點(diǎn)，不能打亂順序.(2)“?”作為表示平行四邊形的符號(hào)，不可單獨(dú)使用它來(lái)代替“平行四邊形”.知1－講感悟新知3.平行四邊形的基本元素知1－講基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四對(duì)對(duì)邊AB和DC，AD和BC，共有兩對(duì)角鄰角∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠DAB和∠ABC，共有四對(duì)對(duì)角∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有兩對(duì)對(duì)角線AC和BD，共有兩條知1－練感悟新知如圖19.2－2，在ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P

作直線EF，GH分別平行于AB，BC，那么圖中共有個(gè)平行四邊形.例1解題秘方：緊扣平行四邊形定義中的“兩要素”進(jìn)行識(shí)別.知1－練感悟新知解：在ABCD中，∵EF∥AB，GH∥BC，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC.∴單獨(dú)一個(gè)四邊形是平行四邊形的有4個(gè)：?DEPH，?EAGP，?HPFC，?PGBF；由兩個(gè)四邊形組成的平行四邊形有4個(gè)：?DEFC，?EABF，?DAGH，?HGBC；由四個(gè)四邊形組成的平行四邊形有1個(gè)：

?ABCD.∴圖中共有9個(gè)平行四邊形.答案：9知1－練感悟新知方法點(diǎn)撥用分類法數(shù)幾何圖形的個(gè)數(shù)：數(shù)幾何圖形的個(gè)數(shù)時(shí)，往往不是多數(shù)了就是漏數(shù)了.若將幾何圖形分類(按順序或大小)數(shù)，就能將問(wèn)題簡(jiǎn)化，如例1，將平行四邊形分為由一個(gè)、兩個(gè)、四個(gè)四邊形組成的平行四邊形，這樣就能做到不重不漏.知1－練感悟新知如圖19.2－3，在ABCD

中，∠1=∠2.求證：四邊形BEDF

是平行四邊形.例2

知1－練感悟新知證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，即DE∥BF，∴∠1=∠DFA.∵∠1=∠2，∴∠2=∠DFA，∴DF∥BE，∴四邊形BEDF

是平行四邊形.解題秘方：緊扣平行四邊形定義的“性質(zhì)功能和判定功能”進(jìn)行證明.知1－練感悟新知解法提醒當(dāng)題目的條件中有平行四邊形時(shí)，應(yīng)立即想到兩組對(duì)邊分別平行；當(dāng)題目的結(jié)論要證平行四邊形時(shí)，首先應(yīng)想到證明它的兩組對(duì)邊分別平行.逆向利用及正向利用平行四邊形的定義是后面學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)及判定的主要依據(jù).感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的邊、角性質(zhì)21.性質(zhì)1?平行四邊形的對(duì)邊相等.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.2－4，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC.感悟新知知2－講2.性質(zhì)2?平行四邊形的對(duì)角相等.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.2－4，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D.知2－講感悟新知特別提醒由于平行四邊形的基本元素有邊和角，因此討論其性質(zhì)也應(yīng)從邊和角這兩個(gè)方面去看.1.從邊看：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；2.從角看：平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ).注意：已知平行四邊形，要根據(jù)推理證明的需要，合理選用性質(zhì).感悟新知知2－練如圖19.2－5，在平行四邊形ABCD

中，若AC=10，AD=6，∠ACB=30°，求平行四邊形ABCD的面積.例3知2－練感悟新知解題秘方：過(guò)A

點(diǎn)作AG⊥BC，交CB

的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AG

的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用平行四邊形的面積公式解答．知2－練感悟新知解：如圖19.2－5，過(guò)A

點(diǎn)作AG⊥BC，交CB

的延長(zhǎng)線于G，在Rt△AGC中，AC=10，∠ACB=30°，∴AG=5.∵平行四邊形的對(duì)邊相等，∴BC=AD=6，∴平行四邊形ABCD

的面積=BC·AG=5×6=30．知2－練感悟新知解法提醒緊扣“平行四邊形的邊的性質(zhì)”進(jìn)行解答.感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)兩條平行線之間的距離31.定義?兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.知3－講感悟新知特別提醒1.距離是指垂線段的長(zhǎng)度，它是正值；2.當(dāng)兩條平行線確定后，它們之間的距離是一定值；3.平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置；4.任何兩條平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是兩條平行線間最短線段的長(zhǎng)度.感悟新知知3－講三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系類別兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離區(qū)別連接兩點(diǎn)的線

段的長(zhǎng)度點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長(zhǎng)度聯(lián)系都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)間的一條線段的長(zhǎng)度感悟新知知3－講2.性質(zhì)如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等，即平行線間的距離處處相等.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.2－6，A，C

是l1上任意兩點(diǎn)，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB=CD.感悟新知知3－講3.拓展(1)夾在兩條平行線間的任何平行線段都相等.(2)等底等高的平行四邊形的面積相等.感悟新知知3－講(3)

平行四邊形的面積=底×高=ah

(其中a

是平行四邊形的任意一條邊長(zhǎng)，h必須是這條邊與它的對(duì)邊之間的距離)

.如圖19.2－7所示，在ABCD

中，AE⊥BC

于點(diǎn)E，CF⊥AB

于點(diǎn)F，則S?

ABCD=BC·AE=AB·CF.知3－練感悟新知如圖19.2－8，直線a∥b，點(diǎn)A，E，F(xiàn)

在直線a上，點(diǎn)B，C，D在直線b上，BC=EF.△ABC與△DEF的面積相等嗎？為什么？例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣等底等高的三角形面積相等作三角形的高進(jìn)行說(shuō)明.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知解法提醒1.由平行線間的距離處處相等，可知頂點(diǎn)都在兩平行線上的三角形的高相等.2.解頂點(diǎn)在兩平行線上的三角形的面積問(wèn)題常作高(兩平行線間的垂線段)進(jìn)行解答.感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)4

感悟新知知4－講2.拓展性質(zhì)(1)

平行四邊形的一條對(duì)角線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，兩條對(duì)角線將平行四邊形分成面積相等的四部分.(2)

若一條直線過(guò)平行四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長(zhǎng)和面積.知4－講感悟新知

感悟新知知4－練[月考·揚(yáng)州]如圖19.2－11，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O

作EF⊥AC，分別交AB、DC于點(diǎn)E、F．若OE=3，求EF

的長(zhǎng)；例5知4－練感悟新知解題秘方：判定△DOF≌△BOE，即可得OE=OF=3，進(jìn)而得出EF

的長(zhǎng).知4－練感悟新知解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，OD=OB，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO．∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴OE=OF，∵OE=3，∴EF=6.知4－練感悟新知解法提醒本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．感悟新知知4－練如圖19.2－12，在ABCD

中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O

作直線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).判斷四邊形ABFE的面積與四邊形FCDE

的面積有何關(guān)系，并說(shuō)明理由.例6

知4－練感悟新知解題秘方：緊扣平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.知4－練感悟新知解：S

四邊形ABFE=S四邊形FCDE.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4，∴△AOE≌△COF.∴S

△AOE=S

△COF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=DA，∠ABC=∠CDA.知4－練感悟新知∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC=S

△CDA.∵S

四邊形ABFE=S

△ABC－S

△COF+S

△AOE=S

△ABC，S

四邊形FCDE=S

△CDA－S

△AOE+S

△COF=S

△CDA，∴S四邊形ABFE=S

四邊形FCDE.知4－練感悟新知特別提醒這是平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)的兩個(gè)拓展結(jié)論，即1.平行四邊形的一條對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)面積相等的三角形.2.過(guò)平行四邊形的兩條對(duì)角線交點(diǎn)的一條直線將平行四邊形分成兩個(gè)面積相等的梯形.本例的實(shí)質(zhì)是知識(shí)點(diǎn)中的兩條拓展性質(zhì)的部分結(jié)論的證明過(guò)程.平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形定義性質(zhì)表示方法平行線間的距離19.2平行四邊形第十九章四邊形第2課時(shí)平行四邊形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平行四邊形的判定三角形的中位線知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的判定11.判定方法?判定平行四邊形可以從對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行，如圖19.2－27，在四邊形ABCD

中，AC，BD相交于點(diǎn)O，具體方法如下表所示.感悟新知知1－講特別提醒1.平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是互逆定理，解題時(shí)要注意區(qū)別，不能混淆

.(1)由平行四邊形這一條件得到邊、角、對(duì)角線的關(guān)系是性質(zhì)；(2)由邊、角、對(duì)角線的關(guān)系得到平行四邊形是判定.感悟新知知1－講2.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.3.兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形.感悟新知知1－講條件類型判定方法數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)邊關(guān)系兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵ADBC(或ABCD)，

∴四邊形ABCD是平行四邊形定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AD=BC，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形感悟新知知1－講對(duì)角關(guān)系兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（補(bǔ)充）∵∠DAB=∠DCB，

∠ABC=∠ADC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形對(duì)角線關(guān)系定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形感悟新知2.靈活選擇平行四邊形判定定理的方法(1)

已知一組對(duì)邊平行，可證明該組對(duì)邊相等或證明另一組對(duì)邊平行.(2)已知一組對(duì)邊相等，可證明該組對(duì)邊平行或證明另一組對(duì)邊相等.(3)已知條件與對(duì)角線有關(guān)，可證明對(duì)角線互相平分.(4)已知條件與角有關(guān)，可證明兩組對(duì)角分別相等.知1－講感悟新知知1－講方法提醒判定平行四邊形的方法選擇已知條件證明思路一組對(duì)邊相等1.另一組對(duì)邊相等2.該組對(duì)邊平行一組對(duì)邊平行1.另一組對(duì)邊平行2.該組對(duì)邊相等對(duì)角線相交對(duì)角線互相平分角兩組對(duì)角相等知1－練感悟新知[中考·郴州]如圖19.2－28，四邊形ABCD

中，AB=DC，將對(duì)角線AC向兩端分別延長(zhǎng)至點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=CF．連接BE，DF，若BE=DF．證明：四邊形

ABCD是平行四邊形．例1知1－練感悟新知解題秘方：針對(duì)條件“AB=DC”，緊扣邊的關(guān)系來(lái)判定平行四邊形.

知1－練感悟新知解題通法由邊的關(guān)系判定平行四邊形的方法1.若已知一組對(duì)邊平行，則可采用證這組對(duì)邊相等或另一組對(duì)邊平行這兩種方法判定平行四邊形.2.若已知一組對(duì)邊相等，則可采用證這組對(duì)邊平行或另一組對(duì)邊相等這兩種方法判定平行四邊形.知1－練感悟新知如圖19.2－29，在?ABCD

中，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，DF

平分∠ADC，交BC

于點(diǎn)F，那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？例2

知1－練感悟新知解題秘方：針對(duì)條件中與角有關(guān)的條件居多這一特點(diǎn)，緊扣“兩組對(duì)角相等”來(lái)判定平行四邊形.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知∵∠DFB=∠C+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠A，∴∠DFB=∠BED，∴四邊形BFDE是平行四邊形.知1－練感悟新知解法提醒當(dāng)已知條件中與角有關(guān)的條件居多時(shí)，應(yīng)從角的角度考慮判定平行四邊形的方法，因此可利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形來(lái)判定.知1－練感悟新知[中考·徐州]已知：如圖19.2－30，在平行四邊形ABCD

中，點(diǎn)E，F(xiàn)

在AC上，且AE=CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.例3知1－練感悟新知解題秘方：由于條件都與四邊形的對(duì)角線相關(guān)，因此需緊扣對(duì)角線的關(guān)系判定平行四邊形.知1－練感悟新知證明：如圖19.2－30，連接BD，對(duì)角線AC，BD

交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AE=CF，∴OA

－AE=OC

－CF，即OE=OF.∴四邊形BEDF是平行四邊形.知1－練感悟新知解法提醒當(dāng)已知條件都與對(duì)角線相關(guān)時(shí)，應(yīng)從對(duì)角線的角度考慮判定平行四邊形的方法，而從對(duì)角線的角度判定平行四邊形，一般結(jié)合已知平行四邊形的性質(zhì)，利用已知平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)去判定要說(shuō)明的四邊形是平行四邊形.感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線21.平行線等分線段定理?如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.感悟新知知2－講2.推論?經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.3.三角形的中位線的定義?連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖19.2－31，∵AD=BD，AE=EC，∴DE

是△ABC

的中位線.知2－講感悟新知特別提醒1.一個(gè)三角形有三條中位線；2.三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形；3.三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別：三角形的中線是連接一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中位線則是連接兩邊中點(diǎn)的線段；4.三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.感悟新知知2－講

感悟新知知2－練[月考·浦城縣]已知：如圖19.2－32，E為?ABCD中DC

邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC

交BD于O，連接OF，判斷AB

與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例4

知2－練感悟新知解題秘方：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定及三角形的中位線定理，綜合的知識(shí)點(diǎn)比較多，解答本題的關(guān)鍵是