八年級(jí)數(shù)學(xué)（第十八章 平面直角坐標(biāo)系）18.1 勾股定理（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

18.1勾股定理第十八章勾股定理逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2勾股定理勾股定理的證明勾股定理的應(yīng)用知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)勾股定理11.勾股定理?直角三角形的兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.國外稱為畢達(dá)哥拉斯定理.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖18.1－1，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，則a2+b2=c2.感悟新知知1－講特別提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理已知其中任意兩邊可以求出第三邊.3.運(yùn)用勾股定理時(shí)，若分不清哪條邊是斜邊，則要分類討論，寫出所有可能，以免漏解或錯(cuò)解.感悟新知2.勾股定理的變形公式?a2=c2－b2；b2=c2－a2.3.基本思想方法?勾股定理把“形”與“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合起來，即把直角三角形這個(gè)“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范.知1－講知1－練感悟新知在Rt△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊分別為a，b，c，∠C=90°.例1解題秘方：緊扣“勾股定理的特征”解答.知1－練感悟新知(1)已知a=3，b=4，求c；

知1－練感悟新知(2)已知c=19，a=13，求b(結(jié)果保留根號(hào))；

知1－練感悟新知(3)已知a∶b=1∶2，c=5，求b.

知1－練感悟新知解法提醒分清待求的是斜邊還是直角邊，以便合理選擇是直接用勾股定理還是變形公式.若求斜邊則直接用勾股定理；若求直角邊，則用變形公式.知1－練感悟新知已知直角三角形兩邊的長分別是3和4，則第三邊的長為__________

.例2

知1－練感悟新知特別警示此類問題容易出錯(cuò)的地方是忽視第二種情況，直接認(rèn)為第三邊是斜邊，得到答案為5，從而漏解

.知1－練感悟新知

解題秘方：緊扣“所求第三邊可能是斜邊或直角邊”，進(jìn)行分類解答.

知1－練感悟新知方法點(diǎn)撥：直接求三角形的邊長問題一般借助勾股定理求值，但一定要分清楚直角邊和斜邊，一旦問題沒有明確直角邊和斜邊，那么就要進(jìn)行分類討論.感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)勾股定理的證明21.常用證法?驗(yàn)證勾股定理的方法很多，有測(cè)量法，幾何證明法；但最常用的是通過拼圖，構(gòu)造特殊圖形，并根據(jù)拼圖中各部分面積之間的關(guān)系來驗(yàn)證.感悟新知知2－講2.著名證法舉例方法圖形證明趙爽“趙

爽弦圖”劉徽“青

朱出入

圖”設(shè)大正方形的面積為S，則S=c2.根據(jù)“出入相補(bǔ)，以盈補(bǔ)虛”的原理，有S=a2+b2，所以a2+b2=c2感悟新知知2－講方法圖形證明加菲爾德

總統(tǒng)拼圖畢達(dá)哥拉

斯拼圖知2－講感悟新知特別提醒通過拼圖證明命題的思路：1.圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，面積就不會(huì)改變；2.根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；知2－講感悟新知3.利用等式性質(zhì)變換驗(yàn)證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)命題結(jié)論.通過拼圖，利用求面積來驗(yàn)證，這種方法以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，以圖形拼補(bǔ)為手段，以各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)而達(dá)到目的.感悟新知知2－練一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種驗(yàn)證方法.如圖18.1－2所示，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD

倒下后到四邊形AB′C′D′的位置，連接AC，AC′，CC′，設(shè)AB=a，BC=b，AC=c.請(qǐng)利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理：a2+b2=c2.例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“總面積等于各部分面積之和”進(jìn)行驗(yàn)證.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知詳解Rt△AB′C′是火柴盒ABCD中Rt△ABC倒下得到的，因此Rt△ABC

的形狀、大小未改變，只是位置由Rt△ABC改變?yōu)镽t△AB′C′，所以Rt△ABC≌Rt△AB′C′.知2－練感悟新知

整個(gè)圖形面積等于不重疊、無空隙的各組成部分的面積的和.感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用31.勾股定理的應(yīng)用范圍勾股定理是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，它把直角三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系.利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)的計(jì)算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實(shí)際問題.感悟新知知3－講2.勾股定理應(yīng)用的常見類型(1)已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；(2)已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；(3)證明包含有平方(算術(shù)平方根)關(guān)系的幾何問題；(4)求解幾何體表面上的最短路程問題；(5)構(gòu)造方程(或方程組)計(jì)算有關(guān)線段長度，解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題.知3－講感悟新知特別提醒運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：1.從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形.2.確定要求的線段所在的直角三角形.3.找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系.4.求得結(jié)果.知3－練感悟新知如圖18.1－3所示，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，求CD

的長.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“同一三角形的面積的兩種表示法”求解.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知如圖18.1－4所示，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于點(diǎn)P.求證：BP2=BC2+AP2.例5知3－練感悟新知解題秘方：將要證明的線段歸結(jié)到不同的直角三角形中，結(jié)合等式的性質(zhì)證明.知3－練感悟新知證明：如圖18.1－4，連接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均為直角三角形.∴BP2+PM2=BM2，AP2+PM2=AM2.同理可得BC2+CM2=BM2，知3－練感悟新知∴BP2+PM2=BC2+CM2.又∵CM=AM，∴CM2=AM2=AP2+PM2.∴BP2+PM2=BC2+AP2+PM2.∴BP2=BC2+AP2.知3－練感悟新知另解本題考查了勾股定理．正確利用等量代換是解題的難點(diǎn)．知3－練感悟新知如圖18.1－5，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米例6

知3－練感悟新知解題秘方：將實(shí)際應(yīng)用問題通過建模