2024屆江西省南昌市第八中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆江西省南昌市第八中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個頂點都在一個球面上，則球的體積為（）.A． B． C． D．2．計算的值為（）A． B． C． D．3．下列命題中正確的是（）A． B．C． D．4．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．不能確定5．數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A． B．C． D．6．同時擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為5的概率為()A． B． C． D．7．已知圓，直線．設圓O上到直線l的距離等于2的點的個數(shù)為k，則（）A．1 B．2 C．3 D．48．給出下列命題：（1）存在實數(shù)使.（2）直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，則.其中正確命題的題號為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）9．在中，角所對的邊分別為，若，，，則等于（）A．4 B． C． D．10．在正方體中為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列定義為，則_______.12．已知，，兩圓和只有一條公切線，則的最小值為________13．某單位共有200名職工參加了50公里徒步活動，其中青年職工與老年職工的人數(shù)比為，中年職工有24人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法抽取50人參加對本次活動滿意度的調查，那么應抽取老年職工的人數(shù)為________人.14．已知，若對任意，均有，則的最小值為______；15．已知數(shù)列的通項公式，則____________．16．在中，為上的一點，且，是的中點，過點的直線，是直線上的動點，，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，以Ox為始邊作角與（），它們終邊分別單位圓相交于點、，已知點的坐標為．（1）若，求角的值；（2）若·，求．18．如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.19．已知的三個內角、、的對邊分別是、、，的面積，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若中，邊上的高，求的值.20．已知、、是同一平面內的三個向量，其中=（1，2），=（﹣2，3），=（﹣2，m）（1）若⊥（+），求||；（2）若k+與2﹣共線，求k的值．21．已知數(shù)列的前項和為，且2，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】試題分析：直三棱柱的各項點都在同一個球面上，如圖所示，所以中，，所以下底面的外心為的中點，同理，可得上底面的外心為的中點，連接，則與側棱平行，所以平面，再取的中點，可得點到的距離相等，所以點是三棱柱的為接球的球心，因為直角中，，所以，即外接球的半徑，因此三棱柱外接球的體積為，故選A.考點：組合體的結構特征；球的體積公式.【方法點晴】本題主要考查了球的組合體的結構特征、球的體積的計算，其中解答中涉及到三棱柱的線面位置關系、直三棱柱的結構特征、球的性質和球的體積公式等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力和學生的空間想象能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.2、D【解題分析】

直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【題目詳解】由二倍角公式得：，故選D.【題目點撥】本題考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎題.3、D【解題分析】

根據(jù)向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義即可判斷．【題目詳解】，，，，故選D．【題目點撥】本題主要考查向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義的應用．4、B【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質與冪函數(shù)性質可得．【題目詳解】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則它在上是減函數(shù)，所以．故選：B．【題目點撥】本題考查冪函數(shù)的性質，考查偶函數(shù)性質，屬于基礎題．5、B【解題分析】分析：先根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比較即可．詳解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故選B．點睛：本題主要考查了等比數(shù)列的性質．比較兩數(shù)大小一般采取做差的方法．屬于基礎題．6、C【解題分析】

求出基本事件空間，找到符合條件的基本事件，可求概率.【題目詳解】同時擲兩枚骰子,所有可能出現(xiàn)的結果有：共有36種，點數(shù)之和為5的基本事件有：共4種；所以所求概率為.故選C.【題目點撥】本題主要考查古典概率的求解，側重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).7、B【解題分析】

找出圓O的圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d，根據(jù)d與r的大小關系及r-d的值，即可作出判斷．【題目詳解】由圓的方程得到圓心O(0,0),半徑，∵圓心O到直線l的距離,且r?d=?1<2，∴圓O上到直線l的距離等于2的點的個數(shù)為2，即k=2.故選：B.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，利用圓心到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d，根據(jù)d與r的大小關系可判斷直線與圓的位置，考查計算和幾何應用能力，屬于基礎題.8、C【解題分析】

（1）化簡求值域進行判斷；（2）根據(jù)函數(shù)的對稱性可判斷；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質可判斷；（4）利用三角函數(shù)線可進行判斷.【題目詳解】解：（1），（1）錯誤；（2）是函數(shù)圖象的一個對稱中心，（2）錯誤；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的性質可得的最大值為，，其值域是，（3）正確；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函數(shù)線有，（4）正確.故選.【題目點撥】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質，以及三角函數(shù)線定義，著重考查學生綜合運用三角函數(shù)的性質分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理，代入數(shù)據(jù)即可?！绢}目詳解】由正弦定理，得：，即，即：解得：選B?！绢}目點撥】此題考查正弦定理：，代入數(shù)據(jù)即可，屬于基礎題目。10、B【解題分析】

取BC中點為M，連接OM，EM找出異面直線夾角為，在三角形中利用邊角關系得到答案.【題目詳解】取BC中點為M，連接OM，EM在正方體中為底面的中心，為的中點易知：異面直線與所成角為設正方體邊長為2，在中：故答案選B【題目點撥】本題考查了立體幾何里異面直線的夾角，通過平行找到對應的角是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由已知得兩式，相減可發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，分類討論分別算出奇數(shù)項的和和偶數(shù)項的和，再相加得原數(shù)列前的和【題目詳解】兩式相減得數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前2n項中所有奇數(shù)項的和為：，數(shù)列的前2n項中所有偶數(shù)項的和為：【題目點撥】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數(shù)，這種數(shù)列要分類討論，分偶數(shù)項和奇數(shù)項來研究，特別注意偶數(shù)項的首項為，而奇數(shù)項的首項為.12、9【解題分析】

兩圓只有一條公切線，可以判斷兩圓是內切關系，可以得到一個等式，結合這個等式，可以求出的最小值.【題目詳解】，圓心為，半徑為2；，圓心為，半徑為1.因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓是內切關系，即，于是有（當且僅當取等號），因此的最小值為9.【題目點撥】本題考查了圓與圓的位置關系，考查了基本不等式的應用，考查了數(shù)學運算能力.13、4【解題分析】

直接利用分層抽樣的比例關系得到答案.【題目詳解】青年職工與老年職工的人數(shù)比為，中年職工有24人，故老年職工為，故應抽取老年職工的人數(shù)為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了分層抽樣的相關計算，意在考查學生的計算能力.14、【解題分析】

根據(jù)對任意，均有，分析得到，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值公式求解出的最小值.【題目詳解】因為對任意，均有，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的應用，難度一般.正弦型函數(shù)的最值一定是在對稱軸的位置取到，因此正弦型函數(shù)取最大值與最小值時對應的自變量的差的絕對值最小為，此時最大值與最小值對應的對稱軸相鄰.15、【解題分析】

將代入即可求解【題目詳解】令，可得.故答案為：【題目點撥】本題考查求數(shù)列的項，是基礎題16、【解題分析】

用表示出,由對應相等即可得出．【題目詳解】因為，所以解得得．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法則，平面上任意不共線的一組向量可以作為一組基底．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

(1)由已知利用三角函數(shù)的定義可求，利用兩角差的正切公式即可計算得解；(2)由已知可得，進而求出，最后利用兩角和的正弦公式即可計算得解．【題目詳解】（1）由三角函數(shù)定義得，因為，所以，因為，所以（2）·，∴∴，所以，所以【題目點撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的正切公式，兩角和的正弦公式，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．18、（1）證明見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）做輔助線，先證及四邊形為平行四邊形平面；（2）利用勾股定理求得.試題解析：（1）證明：取中點,連接，則∵是的中點，∴；∵是的中點，∴,∴四邊形為平行四邊形，∴,∵平面,平面,∴平面；（2）∵,∴,∴19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由面積公式推出，代入所給等式可得，求出角C的余弦值從而求得角C；（Ⅱ）首先由求出邊c，再由面積公式代入相應值求出邊b，利用余弦定理即可求出邊a.【題目詳解】（Ⅰ）由得①于是，即∴又，所以（Ⅱ），由得，將代入中得，解得.【題目點撥】本題考查余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于基礎題.20、（1）；（2）-2【解題分析】

（1）根據(jù)向量的坐標的運算法則和向量垂直的條件，以及模的定義即可求出;（2）根據(jù)向量共線的條件即可求出．【題目詳解】（1）∵，∴，，∴m=﹣1∴∴=（2）由已知：，，因為，所以：k﹣2=4（