2023屆上海市寶山區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1上海市寶山區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題悔題5分）1.已知集合，，則_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榧?，，所以．故〖答案〗為：?.不等式的解集為_____．〖答案〗〖解析〗由題意得不等式即，即不等式的解集為，故〖答案〗為：3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)的〖解析〗式為_____________〖答案〗〖解析〗設(shè)冪函數(shù)〖解析〗式為：，根據(jù)題意此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)代入〖解析〗式中得即解得：，所以所求函數(shù)的〖解析〗式為.4.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)_________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，，解得,所以實(shí)數(shù).故〖答案〗為：.5.已知數(shù)列的遞推公式為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．〖答案〗〖解析〗由得，又，所以是等比數(shù)列，公比為2，所以，，故〖答案〗為：．6.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________(用數(shù)字作答).〖答案〗〖解析〗的展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)，解得，的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.故〖答案〗為：.7.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以.故〖答案〗為：.8.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為_________．〖答案〗〖解析〗由題意數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列公差d，則，解得，故，故〖答案〗為：9.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則_______.〖答案〗〖解析〗利用正弦定理有：，又由，則，則，即，又由，則，即，由，解得.故〖答案〗為：.10.如圖是某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖（圖中僅列出，的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖，則_________．〖答案〗〖解析〗由莖葉圖可知：，的頻數(shù)分別為5，2；由頻率分布直方圖可得：每組的頻率依次為，設(shè)樣本容量為，則，解得，故.故〖答案〗為：.11.已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗由題意知若，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵的解集為，∴，，且的解集為，∴與是的兩根，故，∴，又，∴，又，∴，故〖答案〗為：12.已知非零平面向量不共線，且滿足，記，當(dāng)?shù)膴A角取得最大值時(shí)，的值為______．〖答案〗4〖解析〗由非零平面向量不共線，且滿足，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，則，由，則，則直線的斜率分別為，由兩直線的夾角公式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，則，所以，故填：4.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的．13.若：，：，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意可得：：，顯然可以推出，但不能推出，所以是的必要非充分條件.故選：B.14.已知定義在上的偶函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（）A. B.9 C. D.8〖答案〗A〖解析〗若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，整理得，故，解得，∴.若正實(shí)數(shù)a、b滿足，即，可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為.故選：A.15.將正整數(shù)分解為兩個(gè)正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解．如，其中4×5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，由于，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于，此時(shí)，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為.故選：B16.在空間直角坐標(biāo)系中,已知定點(diǎn),和動(dòng)點(diǎn).若的面積為,以為頂點(diǎn)的錐體的體積為,則的最大值為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知,設(shè)直線的單位方向向量為,則,所以到直線的距離,所以,,則,令,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以,即的最大值為.故選:C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），則函數(shù)的最小正周期；令，解得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為·令，解得，可得因數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，由增大到1，當(dāng)，，由1減小到，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點(diǎn)．（1）求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）證明：平面PAD，并求點(diǎn)E到平面PAD的距離．（1）解：由題意，兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，菱形中，，所以,在中，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以PB與底面ABCD所成的角為，所以，則點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是，E是PB的中點(diǎn)，則，于是，.設(shè)夾角為θ，則有，故，∴異面直線DE與PA所成角的大小是.（2）證明：連接，分別是的中點(diǎn)，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因?yàn)椋?設(shè)平面PAD的法向量，則，令，則，所以，又，則點(diǎn)E到平面PAD的距離.19.下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本（萬元）的四組對(duì)照數(shù)據(jù)．4681012202884（1）試建立與的線性回歸方程；（2）研究人員進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)．在供銷平衡的條件下，市場(chǎng)銷售價(jià)格會(huì)波動(dòng)變化．經(jīng)分析，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格（萬元）是一個(gè)與產(chǎn)量相關(guān)的隨機(jī)變量，分布為假設(shè)產(chǎn)品月利潤(rùn)=月銷售量×銷售價(jià)格成本．（其中月銷售量=生產(chǎn)量）根據(jù)（1）進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)．月利潤(rùn)的期望值最大？最大值為多少？解：（1）設(shè)與的回歸方程為，則，又，，，.則.，則回歸方程為：.（2）設(shè)月利潤(rùn)的期望值為，則由題可得：，則在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，最大，.即件時(shí)，月利潤(rùn)的期望值最大，最大值為萬元20.已知拋物線：．（1）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；（2）過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)；（3）已知點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N（均不與點(diǎn)Р重合），且以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵拋物線：，則，且焦點(diǎn)在軸正半軸，故拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.（2）由（1）可得：，可得直線，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，可得，故.（3）存在，理由如下：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，若以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P，則，可得，可得或，若，則，可得直線，過定點(diǎn)，與點(diǎn)重合，不合題意；若，則，此時(shí)，可得直線，過定點(diǎn)；綜上所述：直線過定點(diǎn).21.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體．如：方程中，當(dāng)取給定的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過點(diǎn)的直線族（不含軸）．記直線族（其中）為，直線族（其中）為．（1）分別判斷點(diǎn)，是否在的某條直線上，并說明理由；（2）對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)，點(diǎn)不在的任意一條直線上，求的取值范圍（用表示）；（3）直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．求的包絡(luò)和的包絡(luò)．解：（1）把點(diǎn)代入直線族的方程得：，因?yàn)?，所以方程有?shí)數(shù)根，所以點(diǎn)在的某條直線上.把點(diǎn)代入直線族的方程得：，因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，所以點(diǎn)不在的某條直線上.（2）因?yàn)辄c(diǎn)不在的任意一條直線上，所以方程在上無實(shí)數(shù)解，即方程在上無實(shí)數(shù)解.令，則，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為.（3）由(2)的結(jié)論猜測(cè)的包絡(luò)是曲線.，解，得.在曲線上任取一點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程是即.而對(duì)任意的，的確為曲線的切線.故的包絡(luò)是曲線.將整理為關(guān)于的方程，若該方程無解，則，整理得.猜測(cè)的包絡(luò)是拋物線.，解，得.在拋物線上任取一點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程是，而對(duì)任意的，確為拋物線的切線.故的包絡(luò)是拋物線.上海市寶山區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題悔題5分）1.已知集合，，則_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榧?，，所以．故〖答案〗為：?.不等式的解集為_____．〖答案〗〖解析〗由題意得不等式即，即不等式的解集為，故〖答案〗為：3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)的〖解析〗式為_____________〖答案〗〖解析〗設(shè)冪函數(shù)〖解析〗式為：，根據(jù)題意此函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)代入〖解析〗式中得即解得：，所以所求函數(shù)的〖解析〗式為.4.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)_________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，，解得,所以實(shí)數(shù).故〖答案〗為：.5.已知數(shù)列的遞推公式為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．〖答案〗〖解析〗由得，又，所以是等比數(shù)列，公比為2，所以，，故〖答案〗為：．6.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________(用數(shù)字作答).〖答案〗〖解析〗的展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)，解得，的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.故〖答案〗為：.7.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以.故〖答案〗為：.8.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為_________．〖答案〗〖解析〗由題意數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列公差d，則，解得，故，故〖答案〗為：9.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則_______.〖答案〗〖解析〗利用正弦定理有：，又由，則，則，即，又由，則，即，由，解得.故〖答案〗為：.10.如圖是某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖（圖中僅列出，的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖，則_________．〖答案〗〖解析〗由莖葉圖可知：，的頻數(shù)分別為5，2；由頻率分布直方圖可得：每組的頻率依次為，設(shè)樣本容量為，則，解得，故.故〖答案〗為：.11.已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗由題意知若，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵的解集為，∴，，且的解集為，∴與是的兩根，故，∴，又，∴，又，∴，故〖答案〗為：12.已知非零平面向量不共線，且滿足，記，當(dāng)?shù)膴A角取得最大值時(shí)，的值為______．〖答案〗4〖解析〗由非零平面向量不共線，且滿足，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，則，由，則，則直線的斜率分別為，由兩直線的夾角公式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，則，所以，故填：4.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的．13.若：，：，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意可得：：，顯然可以推出，但不能推出，所以是的必要非充分條件.故選：B.14.已知定義在上的偶函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（）A. B.9 C. D.8〖答案〗A〖解析〗若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，整理得，故，解得，∴.若正實(shí)數(shù)a、b滿足，即，可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為.故選：A.15.將正整數(shù)分解為兩個(gè)正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解．如，其中4×5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，由于，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于，此時(shí)，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為.故選：B16.在空間直角坐標(biāo)系中,已知定點(diǎn),和動(dòng)點(diǎn).若的面積為,以為頂點(diǎn)的錐體的體積為,則的最大值為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知,設(shè)直線的單位方向向量為,則,所以到直線的距離,所以,,則,令,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以,即的最大值為.故選:C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），則函數(shù)的最小正周期；令，解得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為·令，解得，可得因數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，由增大到1，當(dāng)，，由1減小到，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點(diǎn)．（1）求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）證明：平面PAD，并求點(diǎn)E到平面PAD的距離．（1）解：由題意，兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，菱形中，，所以,在中，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以PB與底面ABCD所成的角為，所以，則點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是，E是PB的中點(diǎn)，則，于是，.設(shè)夾角為θ，則有，故，∴異面直線DE與PA所成角的大小是.（2）證明：連接，分別是的中點(diǎn)，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因?yàn)椋?設(shè)平面PAD的法向量，則，令，則，所以，又，則點(diǎn)E到平面PAD的距離.19.下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本（萬元）的四組對(duì)照數(shù)據(jù)．4681012202884（1）試建立與的線性回歸方程；（2）研究人員進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)．在供銷平衡的條件下，市場(chǎng)銷售價(jià)格會(huì)波動(dòng)變化．經(jīng)分析，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格（萬元）是一個(gè)與產(chǎn)量相關(guān)的隨機(jī)變量，分布為假設(shè)產(chǎn)品月利潤(rùn)=月銷售量×銷售價(jià)格成本．（其中月銷售量=生產(chǎn)量）根據(jù)（1）進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)．月利潤(rùn)的期望值最大？最大值為多少？解：（1）設(shè)與的回歸方程為，則，又，，，.則.，則回歸方程為：.（2）設(shè)月利潤(rùn)的期望值為，則由題可得：，則在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，最大，.即件時(shí)，月利潤(rùn)的期望值最大，最大值為萬元20.已知拋物線：．（1）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；（2）過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)；（3）已知點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N（均不與點(diǎn)Р重合），且以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵拋物線：，則，且焦點(diǎn)在軸正半軸，故拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.（2）由（1）可得：，可得直線，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，可得，故.（3）存在，理由如下：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，若以線段MN為直徑的圓恒過