2023屆內(nèi)蒙古阿拉善盟高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古阿拉善盟2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，解得，即，由，得，即，所以.故選：A.2.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.3.從2名男生和2名女生中選2人參加校慶匯報(bào)演出，則選到一男一女的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從2名男生和2名女生中選2人共有如下6種選法：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），選到一男一女的選法有4種，分別為：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），則選到一男一女的概率為.故選：.4.我國古代數(shù)學(xué)家李善蘭在《對(duì)數(shù)探源》中利用尖錐術(shù)理論來制作對(duì)數(shù)表.他通過“對(duì)數(shù)積”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln0.2A.－1.519 B.－1.726 C.－1.609 D.－1.316〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閘n2≈0.693，所以ln4≈1.386，因?yàn)?，所以，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故選：C.5.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=2x-y的最小值是（）A.5 B. C.0 D.-1〖答案〗C〖解析〗畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由，得，平移直線，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最小值.由得，所以的最小值是.故選：C6.已知，則下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，由于為定義域上的減函數(shù)，故，故A選項(xiàng)不等式成立.由于為定義域上的增函數(shù)，故，則，所以B選項(xiàng)不等式不成立，D選項(xiàng)不等式成立.由于，故，所以C選項(xiàng)不等式成立.綜上所述，本小題選B.7.某人在A處向正東方向走后到達(dá)B處，他沿南偏西方向走到達(dá)C處，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么的值為（）A.或 B.或 C.或 D.〖答案〗B〖解析〗如圖：，，，，在中由余弦定理可得：，即，所以，即，解得：或，故選：B8.已知函數(shù)在上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗原題等價(jià)于方程在上有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程在上有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，正根從小到大排列即為，，，，所以，則，故選：B.9.已知是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則“對(duì)任意的且，”是“”的（）A.既不充分也不必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.充要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閷?duì)任意的且，，當(dāng)n＝2時(shí)，，當(dāng)n＝4時(shí)，，所以成立；充分性成立當(dāng)成立時(shí)，可推出等差數(shù)列的公差大于零，但“對(duì)任意的且，”未必恒成立，例如，，當(dāng)n＝1時(shí)，不成立，必要性不成立．故選：B．10.若實(shí)數(shù)，滿足，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖所示：直線與漸近線的距離點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)時(shí)上的點(diǎn)到直線的最大距離為綜上：點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，故選：C．11.已知e是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，不等于1的兩個(gè)正數(shù)m，t滿足，且，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，解出，或（舍），所以，即，，令，，，時(shí)，，時(shí)，，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故選：B.12.已知雙曲線C：的右支上一點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則雙曲線C的離心率e的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗假設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由已知得點(diǎn)在雙曲線的左支，連接，，根據(jù)雙曲線的定義：，由已知得四邊形平行四邊形，所以，所以有，又，所以四邊形是矩形，得，所以，，所以，則離心率，由，得，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，又，所以的最大值為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線是曲線在處的切線，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，把代入中，得，于是有，由可知，切線的斜率為，所以有，因此有，故〖答案〗為：14.等差數(shù)列中，若，為方程的兩根，則等于__________．〖答案〗15〖解析〗∵為方程兩根，∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，∴由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，．故〖答案〗為：15.15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3c=4b，，A=60°，則△ABC的面積為___________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得：，代入，，A=60°，解得，，所以．故〖答案〗為：16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為第二象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該橢圓的離心率為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，由題意可得，則，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，，所以，可得，解得．故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.下圖的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各八位同學(xué)在一次英語聽力測(cè)試中的成績（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25.（1）求x，y的值；（2）計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，并比較哪一組的成績更穩(wěn)定？解：（1）由，得，由，得．（2）設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為、，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，因?yàn)?，所以乙組的成績更穩(wěn)定．18.已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E是線段BC的中點(diǎn).（1）求證：平面PDE⊥平面PAE；（2）若AB=1，且PB與平面ABCD所成的角為45°，求點(diǎn)C到平面PDE的距離（1）證明：由已知為的中點(diǎn)，，所以，又底面是矩形，所以，同理：，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，由于平面，所以平面平?（2）解：因?yàn)槠矫?，所以即為與平面所成的角，故，所以．依題意有：，由（1）平面，平面，則，平面，平面，，所以，，又因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，所以．19.已知數(shù)列中，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．（1）解：因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時(shí)，滿足條件，所以；（2）證明：因?yàn)?，所以，所以，所?20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因?yàn)椋?，所以在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，則且當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，即時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得，即時(shí)不滿足題意；若，則，故在上為減函數(shù)，所以，所以恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，且F與C上點(diǎn)的距離的取值范圍為〖1，3〗.（1）求C的方程；（2）已知О為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.解：（1）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，，其中，則，因?yàn)?，所以，所以，故，故，解得，則，故橢圓的方程為；（2）設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，于是直線的斜率，構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，故，故，當(dāng)，時(shí)，直線斜率取得最大值.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考試在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）22.經(jīng)過點(diǎn)M（-2，-4）且斜率為1的直線l與拋物線C：y2=2px（p>0）分別交于A，B兩點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線l的參數(shù)方程和拋物線C的極坐標(biāo)方程；（2）若成等差數(shù)列，求p值.解：（1）直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）把，代入得，化簡得，所以拋物線的極坐標(biāo)方程為.（2）把代入得，即，整理得：，所以，.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，，整理得，所以，求得.［選修4-5：不等式選講］（10分）23.已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求a的值；（2）若，使，求α的取值范圍﹒解：（1）由得或，或，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，解?（2），使的最小值小于，因?yàn)?，所以由得，解?內(nèi)蒙古阿拉善盟2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，解得，即，由，得，即，所以.故選：A.2.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.3.從2名男生和2名女生中選2人參加校慶匯報(bào)演出，則選到一男一女的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從2名男生和2名女生中選2人共有如下6種選法：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），選到一男一女的選法有4種，分別為：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），則選到一男一女的概率為.故選：.4.我國古代數(shù)學(xué)家李善蘭在《對(duì)數(shù)探源》中利用尖錐術(shù)理論來制作對(duì)數(shù)表.他通過“對(duì)數(shù)積”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln0.2A.－1.519 B.－1.726 C.－1.609 D.－1.316〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閘n2≈0.693，所以ln4≈1.386，因?yàn)?，所以，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故選：C.5.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=2x-y的最小值是（）A.5 B. C.0 D.-1〖答案〗C〖解析〗畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由，得，平移直線，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最小值.由得，所以的最小值是.故選：C6.已知，則下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，由于為定義域上的減函數(shù)，故，故A選項(xiàng)不等式成立.由于為定義域上的增函數(shù)，故，則，所以B選項(xiàng)不等式不成立，D選項(xiàng)不等式成立.由于，故，所以C選項(xiàng)不等式成立.綜上所述，本小題選B.7.某人在A處向正東方向走后到達(dá)B處，他沿南偏西方向走到達(dá)C處，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么的值為（）A.或 B.或 C.或 D.〖答案〗B〖解析〗如圖：，，，，在中由余弦定理可得：，即，所以，即，解得：或，故選：B8.已知函數(shù)在上有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗原題等價(jià)于方程在上有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程在上有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，正根從小到大排列即為，，，，所以，則，故選：B.9.已知是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則“對(duì)任意的且，”是“”的（）A.既不充分也不必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.充要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閷?duì)任意的且，，當(dāng)n＝2時(shí)，，當(dāng)n＝4時(shí)，，所以成立；充分性成立當(dāng)成立時(shí)，可推出等差數(shù)列的公差大于零，但“對(duì)任意的且，”未必恒成立，例如，，當(dāng)n＝1時(shí)，不成立，必要性不成立．故選：B．10.若實(shí)數(shù)，滿足，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖所示：直線與漸近線的距離點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)時(shí)上的點(diǎn)到直線的最大距離為綜上：點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，故選：C．11.已知e是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，不等于1的兩個(gè)正數(shù)m，t滿足，且，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，解出，或（舍），所以，即，，令，，，時(shí)，，時(shí)，，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故選：B.12.已知雙曲線C：的右支上一點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則雙曲線C的離心率e的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗假設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由已知得點(diǎn)在雙曲線的左支，連接，，根據(jù)雙曲線的定義：，由已知得四邊形平行四邊形，所以，所以有，又，所以四邊形是矩形，得，所以，，所以，則離心率，由，得，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，又，所以的最大值為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線是曲線在處的切線，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，把代入中，得，于是有，由可知，切線的斜率為，所以有，因此有，故〖答案〗為：14.等差數(shù)列中，若，為方程的兩根，則等于__________．〖答案〗15〖解析〗∵為方程兩根，∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，∴由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，．故〖答案〗為：15.15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3c=4b，，A=60°，則△ABC的面積為___________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得：，代入，，A=60°，解得，，所以．故〖答案〗為：16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為第二象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該橢圓的離心率為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，由題意可得，則，因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，，所以，可得，解得．故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.下圖的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各八位同學(xué)在一次英語聽力測(cè)試中的成績（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25.（1）求x，y的值；（2）計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，并比較哪一組的成績更穩(wěn)定？解：（1）由，得，由，得．（2）設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為、，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，因?yàn)?，所以乙組的成績更穩(wěn)定．18.已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E是線段BC的中點(diǎn).（1）求證：平面PDE⊥平面PAE；（2）若AB=1，且PB與平面ABCD所成的角為45°，求點(diǎn)C到平面PDE的距離（1）證明：由已知為的中點(diǎn)，，所以，又底面是矩形，所以，同理：，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，由于平面，所以平面平?（2）解：因?yàn)槠矫?，所以即為與平面所成的角，故，所以．依題意有：，由（1）平面，平面，則，平面，平面，，所以，，又因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，所以．19.已知數(shù)列中，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．（1）解：因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時(shí)，滿足條件，所以；（2）證明：因?yàn)?，所以，所以，所?20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.（