萬(wàn)有引力與人造衛(wèi)星(李素衛(wèi))

萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用高邑一中李素衛(wèi)一、曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)/萬(wàn)有引力定律部分考綱要求內(nèi)容要求說(shuō)明1.運(yùn)動(dòng)的合成與分解I不要求會(huì)推導(dǎo)向心加速度的公式2.曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)速度的方向沿軌跡的切線(xiàn)方向，且必具有加速度I3.平拋運(yùn)動(dòng)II4.勻速圓周運(yùn)動(dòng)。線(xiàn)速度和角速度。周期。圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度。II5.萬(wàn)有引力定律II6.圓周運(yùn)動(dòng)中的向心力II7.萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用。人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)（限于圓軌道）II8.宇宙速度I9.航天技術(shù)的發(fā)展和宇宙航行Iav2r=av2r=二、天體（衛(wèi)星）運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的處理方法（一）、三個(gè)模型（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的天體稱(chēng)為“自轉(zhuǎn)”天體。（2）繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體稱(chēng)為公轉(zhuǎn)天體（3）“雙星”是宇宙中兩顆相隔一定距離，圍繞其連線(xiàn)上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體。（二）、兩條思路（1）萬(wàn)有引力提供向心力（2）利用黃金代換即三、基礎(chǔ)知識(shí)梳理一、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律定律內(nèi)容圖示開(kāi)普勒第一定律所有的行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是

，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)

上橢圓焦點(diǎn)一、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)知識(shí)梳理定律內(nèi)容圖示開(kāi)普勒第二定律對(duì)任意一個(gè)行星而言，它與太陽(yáng)的

在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)

的面積開(kāi)普勒第三定律連線(xiàn)相等所有行星軌道半長(zhǎng)軸的立方與其公轉(zhuǎn)周期的平方的比值為一個(gè)常數(shù)Ⅰ、中心天體質(zhì)量的計(jì)算（1）若已知衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T、半徑r（2）若已知衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r，衛(wèi)星運(yùn)行的線(xiàn)速度對(duì)于有衛(wèi)星的中心天體，分兩種情況對(duì)無(wú)衛(wèi)星的中心天體或雖有衛(wèi)星但不知衛(wèi)星運(yùn)行的有關(guān)數(shù)據(jù)常常是忽略天體自傳影響，認(rèn)為萬(wàn)有引力等于物體重力Ⅱ、

中心天體密度的計(jì)算式中r為衛(wèi)星軌道半徑，R為天體半徑若衛(wèi)星繞天體表面飛行，式中r=R，天體密度為運(yùn)動(dòng)參量半徑變化相關(guān)方程結(jié)論線(xiàn)速度v增大半徑越大，線(xiàn)速度越小，動(dòng)能越小，勢(shì)能越大，機(jī)械能越大角速度ω增大半徑越大，角速度越小周期T增大半徑越大，周期越大近地衛(wèi)星的最小周期85分鐘向心加速度a增大半徑越大，向心加速度越小

Ⅳ天體運(yùn)動(dòng)模型（以人造地球衛(wèi)星為例）

微型專(zhuān)題二：衛(wèi)星變軌

衛(wèi)星從低軌道向高軌道運(yùn)行前需要先加速，萬(wàn)有引力小于所需的向心力，提供的向心力不足，衛(wèi)星做“離心”運(yùn)動(dòng)。此后萬(wàn)有引力做負(fù)功，到高軌道后圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行速度變小。衛(wèi)星從高軌道向低軌道運(yùn)行前需要先減速，萬(wàn)有引力大于所需的向心力，提供的向心力過(guò)剩，衛(wèi)星做“近心”運(yùn)動(dòng)，此后萬(wàn)有引力做正功，到達(dá)低軌道后圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行速度變大。實(shí)際的衛(wèi)星發(fā)射并不是一次送入最終軌道，主要掌握先圓周軌道，再橢圓軌道，最后進(jìn)入圓軌道的變軌規(guī)律和特點(diǎn)。明確在圓軌道和橢圓軌道交點(diǎn)位置，萬(wàn)有引力和加速度相同，變軌時(shí)線(xiàn)速度不同。在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，近地點(diǎn)線(xiàn)速度大，遠(yuǎn)地點(diǎn)線(xiàn)速度小。衛(wèi)星繞天體運(yùn)行時(shí)，提供的向心力與所需要的向心力關(guān)系決定著衛(wèi)星變軌問(wèn)題衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)提供的向心力需要的向心力rv2mGMmr2=衛(wèi)星做近心運(yùn)動(dòng)提供的向心力需要的向心力rv2mGMmr2＞衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)提供的向心力需要的向心力rv2mGMmr2＜例2、如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的3顆人造衛(wèi)星，下列說(shuō)法正確的是：A.b、c的線(xiàn)速度大小相等，且大于a的線(xiàn)速度B.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C.c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等到同一軌道上的cD.a衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線(xiàn)速度將變大abc據(jù)環(huán)繞速度公式，r↑v↓A錯(cuò)；D正確據(jù)向心加速度公式，r↑a↓B錯(cuò)c加速向高空變軌，b減速向低空變軌，C錯(cuò)微型專(zhuān)題三：雙星問(wèn)題（2）特點(diǎn)

①.兩星球間的萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力

②.周期相等，角速度相同

③.雙星間的距離不變

④.萬(wàn)有引力公式中距離（兩星球間距）與星球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的不同

雙星是宇宙中兩顆相隔一定距離，圍繞其連線(xiàn)上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體。（1）向心力的來(lái)源。

構(gòu)成雙星的兩天體間的萬(wàn)有引力（3）雙星規(guī)律--------①--------②--------③--------④--------⑤--------⑥例1：在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩個(gè)彼此距離較近的行星稱(chēng)為雙星，由于兩星間的引力而使它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中的距離保持不變，已知兩個(gè)行星的質(zhì)量分別為M1和M2，相距為L(zhǎng)，求它們的角速度。錯(cuò)解：萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)兩行星的角速度分別為ω1、ω2設(shè)M1的軌道半徑為r1,M2的軌道半徑為r2。兩行星的角速度為ω正解：注意：間距L與軌道半徑r的區(qū)別，不同于公轉(zhuǎn)模型。例2：兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線(xiàn)上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得兩星球中心的距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，求兩星球的總質(zhì)量。解：設(shè)兩星球的質(zhì)量分別為M1和M2，都繞連線(xiàn)上某點(diǎn)O做周期為T(mén)的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O點(diǎn)距離分別為l1、l2，由萬(wàn)有引力定律對(duì)星球1：對(duì)星球2：所以例3.（06廣東17題．16分）宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線(xiàn)上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m。⑴試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度和周期。⑵假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？

雙星題目演變_____三星

⑴第一種形式下，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：

解得MMMRRMMMllOr三星暴露出的問(wèn)題：（1）丟力（2）間距錯(cuò)誤（3）審題不清，誤將第二種形式半徑也看成R（4）計(jì)算錯(cuò)

⑴第二種形式下，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：

2010年全國(guó)I卷25．（18分）如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線(xiàn)，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

(1).求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。

(2).在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T(mén)1。但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）OBA微型專(zhuān)題四：同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星就是與地球同步運(yùn)轉(zhuǎn)，相對(duì)地球靜止的衛(wèi)星。同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：同步衛(wèi)星的相關(guān)訓(xùn)練1.定周期：地球自轉(zhuǎn)周期24h2.定軌道平面：運(yùn)行平面在赤道平面內(nèi)3.定高度：離地面的高度h=3.6×104km4.定速率：運(yùn)行速率v≈3.1km/s5.定點(diǎn)：在赤道上方某點(diǎn)靜止課堂練習(xí)推導(dǎo)高度h求運(yùn)行速率v講解同步衛(wèi)星的一般發(fā)射步驟。目的使學(xué)生對(duì)發(fā)射過(guò)程有一大致的了解，有一個(gè)心理準(zhǔn)備，再碰到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)能夠更從容一點(diǎn)。我國(guó)發(fā)射同步衛(wèi)星一般是這樣的：⑴用火箭把衛(wèi)星送入約近地點(diǎn)200km、遠(yuǎn)地點(diǎn)36000km、傾角28.5°的橢圓形軌道。⑵衛(wèi)星在運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)附近時(shí)，幾次用衛(wèi)星上遠(yuǎn)地點(diǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)變軌，不斷提高近地點(diǎn)高度，使橢圓形軌道逐漸拉高為距地面高36000km的圓軌道。⑶衛(wèi)星進(jìn)入準(zhǔn)同步軌道后，靠衛(wèi)星上小推力器向定點(diǎn)位置飄移，并調(diào)整軌道的各個(gè)參數(shù)，使衛(wèi)星的軌道傾角接近零，軌道周期接近于地球自轉(zhuǎn)周期。⑷衛(wèi)星定點(diǎn)后還要進(jìn)行定點(diǎn)保持，由于地球扁率和太陽(yáng)光壓會(huì)引起衛(wèi)星在定點(diǎn)位置的東西方向上飄移，需克服這種飄移，使衛(wèi)星保持在定點(diǎn)位置的±0.1°范圍，另外日月引力會(huì)引起傾角變化，使衛(wèi)星在南北方向上產(chǎn)生飄移，需用衛(wèi)星上推力器不斷進(jìn)行軌道修正。為什么同步衛(wèi)星要經(jīng)3次變軌及位置捕獲才能定點(diǎn)工作呢？這是由于地球靜止軌道高度約35860km，而軌道傾角為0°（在該軌道運(yùn)行的衛(wèi)星，從地球上看好像是不動(dòng)的，衛(wèi)星運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等）。要把衛(wèi)星送到這個(gè)高度，并使衛(wèi)星以3.07km／s的速度運(yùn)行，這就要求火箭能夠達(dá)到10.4km／s的速度，它已接近第二宇宙速度11.2km／s，一般火箭很難“一步到位”，再因發(fā)射場(chǎng)不在赤道上，所以通常需進(jìn)行多次變軌才能進(jìn)入預(yù)定的地球靜止軌道。例：已知地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運(yùn)行速度為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球的半徑為R，則下列比值正確的是：ABCD

例題選講a1同步衛(wèi)星v1r物體a2近地衛(wèi)星v2F萬(wàn)F′萬(wàn)FNF′萬(wàn)一是分清各物體的位置二是正確運(yùn)用公式錯(cuò)解分析1錯(cuò)解分析2設(shè)同步衛(wèi)星質(zhì)量為m1，地球質(zhì)量為M，地球赤道上的物體質(zhì)量為m2據(jù)萬(wàn)有引力定律選B設(shè)赤道上的物體重力加速度為g，高空中同步衛(wèi)星所在處的重力加速度為g′,則mg′=據(jù)黃金代換，加速度為g′=gR2r2選BGMmr2錯(cuò)因：赤道上物體受力分析錯(cuò)錯(cuò)因：概念混淆。赤道上物體的向心加速度與重力加速度是兩個(gè)不同的物理量ga2據(jù)線(xiàn)速度和角速度的關(guān)系錯(cuò)解分析3v1=ω

1rv2=ω

2Rω1=ω

2錯(cuò)解分析4據(jù)牛頓第二定律有m1a1=m1ω

12

rm2a2=m2ω

22

Rω1=ω

2a1=v12ra2=v22Rv12=a1rv22=a2R選C錯(cuò)因：情景混淆。第一宇宙速度v2是在地面附近繞地球的環(huán)繞速度，不是隨地球自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度，式中ω1≠

ω

2所以選Cv2rRv1=錯(cuò)因：張冠李戴。公式正確，但公式中v2不應(yīng)是第一宇宙速度而應(yīng)是自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度a2=v22Ra2rRa1=a2rRa1=v2rRv1=微型專(zhuān)題五：宇宙速度一、運(yùn)行速度和發(fā)射速度的區(qū)別運(yùn)行速度是指人造地球衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)的速度。發(fā)射速度指將衛(wèi)星送到離地球較遠(yuǎn)的軌道上，在地面發(fā)射衛(wèi)星時(shí)需要一次性所達(dá)到的速度，發(fā)射速度是以地心為參考系，在地球的赤道上，沿地球自轉(zhuǎn)的方向發(fā)射衛(wèi)星最節(jié)能。由于衛(wèi)星發(fā)射后，克服地球引力做功，速度不斷減小，到預(yù)定軌道上時(shí)，其運(yùn)行速度必然小于發(fā)射速度。二、人造衛(wèi)星的能量為運(yùn)行的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和可見(jiàn)，衛(wèi)星運(yùn)行半徑越大，運(yùn)行速度越小，動(dòng)能越小；引力勢(shì)能越大，總能量越大，故發(fā)射起來(lái)越難，發(fā)射速度要求越大。1、第一宇宙速度（環(huán)繞速度）物理模型：近地衛(wèi)星物理意義：第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度（以地心為參考系），也是人造衛(wèi)星最大環(huán)繞速度。第一宇宙速度由中心天體本身的性質(zhì)（質(zhì)量和半徑）決定。求解方法1：據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力的基本方程求解方法2：據(jù)“黃金代換”涉及到地球質(zhì)量時(shí)，通常用方法1求第一宇宙速度.注*

任何一個(gè)星球都有自己的第一宇宙速度①聯(lián)立①②解出②如果涉及到星球表面的重力加速度，通常用方法2求第一宇宙速度，而重力加速度有時(shí)需要根據(jù)物體在星球表面重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)來(lái)求解三種宇宙速度若取地球的第一宇宙速度為8km/s，某行星的質(zhì)量是地球的6倍，半徑是地球的1.5倍，這行星的第一宇宙速度約為多少？答案16km/s

09年北京理綜第一個(gè)計(jì)算題

22.(16分）已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。(1)推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式；(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T。課堂練習(xí)紫金山天文臺(tái)將1965年9月20日發(fā)現(xiàn)的第2752號(hào)小行星命名為吳健雄星，其直徑為32km，如該小行星的密度和地球相同，求該小行星的第一宇宙速度．(已知地球半徑R0＝6400km，地球的第一宇宙速度v0＝8km/s)【答案】

20m/s2、第二宇宙速度（脫離速度）

——掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度3、第三宇宙速度（逃逸速度）

——掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度vIII

=16.7m/s微型專(zhuān)題六：遮擋問(wèn)題例1.（04廣東16題。16分）某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽(yáng)光照射的此衛(wèi)星，試問(wèn)，春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，不考慮大氣對(duì)光的折射。解：設(shè)所求的時(shí)間為t，用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離.①

春分時(shí)，太陽(yáng)光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表