第9課 數列 2023年新高考數學一輪復習強化小練（2019人教版）（含解析）

數列

2023年新高考數學一輪復習強化小練

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題（共32分）

1.（本題8分）（2022.云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知等差數列｛4｝的前〃

項和為S“，若易必<0,52022>0,則當S,,最小時，〃的值為（）

A.1010B.1011C.1012D.2021

2.（本題8分）（2022?湖南?一模）在流行病學中，基本傳染數凡是指在沒有外力介

入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.凡一般由疾病

的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.對于

而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途

徑.假設某種傳染病的基本傳染數R。=3,平均感染周期為7天（初始感染者傳染R。

個人為第一輪傳染，經過一個周期后這R。個人每人再傳染R。個人為第二輪傳染……）

那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數為（參考數據：

3‘=729,45=1024）（）

A.35B.42C.49D.56

3.（本題8分）（2022?四川?射洪中學模擬預測（文））數列｛4｝滿足

4=1+2+3+?.?+〃,貝ij數歹的前〃項和為（）

n-〃

A.---B.----

72+1〃+2

C.二D.2

72+1〃+2

4.（本題8分）（2021?內蒙古?赤峰二中模擬預測（理））在公比夕為整數的等比數列

｛初｝中,S〃是數列｛〃〃｝的前〃項和.若。/“=32,。2+〃3=12,則下列說法中，正確的是

（）

①數列｛血｝是等比數列;

②。3=4;

③數列｛S"+2｝是等比數列；

④數列｛lOg2M｝是等差數列

A.①②③B.②③④C.?@?D.①②④

二、填空題（共24分）

5.（本題8分）（2022?內蒙古赤峰?模擬預測（理））已知數列｛%｝滿足且

2〃4田=（〃+1）4（"eN"），則汽%=.

k=l

6.體題8分）（2022?河南洛陽?一模（文））已知數列｛%｝的前"項和為5“，且

5?=則數列｛q｝的通項公式““=.

7.（本題8分）（2021?甘肅?嘉峪關市第一中學模擬預測（理））設5.是等差數列｛%｝的

前〃項和，若6=2,$5=12,貝ij4=.

三、雙空題（共8分）

8.（本題8分）（2022?湖北?一模）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目

開始后，一片巨大的“雪花”呈現在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以

無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數學家科赫在

1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開

始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去

掉底邊，重復進行這一過程

①②③④

若第1個圖中的三角形的周長為1,則第〃個圖形的周長為；若第1個圖

中的三角形的面積為1,則第〃個圖形的面積為.

四、解答題（共36分）

9.（本題18分）（2022?黑龍江齊齊哈爾?一模（文））設數列｛叫的前八項和為5“，滿

足S）=24-2?

（1）求數列｛《,｝的通項公式%；

（2）記b?=J410g24—3,求數列,J,,，的前〃項和小

10.（本題18分）（2022.全國.模擬預測）數列｛q｝的前〃項和為S,,,4=4,

（1）求數列｛為｝的通項公式；

⑵記數列b?=（?+l）a?,求數列出｝的前?項和T?.

參考答案:

1.B

【分析】根據等差數列前〃項和的圖象特征，由已知條件先確定拋物線的開口方向和零點

范圍，根據零點范圍確定對稱軸范圍，進而結合二次函數的單調性和對稱性得到答案.

【詳解】由于等差數列的前〃項和S“=4/+B〃的形式，圖象是由經過坐標原點的拋物線

上的橫坐標為正整數的所有點構成，由S.<0,$2022>?？芍獟佄锞€的開口向上，且大于

零的零點在區(qū)間(2021,2022)之間，因此對稱軸在區(qū)間(1010.5,1011)之間，離對稱軸最近的

橫坐標為整數的點的橫坐標為?=1011,

5,取得最小值時”的值為1011.

故選：B

2.B

【分析】根據題意列出方程，利用等比數列的求和公式計算”輪傳染后感染的總人數，得

到指數方程，求得近似解，然后可得需要的天數.

【詳解】感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要〃輪傳染，

則每輪新增感染人數為

經過"輪傳染，總共感染人數為：1+0+堤+…+與"==^,

1一所

I_

；R°=3,.?.當感染人數增加到1000人時，——=1000,化簡得3"=667,

1-3

由3$=2433=729,故得”6,又3平均感染周期為7天,

所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要6x7=42天，

故選：B

【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于

熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前F

項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.

3.D

【分析】利用等差數列的前〃項和公式得到勺，進而得到」一=4(一1-一二］,利用裂

項相消法求和.

答案第1頁，共6頁

n(\+n)

【詳解】依題意得：〃+1，

.，=4=4fJ___Q

a,,%(〃+1)(〃+2)1/2+1n+2)'

4.C

【分析】由題中條件，計算基本量4,4,可得%=2",S“=2"+i-2,依據等差、等比數列

的定義，依次判斷即可

【詳解】由題意，｛〃"｝為等比數列，a1-04=32,“2+43=12

由等比數列的性質：

=4=32

[a2+q=12

/.a2-(12-a2)=32

—12a>+32=0

又公比4為整數,

%=4牝=4

%=8a4=8

4(i_g")=2,,+i-2

：.at=2,q=2,an=axq"~'=2",Sn=

i-q

數列｛m｝，弧=應=(歷,叁=^^=6,且瓜=6*0,因此數列｛乩｝

為等比數列，故①正確；

“3=23=8,故②不正確;

答案第2頁，共6頁

q+2?n+l

數列｛5〃+2｝,S“+2=2"?守F=*=2,且￡+2=4*。，因此數列｛S“+2｝為等比數

S“_1+22

列，故③正確；

數列｛log2a〃｝,log,an=n,log2a?-log,an_］=1,因此數列｛log?4,｝為等差數列，故④正

確；

故選：C

__2+H?T

5.2--,?eN+

【分析】由遞推關系分析得到數列｛?1是首項為:，公比為;的等比數列，求得其通項公

式，然后得到數列｛%｝的通項公式，進而利用錯位相減求和法求得結果.

【詳解】V2na,^=(n+1)??(neN"),=1x,

'7H+12n

又?.數列［2］是首項為:，公比為!的等比數列，

212I,nJ22

..4丁_1,.匕卜。丫

。e-1.11

〃￡人22223T

1cs1cle11

2"￡"2。23242"+"

兩式相減得：

1cli1112(r)1?11

—S=—I—T-H—T-+…4------〃x—-=--------：-------nx—-=1--------nx——,

2222252"2,,+,112n+l2〃2H+,

2

.c_o212+n

〃2"2〃2〃

故答案為：2-竽,〃eN+

6.2"~'

【分析】當〃=1時求得4;當〃N2B寸，利用4“=S,-S,i可知數列｛4｝為等比數列，利用

等比數列通項公式可求得結果.

【詳解】當〃=1時，6=2q-l,解得：q=l；

當“22時，a?=S?-S?_,=2??-1-(2??_,-1),/.an=2an_i,

答案第3頁，共6頁

則數列｛〃〃｝是以1為首項，2為公比的等比數列，.?.％=1X2〃T=2〃T.

故答案為：2〃，

7.3

【分析】根據等差數列的前〃項和公式，用表示S5,可求解d,結合4=4+5”,可

得解

【詳解】由題意，根據等差數列的前〃項和公式

5x4

$5=54+〒d=12,又4=2

d—0.2

*.a?~q+5cl=2+1=3

故答案為：3

【分析】由圖形之間的邊長的關系，得到周長是等比數列，再按照等比數列通項公式可得

解；

由圖形之間的面積關系及累加法，結合等比數列求和可得解.

【詳解】記第〃個圖形為與，三角形邊長為凡，邊數“，周長為4，面積為S,

4有白條邊，邊長處;6有4=4々條邊，邊長的=；4；6有&=4*條邊，邊長

%=配L

分析可知為=>,一，即a.=（，q;2=4%,即％=仇-4"T

當第1個圖中的三角形的周長為1時，即4=1,4=3

所以4=a?b?=q）x3x-=（J

由圖形可知是在2T每條邊上生成一個小三角形，即S,,二,一+旬一義乎勾：

22

即S"-S“_|.21,5?_j-S?_2=-^-xan_1-bn_2,L,S2-S,=-^-xa2bt

答案第4頁，共6頁

2

利用累加法可得S,-S[=曰伍-bn_2+---+a^也）

數歹|J｛。"｝是以g為公比的等比數列，數列出｝是以4為公比的等比數列，故｛a：?｝是以

"為公比的等比數列，

當第1個圖中的三角形的面積為1時，5,=1,即￥必=1,此時靖=竽，母=券,

[有4=3條邊，

小L回一m

則也+〃2也

nn—\n—\n—1+…+Qz~也1=-------4------=-------5------

1--

9

所以S.-，=|x1-0，所以S"=|-|x（!）

故答案為：f-T'.

【點睛】關鍵點睛：本題考查數列的應用，解題的關鍵是通過找到圖形之間的關系，得到

等比數列，求數列通項公式常用的方法：（1）由小與5“的關系求通項公式；（2）累加法;

（3）累乘法；（4）兩邊取到數，構造新數列法.

9.（1）??=2?

⑵7；=；（向布-1）

【分析】（1）根據S”與。”的關系即可求出數列的通項公式

（2）包=房與，利用裂項相消法即可求出數列的和.

（1）

當〃=1時，q=5]=24—2,解得4=2,

當〃之2時，S〃=2冊-2,S,i=2%-2,

即S,-S,T=an=2（4,-a“T）,即產=2,

Un-\

所以數列｛%｝是首項為2,公比為2的等比數列，所以。“=2”.

⑵

答案第5頁，共6頁

由(1)知〃=J41og2〃“-3=)4n-3,

-\—=/?/=：“4〃+1-,4〃-3),

2+%X/477-34-V4/2+14

所以工I=—(>/5—1)H—(5/9—y/5)4—(J13—>/9)4-??*4—Q4n.+1—Y4rl-3)

4444