數(shù)學(xué)史第七節(jié)課

中外數(shù)學(xué)發(fā)展史上海市市東中學(xué)楊鋒第七講希臘數(shù)學(xué)——之“阿波羅尼奧斯與圓錐曲線

”

1阿波羅尼奧斯生平簡(jiǎn)介阿波羅尼奧斯(ApolloniusofPerga)，約公元前262一公元前l(fā)90年)大約是在阿基米德(Archimedes)誕生之后25年出生在小亞細(xì)亞西北部的城市別加(Perga)。由于在希臘叫阿波羅尼奧斯的學(xué)者較多，所以常稱他為別加的阿波羅尼奧斯。2據(jù)數(shù)學(xué)家帕波斯記載，他為森密斯的天文學(xué)家阿利斯塔克(AristarchusofSamos，約公元前310—前230)的聲望所吸收，在青年時(shí)代去亞里山大里亞城，向歐幾里得(Euclid)的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。3他曾訪問(wèn)帕加馬王國(guó)(小亞細(xì)亞西北)的佩爾加蒙(Pergamum)。在那里有新建的大學(xué)和圖書(shū)館。在那兒他結(jié)識(shí)了亞里士多德(Aristotle)的學(xué)生、數(shù)學(xué)家歐德莫斯和國(guó)王阿塔拉斯(Attalus)一世。阿波羅尼奧斯將自己的著作《圓錐曲線》的前三卷和后五卷分別獻(xiàn)給了他們兩人。4阿波羅尼奧斯的主要著作是關(guān)于圓錐曲線的。我們知道在阿波羅尼奧斯之前早就有人研究圓錐曲線了。阿利斯塔克和歐幾里得都寫(xiě)過(guò)這方面的書(shū)，在阿基米德的論著中也有這方面的一些結(jié)果。然而阿波羅尼奧斯做了去粗取精和使之系統(tǒng)化的工作。他的《圓錐曲線》除了綜合前人的成就之外，還包含有獨(dú)到的創(chuàng)見(jiàn)材料，而且寫(xiě)得巧妙、靈活，組織得非常出色。5就成就而言，它在幾何發(fā)展史上是一個(gè)巍然屹立的豐碑，是古典希臘幾何的登峰造極之作?！秷A錐曲線》一問(wèn)世，立即被奉為“權(quán)威”，常被后世作者所引用。在《圓錐曲線》一書(shū)中已見(jiàn)坐標(biāo)制思想的端倪，他以圓錐體底面直徑作為橫坐標(biāo)，過(guò)頂點(diǎn)的垂線作為縱坐標(biāo)。這給后世坐標(biāo)幾何的建立以很大的啟發(fā)。6阿波羅尼奧斯對(duì)圓錐曲線的幾何性質(zhì)有深刻的理解，并將拋物鏡面能將平行于軸的光束聚集于焦點(diǎn)處的性質(zhì)應(yīng)用于光學(xué)而寫(xiě)了一本《取火鏡》。他在天文學(xué)方面也頗有建樹(shù)，證明了求行星留點(diǎn)的方法，成功地將幾何學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)。7阿波羅尼奧斯和歐幾里得一樣，吸收了古典時(shí)期學(xué)者們數(shù)學(xué)工作的精華，并將自己研究的新成果融合于其中。他共寫(xiě)了7本數(shù)學(xué)著作，其中最著名、最重要的是《圓錐曲線》一書(shū)。8《圓錐曲線》一書(shū)分8篇共含487個(gè)命題。這8篇著作，前4篇是從12一13世紀(jì)的希臘手稿復(fù)制出來(lái)的。復(fù)制時(shí)，由帕波斯增加了一條預(yù)備定理。而歐托基奧斯就前4篇進(jìn)行了編輯和評(píng)論，其后3篇是從1290年的阿拉伯譯本轉(zhuǎn)譯的。第8篇已失傳，到17世紀(jì)則由哈雷根據(jù)帕波斯書(shū)中的啟示編寫(xiě)成一個(gè)整理本。9

歐幾里得及阿基米德都像柏拉圖派學(xué)者萬(wàn)奈赫莫斯最早所提出的那樣，把圓錐曲線看成是從3種正圓錐割出的曲線。(如圖1，用一個(gè)平面以垂直于某一母線的方向分別去截頂角是銳角、直角和鈍角的3種直圓錐，那么就會(huì)得出3種不同的圓錐曲線。)據(jù)悉，歐幾里得和阿基米德都知道，從直角與銳角的直圓錐也能割出橢圓，阿基米德還知道有些與斜圓錐上所有母線都相交的平面能在其上截出橢圓。10然而，阿波羅尼奧斯是第一個(gè)依據(jù)同一個(gè)(正的或斜的)圓錐的截面來(lái)討論圓錐曲線理論的人。阿波羅尼奧斯指出，同一個(gè)圓錐，只要改變截面的位置就可產(chǎn)生3種圓錐曲線(如圖2)。他也是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人。11/cnet/dynamic/maintain/item/accessory/1098403860906.swf1213圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線

圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。14橢圓，雙曲線，拋物線的定義1.橢圓：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。即：。2.雙曲線：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為定值（定值小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做雙曲線。即：。3.拋物線：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做拋物線。151.橢圓：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。即：。162.雙曲線：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為定值（定值小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做雙曲線。即：173.拋物線：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做拋物線。18《圓錐曲線》的第1篇通過(guò)幾何作圖得到關(guān)于圓錐曲線的定義和基本性質(zhì)，并首次引入齊曲線(現(xiàn)在稱之為拋物線)、虧曲線(現(xiàn)在稱之為橢圓)和超曲線(現(xiàn)在稱之為雙曲線)的新名稱，取代了之前的直角圓錐曲線、銳角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線的叫法。第1篇中還論述了圓錐曲線的切線。19《圓錐曲線》的第2篇論述了雙曲線的漸近線的作法和性質(zhì)，以及如何求一圓錐曲線的直徑、有心圓錐曲線的中心及拋物線、有心圓錐曲線的軸。20《圓錐曲線》的第3篇論述了關(guān)于切線與直徑所成圖形的面積的定理。其中有一定理是“圓的兩條相交弦各自被交點(diǎn)所分成的兩段相乘其積相等”的定理在非圓的一般圓錐曲線上的推廣：如圖3，OP與OQ是圓錐曲線的切線，若該圓錐曲線的一弦及名平行于OP，而另一弦RˊSˊ平行于OQ，且RS與RˊSˊ或其延長(zhǎng)線相交于J，則有21《圓錐曲線》的第3篇還論述了圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的所謂調(diào)和性質(zhì)以及有心圓錐曲線的焦點(diǎn)的性質(zhì)。22《圓錐曲線》第4篇論述了極點(diǎn)和極線的其他性質(zhì)以及各種位置的圓錐曲線可能有的交點(diǎn)數(shù)目。阿波羅尼奧斯在此證明了兩圓錐曲線至多相交于四黑。23《圓錐曲線》的第5篇確有其新穎和獨(dú)到之處。它論述了從任一給定圓錐曲線所在平面上的點(diǎn)O到圓錐曲線所能作的最長(zhǎng)和最短的線。阿波羅尼奧斯還證明了如若OP為O點(diǎn)到圓錐曲線的最長(zhǎng)或最短線，P為該線與圓錐曲線的交點(diǎn)，則過(guò)P且與OP垂直的直線必為圓錐曲線的切線。24當(dāng)O在圓錐曲線內(nèi)時(shí)，延長(zhǎng)OP到圓錐曲線外任一點(diǎn)Oˊ，則OˊP必為Oˊ點(diǎn)到該圓錐曲線的極小線。我們知道，現(xiàn)今稱切線在切點(diǎn)處的垂線為法線，故阿波羅尼奧斯所言極大、極小線均為法線。隨后，阿波羅尼奧斯考察了法線的性質(zhì)，并指出從圓錐曲線內(nèi)部或外部的給定點(diǎn)作法線的方法以及能作二、三或四條法線的點(diǎn)相對(duì)圓錐曲線的位置。25《圓錐曲線》的第6篇講述全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形。這弓形也象圓的弓形一樣被定義為圓錐曲線的弦所割出的一部分面積。這一篇還給出怎樣在一給定的直角圓錐上作出與已知圓錐曲線相等的圓錐曲線。26《圓錐曲線》的第7篇講述了有心圓錐曲線兩共軛直徑的性質(zhì)。

已失傳的第8篇，從帕波斯的書(shū)中所講的來(lái)看，也許是關(guān)于怎樣定出有心圓錐曲線的共軛直徑，使其長(zhǎng)度的某些函數(shù)具有給定的值。27

帕波斯的書(shū)中還提到阿波歲尼奧斯的其他6部數(shù)學(xué)著作。其中《論切觸》，它的內(nèi)容是由韋達(dá)重新整理出來(lái)。該書(shū)中含有著名的阿波羅尼奧斯問(wèn)題：任給三點(diǎn)、三線或三圓，或點(diǎn)、線、圓共同集中的任意三者，求作一個(gè)圓過(guò)選定的點(diǎn)、而與選定的直線、圓相切。后來(lái)的許多數(shù)學(xué)家研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，包括韋達(dá)和牛頓都給出了這個(gè)問(wèn)題的解。28阿波羅尼奧斯在《論點(diǎn)火鏡》一書(shū)中，論述了拋物鏡面能把焦點(diǎn)處發(fā)出的光反射成平行于鏡面軸的光束的特性；反之，若射于鏡面的光線平行于軸，則光線由拋物鏡面反射后就聚