初中數(shù)學-《14.1變量與函數(shù)》教學設計

《14.1變量與函數(shù)》教學設計

教學目標

知識與技能：（1）探索具體問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律.

（2）從具體的事例了解常量、變量的意義.

（3）結(jié)合實例，理解函數(shù)的概念以及自變量的意義.

過程與方法：在探究問題的過程中，體會從具體的事例中尋找常量、變量、判斷兩個變量之

間是否滿足函數(shù)關系的過程.

情感態(tài)度價值觀：通過學習函數(shù)概念，提高學生的分析、綜合能力，滲透由特殊到一般、由

具體到抽象的思考方法，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，感受現(xiàn)實生活中函數(shù)的普遍性，體會

事物之間的相互聯(lián)系與制約.

教學重點1.認識變量、常量.

2.確定函數(shù)解析式，指出自變量及變量間的對應函數(shù)關系.

教學難點理解函數(shù)的概念.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，引入課題

出示圖片，從圖片中你看到了什么？

1、學生回答提出的問題

2、引導：把層層的漣漪抽象成數(shù)學問題，圓在變大，而半徑的大小又決定圓的面積的大小，

半徑在變化圓的面積也在變化，我們稱這種發(fā)生變化了的量為變量，引出課題——變量與

函數(shù)。

二、探究具體問題的數(shù)量關系，感受變量和常量的含義

1、如果鉛筆0.5元/支，設總金額為y（元），鉛筆

為x（支），（1）填出下表：

X（支）12345???

y（元）???

由于問題貼近學生生活，學生能夠快速思考并回答問題

（2）y與x的關系式：學生回答：y=5=0.5x

引導分析：當x的取值在發(fā)生變化時，y的取值也隨著發(fā)生了變化，y隨著x的變化而變化，

在這一個變化過程哪些量是變量？學生回答：y與x。接著引導0.5這個量有沒有發(fā)生變

化，學生能夠想到0.5作為鉛筆的單價不會發(fā)生變化，那么像這種不會發(fā)生變化的量我們稱

為常量。板書（一、變量與常量）

思考：每當鉛筆支數(shù)x取定一個值時，你發(fā)現(xiàn)總金額y就會怎樣？

學生通過列表可發(fā)現(xiàn)當x取定一個值時，總金額y也會跟著確定一個值。

2、一輛汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米.行駛時間為t小時.

1.請同學們根據(jù)題意填寫下表：

t/時12345

S/千米

分析：這是一個路程、速度與時間的問題，他們?nèi)咧g的關系是

路程=速度義時間。教師點名學生回答，并解釋其答案的來歷。

（2）寫出S與t的關系式學生回答，s=60t

思考：每當行駛時間x取定一個值時，你發(fā)現(xiàn)行駛路程y就會怎樣？

學生回答：每當行駛時間x取定一個值，行駛路程y就會隨之確定一個值。

3、用10m長的繩子圍成一個矩形，當矩形的一邊長x分別為3m、3.5m、4m、4.5m時，它

的鄰邊長y分別為多少？寫出y與x的關系式。

學生回答，教師評價

x/m33.544.5

y/m

思考：每當一邊長x取定一個值時，你發(fā)現(xiàn)鄰邊長y就會怎樣？

學生回答：當一邊長x取定一個值，鄰邊長y就會隨之確定一個值。

三、問題引申，探索函數(shù)的概念

上面每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就

這種變量間的對應關系我們就成為函數(shù)。引入函數(shù)，教師板書（二、函數(shù)）

我們來具體看一下函數(shù)概念，幻燈片出示。

函數(shù)的概念：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的

值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

分析：y=0.5xs=60ty=5-x這三個關系式中的函數(shù)關系，哪個量是自變量，哪個量

是自變量的函數(shù)，前兩個教師引領分析，第三個提問。并且像這種關系式我們稱為函數(shù)解析

式。

出示：如果當x=a時y=b,那么b叫做當自變量x的值為a時y的函數(shù)值。教師舉例：

像y=0.5x,當x=l時，y=0.5,那么0.5叫做當自變量是1時的函數(shù)值，怎樣去求當x=2

時的函數(shù)值啊，把x=2代入往函數(shù)解析式里邊去求函數(shù)值y。

問題：現(xiàn)在你認識函數(shù)了嗎？結(jié)合著剛才的3個問題自己仔細體會一下什么是函數(shù)。

思考：

（1）如圖是濱州春季某一天的氣溫圖象，對于t的每一個確定的值，T都有唯一確定

的對應值嗎？T是t的函數(shù)嗎？

2、在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份與人口數(shù)可以記作兩個變量x與y,對于表中

每一個確定的年份（X）,都對應著一個確定的人口數(shù)（y）嗎？y是x的函數(shù)嗎？

中國人口數(shù)統(tǒng)計聶

年份人口數(shù)/億

198410.34

198911.06

199411.76

199912.52

教師引導分析：是否滿足函數(shù)關系就看當其中一個變量的值取定時另一個變量是否也有

唯一的值與其對應。

學生思考后回答，若有困難可討論解決。

四、學生舉例身邊的函數(shù)關系。

五、應用提高、拓展創(chuàng)新

你能行：寫出函數(shù)解析式并指出哪些量是自變量？哪些量是自

變量的函數(shù)？

（1）向一水池每分鐘注水0.1m3,注水量y（單位：m3）隨注水時間x（單位:

min）的變化而變化；

（2）改變正方形的邊長X,正方形的面積S隨之變化;

（3）秀水村的耕地面積是106m2,這個村人均占有耕地面積y（單位：m2）隨這

個村人數(shù)n的變化而變化；

學生獨立完成，3名學生板演函數(shù)解析式，完成后共同講解

相信自己：

1.一個三角形的底邊為5,高h可以任意伸縮，三角形的面積也隨之

2.發(fā)生了變化.（1）面積s隨高h變化的關系式s=,其中常量

是，

變量是,是函數(shù)。

（2）當h=3時，面積s=

X（個）123???

2.購買一些文具盒，單價4元,總價為y元，

???

文具盒為X個，根據(jù)題意填表：y（元）

（1）y隨x變化的關系式y(tǒng)=,是自變量，是的函

數(shù)；（2）當購買8個文具盒時，總價為元.

學生獨立思考，必要時進行適當?shù)挠懻?，然后進行交流.

六、小結(jié)收獲：

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

學生討論交流，互相分享

板書設計

14.1變量與函數(shù)

一、變量與常量

二、函數(shù)

《19.1變量與函數(shù)》學情分析

學生在小學階段學習過正比例和反比例關系，知道具有正（或反）比例關

系的兩個量中，一個量隨著另一個量的增大而增大（或減?。?；在字母表示數(shù)中，

接觸過當字母取值發(fā)生變化時代數(shù)式的值隨之發(fā)生變化。學生在生活中也具有對

兩個變量之間存在依存關系的體驗，如氣溫隨時間的變化而變化，單價固定時總

價隨著數(shù)量的變化而變化。盡管這些經(jīng)驗和生活經(jīng)驗可以幫助學生理解函數(shù)的含

義，但初次接觸函數(shù)概念，學習中還是會遇到較大困難。其中主要困難在于難以

概括出“一個變量的值的確定導致另一個變量取值的唯一確定”這一函數(shù)概念的

核心，當一個變量的值確定時，另一個變量怎樣才算“唯一確定”？學生容易認

為，函數(shù)關系中的“唯一確定”僅指通過公式求出的唯一的值，對不能用公式求

出值的單值對應關系難以理解。因此，本節(jié)的難點是對函數(shù)概念中的“單值對應”

的理解。

從學生能力層面看，通過以前的學習，學生已有一定的分析、推理和概括

能力，初步具備了學習函數(shù)概念的基本能力。考慮到函數(shù)作為數(shù)學概念本身的復

雜性以及學生的認知思維水平，學生對函數(shù)概念的理解是一個不斷加深、螺旋式

上升的過程，不可能一次到位。

《19.1變量與函數(shù)》效果分析

根據(jù)本教材的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容分析，以及八年級學生的認知結(jié)構(gòu)和心理特征，在

教學過程中，我們要使學生“知其然”還要使學生“知其所以然”。因此，在教

學過程中，需要多種教法和學法有機的結(jié)合。由于本內(nèi)容是初中數(shù)學教學的重難

點，函數(shù)概念具有高度的抽象性，我主要采用了采用師生互動探究式教學，借助

學生熟悉的生活實例，引領學生經(jīng)歷從具體實例中抽象出常量、變量與函數(shù)的過

程，初步理解抽象的函數(shù)概念。在有針對性的問題中，明確研究方向，進而能夠

抽象出概念，抓住函數(shù)的本質(zhì)“唯一對應”。引領學生在自主探索、合作交流中

去發(fā)現(xiàn)、去思考、去質(zhì)疑、去辨析、去交流、去釋疑等直到豁然開朗。

學生開始學習本節(jié)時，對于常量與變量比較容易區(qū)分，但是對于函數(shù)與函數(shù)

值可能發(fā)生混淆。在教學中我注意了引導學生認識到兩者的區(qū)別，函數(shù)是變量，

例如y=2x,y隨著x的變化而變化的量，變量y是變量x的函數(shù)；函數(shù)值是變量

所取得某個具體數(shù)值。一個函數(shù)可能有許多不同的函數(shù)值，例如y=2x在x=l時

的函數(shù)值是2,在x=-l時的，函數(shù)值是-2.通過類似這樣的具體例子可以使學生

提高分辨能力，認識到函數(shù)與函數(shù)值的區(qū)別在于：前者是變量，后者是常數(shù)。

生活中有很多關于函數(shù)的問題情境，教學中我注意了啟發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)這樣的

例子，學生自己列舉身邊的生活實例，分析其中哪個量是變量，哪個量是函數(shù)，

它們之間是如何對應的等。這樣做既有利于借助具體例子認識抽象的數(shù)學概念,

又能提高學生把所學數(shù)學知識與現(xiàn)實生活相聯(lián)系的意識和能力。

從整個教學過程和評測結(jié)果來看，教學效果顯著?；具_到了預期教學目標,

不同層次的學生均有收獲；學生思維積極活躍，有認知沖突，有精彩觀念，有不

同的問題解決方法；師生交流對話充分，教學相長，形成民主和諧、相互尊重、

合作探究的教學氛圍。

《14.1變量與函數(shù)》教材分析

一、教學內(nèi)容解析

《14.1變量與函數(shù)》是人教2011版八年級上冊第十四章第一節(jié)的內(nèi)容，

它是整個初中階段函數(shù)知識學習的基礎。函數(shù)是描述運動變化規(guī)律的重要數(shù)學模

型，它刻畫了變化過程中變量之間的對應關系。它是由常量數(shù)學轉(zhuǎn)變成變量數(shù)學

的一個基礎概念課，學生對它的“變化與對應”思想的理解程度將直接影響到一

次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等后續(xù)知識的學習。

本章內(nèi)容包括函數(shù)的概念和表示法、正比例函數(shù)和一次函數(shù)。一次函數(shù)是函

數(shù)值變化量與自變量變化量的比值固定不變的簡單函數(shù)模型。研究一次函數(shù)可以

獲得初中函數(shù)研究的一般步驟（下定義-一畫圖像--觀察圖像--概括性質(zhì)）和

基本思想（模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想），發(fā)展數(shù)學觀察、表征、抽象

概括和推理能力。函數(shù)概念學習過程中蘊含的核心數(shù)學認知活動是數(shù)學抽象概括

活動。

變量y要成為變量x的函數(shù)，需滿足兩個條件：(1)在同一個變化過程中，

有兩個變量x和y；(2)對于變量x的每一個確定的值，變量y都有唯一確定的

值與之對應?！皢沃祵笔呛瘮?shù)概念的關鍵詞，是函數(shù)概念的核心所在。

本節(jié)內(nèi)容是從學生熟悉的實際問題出發(fā)開始討論，從具體到抽象的認識變量

間的單值對應關系，問題呈現(xiàn)形式有填表、求值等，讓學生通過觀察、比較和分

析，找到問題之間的共同特點，當一個變量取定一個值時，另一個變量也就隨之

確定對應值。通過對多個問題的分析，歸納出各問題中都有相關的兩個變量，這

兩個變量都具有一個變量隨另一個變量而變，而且是單值對應關系。在具體經(jīng)驗

積累到一定程度的基礎上，再給出函數(shù)的定義，并說明這個定義是對各種具體對

象所具有的關系抽象概括后的描述，是對兩個相關變量的地位分別命名。其中在

變化過程中居于主動地位的變量叫做自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的

另一個變量叫做自變量的函數(shù)。有了定義的文字后，還需要適當?shù)脑儆镁唧w例子

對定義中的文字加以解釋。這個認識過程需要一個較長的時間，教學中需安排活

動，反復加深對函數(shù)概念的理解。教材有意識的讓學生運用已有經(jīng)驗，經(jīng)歷觀察

概括過程，使學生在合作交流中對變量與函數(shù)認識由感性逐步發(fā)展到理性，合理

的建構(gòu)知識。

二、教學重難點

本節(jié)課的教學重點：

1.認識變量、常量.

2.確定函數(shù)解析式，指出自變量及變量間的對應函數(shù)關系.

本節(jié)課的教學難點：理解函數(shù)的概念.

三、本節(jié)教材編寫的特點

1.借助實際問題情境，引導學生由具體到抽象的認識函數(shù)。本教材在處理

函數(shù)的概念的引入時采取了傳統(tǒng)方法，通過變量引入函數(shù)，通過大量的現(xiàn)實生活

中一個量隨另一個量變化而變化的實例，讓學生體會這種變化過程中兩個變量之

間的關系。讓學生通過大量的直觀認識積累經(jīng)驗，逐步上升到對函數(shù)概念較高層

次的形式概括和理論把握。

2.教材注重數(shù)學思想方法的滲透與融合。在探索兩個變量之間關系的過程

中，教材特別注重引導學生運用觀察一猜想一驗證一歸納總結(jié)等方法解決問題,

使學生在掌握知識的同時，體驗數(shù)學思想方法。

四、課時安排

教參建議安排14.1函數(shù)分六課時完成，出于考慮變量之間的相互依存關系

和變化規(guī)律反映了函數(shù)的特征，是一個有機的整體，所以我將引導學生從生活實

例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念的學習安排在了同一節(jié)中，至于函數(shù)自變量

的范圍及圖象安排在了后幾節(jié)中，其中函數(shù)的概念是本節(jié)核心內(nèi)容。14.1函數(shù)

分為5課時，5節(jié)新授課，本節(jié)課是14.1函數(shù)的第一節(jié)課。

《14.1變量與函數(shù)》測評練習

本節(jié)課在測評練習方面共涉及四次：

第一次：在學生初步體會實際問題中的變化過程中的兩個變量之間的對應關系，

經(jīng)歷從具體到抽象的認識過程時，安排了3個問題可作為第一次測評練習。

問題：1、如果鉛筆0.5元/支，設總金額為y（元），鉛筆

為x（支），（1）填出下表：

X（支）12345???

y（元）???

（2）y與x的關系式：

2、一輛汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米.行駛時間

為t小時.

（1）請同學們根據(jù)題意填寫下表：

t/時12345

S/千米

（2）寫出S與t的關系式

3、用10m長的繩子圍成一個矩形，當矩形的一邊長x分別為3m、3.5m、4m、

4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？寫出y與x的關系式。

x/m33.544.5

y/m

思考：每當一邊x取定一個值時，你發(fā)現(xiàn)鄰邊長y就會怎樣？

本次練習采取了：學生獨立觀察思考，小組合作、教師指導三種形式。通

過本次練習的設計把學生由常量數(shù)學引入變量數(shù)學，是學生數(shù)學認識上的一個飛

躍.3個實際問題使學生從中感知到變量函數(shù)的存在和意義，體會變量之間的相

互依存關系和變化規(guī)律.遵循從具體到抽象、感性到理性的漸進認識規(guī)律。

第二次：在認識了函數(shù)概念之后去判斷在一個變化過程中的兩個變量是否存在函

數(shù)關系。安排了2個練習題目。

判斷■■■

〈1）如圖是濱州春季某一天的氣溫圖象，對于t的每一

個確定的值，T部有?唯一確定的對應值嗎？T是t的函數(shù)

判斷：

（2）在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份與人口

數(shù)可以記作兩個變量x與y,對于表中每一個確定

的年份〈X），都對應著一個確定的人口數(shù)（y）

嗎？y是x的函數(shù)嗎？

中國人口數(shù)統(tǒng)計表

年份X

人口數(shù)y（億）

198410.34

198911.06

199411.76

199912.52

通過判斷，學生更能加深對函數(shù)概念的理解。

第三次：學生自己舉例身邊的函數(shù)關系，使學生更能掌握函數(shù)關系，更能激發(fā)學

生對學習函數(shù)概念的積極性。

第四次：課堂練習，鞏固新知。

通過此次練習，學生對變量與函數(shù)關系的理解有了一個整體的把握。

《14.1變量與函數(shù)》的課后反思

教參建議安排14.1函數(shù)分六課時完成，出于考慮變量之間的相互依存關系

和變化規(guī)律反映了函數(shù)的特征，是一個有機的整體，所以我將引導學生從生活實

例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念的學習安排在了同一節(jié)中，至于函數(shù)自變量

的范圍及圖象安排在了后幾節(jié)中，其中函數(shù)的概念是本節(jié)核心內(nèi)容。

本節(jié)內(nèi)容是從學生熟悉的實際問題出發(fā)開始討論，從具體到抽象的認識變量

間的單值對應關系，問題呈現(xiàn)形式有填表、求值等，讓學生通過觀察、比較和分

析，找到問題之間的共同特點，當一個變量取定一個值時，另一個變量也就隨之

確定對應值。通過對多個問題的分析，歸納出各問題中都有相關的兩個變量，這

兩個變量都具有一個變量隨另一個變量而變，而且是單值對應關系。在具體經(jīng)驗

積累到一定程度的基礎上，再給出函數(shù)的定義，并說明這個定義是對各種具體對

象所具有的關系抽象概括后的描述，是對兩個相關變量的地位分別命名。其中在

變化過程中居于主動地位的變量叫做自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的

另一個變量叫做自變量的函數(shù)。有了定義的文字后，還需要適當?shù)脑儆镁唧w例子

對定義中的文字加以解釋。這個認識過程需要一個較長的時間，教學中需安排活

動，反復加深對函數(shù)概念的理解。教材有意識的讓學生運用已有經(jīng)驗，經(jīng)歷觀察

概括過程，使學生在合作交流中對變量與函數(shù)認識由感性逐步發(fā)展到理性，合理

的建構(gòu)知識。

結(jié)合自己所教案例，對本節(jié)課教學策略進行以下幾點簡要分析：

1.總體上我的教學思路是由具體一一抽象一一具體

在學生已有的知識經(jīng)驗的基礎上，一起來研究具體的實際問題，尋找它們的

共同點，從而引出兩個變量之間的對應關系。

2.從學生已有知識出發(fā)

教師要深入了解各層次學生思維實際，提供充分的信息，為各層次學生參與

探索學習活動創(chuàng)造條件，沒有學生主體的主動參與，不會有學生主體的主動發(fā)展,

教師若不了解學生實際，一下子把學習目標定得很高，勢必會造成部分學生高不

可攀而坐等觀望，失去信心浪費寶貴的學習時間。因此，我在一開始設計了3

個問題，讓學生在一個寬松愉悅的環(huán)境中，走進生活，開始學習函數(shù)。這樣所設

的起點較低，學生比較容易接受。

3.鼓勵學生大膽猜想

猜想是科學發(fā)現(xiàn)的前奏。學生的學習活動中同樣不能沒有猜想，否則，主體

性探究活動便缺少了內(nèi)在的動力，自主學習的過程也成了失去目標的無意義操

作。

4.師生平等交流

教學過程是師生共創(chuàng)共生的過程，新課程確定的培養(yǎng)目標和所倡導的學習方

式要求教師必須轉(zhuǎn)換角色。改變已有的教學行為，教師必須從“師道尊嚴”的

架子中走出來，與學生平等地參與教學，成為共同建構(gòu)學習的參與者。在以上教

學片斷中，教師讓學生充分經(jīng)歷學習過程，調(diào)動學生學習的熱情：觀察一一猜想

一一舉例驗證一一得出結(jié)論，在欣賞學生的“閃光”處給學生“點撥”。教師沒

有過多的講授，也沒有花大量的時間去刻意的創(chuàng)設教學情境，只是做喚醒學生主

體意識的工作，引導學生大膽猜想，大膽表達。

教學中的不足和改進之處：

在教學過程中，也有不盡人意的地方，如雖然本節(jié)課在引入函數(shù)概念上下了

不少工夫，但在理解上還不夠，另外還有部分學困生對函數(shù)沒有明確的認識，沒

有照顧到全體學生；再就是本節(jié)課時間分配還不夠合理，講授新知時間太長，練

習時間較短。今后的工作中，要多向以下幾個方面努力：

1.多聽課，多學習。尤其是優(yōu)秀教師的課，學習他們的新思想、新方法，改

善課堂教學，提高課堂教學藝術和課堂效率。

2.加強同科組教師之間的溝通和交流，相互學習，取長補短，共同進步。

3.認真鉆研教材，把握好教材的重點、難點、關鍵點、易混點，上課時才