2024屆山東省九校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆山東省九校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知橢圓的方程為()，如果直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則的值為（）A．2 B．2 C．4 D．82．在中，角，，所對的邊為，，，且為銳角，若，，，則（）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形4．將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…表示n是第i組的第j個(gè)數(shù)，例如，，則（）A． B． C． D．5．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．6．已知?jiǎng)t（）A． B． C． D．7．如圖所示是的圖象的一段，它的一個(gè)解析式為()A． B．C． D．8．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（）A．3 B．5 C．2 D．19．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)之積為，并且滿足條件：，，，下列結(jié)論中正確的是()A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最小值10．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．12．若直線：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.13．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實(shí)際長度為______．14．已知扇形的圓心角，扇形的面積為，則該扇形的弧長的值是______.15．如果奇函數(shù)f（x）在[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①減函數(shù)且最小值是-5；②減函數(shù)且最大值是-5；③增函數(shù)且最小值是-5；④增函數(shù)且最大值是-516．等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，，則首項(xiàng)的取值范圍是____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐中，分別為棱上的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，求證：平面平面.18．泉州與福州兩地相距約200千米，一輛貨車從泉州勻速行駛到福州，規(guī)定速度不得超過千米/時(shí)，已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度千米/時(shí)的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為64元.（1）把全程運(yùn)輸成本元表示為速度千米/時(shí)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？19．已知為的三內(nèi)角，且其對邊分別為．且（1）求的值；（2）若，三角形面積，求的值．20．已知方程有兩根、，且，.（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；（2）當(dāng)，時(shí)，用表示.21．已知.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，解關(guān)于x的不等式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

首先求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知點(diǎn)的坐標(biāo)是，再代入橢圓方程，解的值.【題目詳解】設(shè)焦點(diǎn)，代入直線，可得，由橢圓性質(zhì)可知，，解得或（舍）,.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解題分析】

利用正弦定理化簡，再利用三角形面積公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．【題目詳解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，聯(lián)立，解得：，由于為銳角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（負(fù)數(shù)舍去）故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，余弦定理，以及面積公式在三角形求邊長中的應(yīng)用，屬于中檔題．3、A【解題分析】

根據(jù)a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知，根據(jù)基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結(jié)果．【題目詳解】由a，b，c依次成等差數(shù)列，有2b=a+c(1)由，，成等比數(shù)列,有(2)，由(1)(2)得，又根據(jù)，當(dāng)a=c時(shí)等號成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的形狀判斷，結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)及基本不等式關(guān)系可得三邊關(guān)系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.4、C【解題分析】

由等差數(shù)列求和公式及進(jìn)行簡單的合情推理可得：2019為第1010個(gè)正奇數(shù)，設(shè)2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個(gè)奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個(gè)數(shù)，得解．【題目詳解】由已知有第n組有2n-1個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，則前n組共有個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，又2019為第1010個(gè)正奇數(shù)，設(shè)2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個(gè)奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個(gè)數(shù)，即2019=（32，49），故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等差數(shù)列求和公式分析出規(guī)律，再結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求解，屬于中等題.5、C【解題分析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計(jì)算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤．6、B【解題分析】

根據(jù)條件式,判斷出,,且.由不等式性質(zhì)、基本不等式性質(zhì)或特殊值即可判斷選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)樗钥傻?,且對于A,由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以A錯(cuò)誤;對于B,由基本不等式可知,即由于,則,所以B正確;對于C,由條件可得,所以C錯(cuò)誤;對于D,當(dāng)時(shí)滿足條件,但,所以D錯(cuò)誤.綜上可知,B為正確選項(xiàng)故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用,根據(jù)基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，得出振幅與周期，從而求出與的值．【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象知，振幅，周期，即，解得；所以時(shí)，，；解得，，所以函數(shù)的一個(gè)解析式為．故答案為D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

先由題意確定抽樣比，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，抽樣比為，所以應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣，會由題意求抽樣比即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解題分析】

根據(jù)題干條件可得到數(shù)列>1,0<q<1,數(shù)列之和越加越大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到進(jìn)而得到B正確；由前n項(xiàng)積的性質(zhì)得到是數(shù)列中的最大值；從開始后面的值越來越小，但是都是大于0的，故沒有最小值.【題目詳解】因?yàn)闂l件：，，，可知數(shù)列>1,0<q<1,根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)大于0，公比大于0，得到數(shù)列項(xiàng)均為正，故前n項(xiàng)和，項(xiàng)數(shù)越多，和越大，故A不正確；因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)列性質(zhì)得到，故B不對；前項(xiàng)之積為，所有大于等于1的項(xiàng)乘到一起，能夠取得最大值，故是數(shù)列中的最大值.數(shù)列無最小值,因?yàn)閺拈_始后面的值越來越小，但是都是大于0的，故沒有最小值.故D正確.故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、C【解題分析】

試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得解.詳解：由，得.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點(diǎn)應(yīng)在線段上（不包含點(diǎn)）,當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，直線的傾斜角為，當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為13、【解題分析】

利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，可得為一個(gè)直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線的實(shí)際長度為.【題目詳解】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個(gè)直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實(shí)際長度為.【題目點(diǎn)撥】本題考查斜二測畫法的規(guī)則，考查基本識圖、作圖能力.14、【解題分析】

先結(jié)合求出，再由求解即可【題目詳解】由，則故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的弧長和面積公式的使用，屬于基礎(chǔ)題15、④【解題分析】

由題意結(jié)合奇函數(shù)的對稱性和所給函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果．【題目詳解】奇函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，則若奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為1，那么f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上是增函數(shù)且最大值為﹣1．故答案為：④．【題目點(diǎn)撥】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用等，重點(diǎn)考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．16、【解題分析】

由題得，利用即可得解【題目詳解】由題意知，，可得，又因?yàn)?，所以可求?故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)線面平行的判定定理，在平面中找的平行線，轉(zhuǎn)化為線線平行的證明；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為平面.【題目詳解】（1），分別是，的中點(diǎn)，；又平面，平面，平面.（2），，；平面，；又平面，平面，平面，又平面，平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查了面面垂直的證明，難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化為線面垂直,方法：結(jié)合已知條件，選定其中一個(gè)面為垂面，在另外一個(gè)面中找垂線，不行再換另外一個(gè)面.18、（1）,；（2），貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛【解題分析】

（1）先計(jì)算出從泉州勻速行駛到福州所用時(shí)間，然后乘以每小時(shí)的運(yùn)輸成本（可變部分加固定部分），由此求得全程運(yùn)輸成本，并根據(jù)速度限制求得定義域.（2）由，，對進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求得行駛速度.當(dāng)時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性求得行駛速度.【題目詳解】（1）依題意一輛貨車從泉州勻速行駛到福州所用時(shí)間為小時(shí)，全程運(yùn)輸成本為，所求函數(shù)定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，故有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.當(dāng)時(shí)，易證在上單調(diào)遞減故當(dāng)千米/時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小.綜上，為了使全程運(yùn)輸成本最小，，貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時(shí)速度行駛.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查基本不等式求最小值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、(1)；(2)【解題分析】

（1）利用正弦定理化簡，并用三角形內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式化簡，求得，由此求得的大小.（2）利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理列方程，化簡求得的值.【題目詳解】解：（1），得：∵∴，即∵，∴，∵，∴（2）由（1）有，又由余弦定理得：又，，所以【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角形的面積公式，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由反三角函數(shù)的定義得出，，再由韋達(dá)定理結(jié)合兩角和的正切公式求出的值，并求出的取值范圍，即可得出的值；（2）由韋達(dá)定理得出，，再利用兩角和的正切公式得出的表達(dá)式，利用二倍角公式將等式兩邊化為正切，即可用表示.【題目詳解】（1）由反三角函數(shù)的定義得出，，當(dāng)，時(shí)，由韋達(dá)定理可得，，易知，，，，則.由兩角和的正切公式可得，；（2）由韋達(dá)定理得，，所以，，，，又由得，則，則、至少一個(gè)是正數(shù)，不妨設(shè)，則，又，，易知，，因此，