廣東省梅州市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

廣東省梅州市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解

析）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求.

1.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)2=（2+。（1-2。（，是虛數(shù)單位），則z=（）

A.3+4zB.3-4zC.4-3/D.4+3?

2.（5分）一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個(gè)

邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為（）

A.26B.25/2C.4+D.80

3.（5分）設(shè)A、3為兩個(gè)互斥事件，且P（A）>0,P（B）>0,則下列各式錯(cuò)誤的是（

）

A.尸（A8）=OB.P（AB）=P（A）P（B）

C.P（^（jB）=lD.P（A|jB）=P（A）+P（B）

4.（5分）已知a,/是兩個(gè)不同的平面，〃?，"是兩條不同的直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.若〃?///，mllayn!IP,則a//￡B.若a///7,mua，nu。，則〃?//〃

C.若,則〃//aD.若,mJ-a>n］。,則a_L￡

5.（5分）已知平面向量d=（l,-3）,b=（4,-2）,斯+至與。垂直，則幾是（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)為,x2,均，…，百°,且片+考+…+流=185,平均數(shù)

x=4,則該組數(shù)據(jù)的方差d=()

35

A.1B.-C.2D.

22

7.（5分）祖瞄（公元5-6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條

原理：“寨勢(shì)既同，則積不容異.”這句話(huà)的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水

平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)

學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖曬晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖

將底面直徑皆為2"高皆為a的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面￡

上，以平行于平面月的平面于距平面方任意高4處可橫截得到%及S環(huán)兩截面，可以證明

5回=5環(huán)總成立?據(jù)此，短軸越長(zhǎng)為6cm，長(zhǎng)半軸C￡＞為4cm的橢半球體的體積是（）

A.2475?B.48/rc"/C.192zrcwi3D.384^C7TZ3

8.（5分）已知長(zhǎng)方體43。-A筋GQ的高A4,=2,AC=246,ABt=x,AD,=y,則

當(dāng)x+y最大時(shí)，二面角A-AA-G的余弦值為（）

A屈R屈,小n6

5555

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（l-i）z=2i（i是虛數(shù)單位），則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是（

）

A.|z|=V2

B.復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)為5=-l-i

C.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第三象限

D.復(fù)數(shù)z是方程d+2x+2=0的一個(gè)根

10.（5分）已知AA8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,A=~,a=m,b=4,

4

若滿(mǎn)足條件的A48c有兩個(gè)，則機(jī)的值可以是（）

A.2>/2B.2-C.3D.4

11.（5分）在疫情防護(hù)知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)某校的2000名生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖

所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100],60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表

值，則下列說(shuō)法中正確的是（）

OO3J^1——?

0.020^----------廠（十

0.015b--T—

0.000150b---r---l------I---HII—II.

CT405060708090100j^^

A.成績(jī)?cè)赱70,80）的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為500

C.考生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為75分

D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為75分

12.（5分）正方體A8CQ-A4GR中，E是棱。"的中點(diǎn)，下在側(cè)面CDRG上運(yùn)動(dòng)，且

滿(mǎn)足用F//平面ABE.以下命題正確的有（）

A.側(cè)面上存在點(diǎn)F,使得

B.直線(xiàn)8尸與直線(xiàn)3c所成角可能為30。

C.平面A8E與平面CDRC；所成銳二面角的正切值為20

D.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則過(guò)點(diǎn)E、F、A的平面截正方體所得的截面面積最大為更

2

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.

13.（5分）向量6滿(mǎn)足|@|=1,出|=2,1與6的夾角為120。，則|21-b|=.

14.（5分）某校為了普及“一帶一路“知識(shí)，舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分10分，有10名

同學(xué)代表班級(jí)參加比賽，已知學(xué)生得分均為整數(shù)，比賽結(jié)束后統(tǒng)計(jì)這10名同學(xué)得分情況如

折線(xiàn)圖所示，則這10名同學(xué)成績(jī)的極差為—，80%分位數(shù)是—.

成績(jī)/分

15.（5分）重慶一中高一、高二、高三的模聯(lián)社團(tuán)的人數(shù)分別為25,15,10,現(xiàn)采用分層

抽樣的方法從中抽取部分學(xué)生參加模聯(lián)會(huì)議，已知在高二年級(jí)和高三年級(jí)中共抽取5名同

學(xué)，若從這5名同學(xué)中再隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)文件翻譯工作，則抽取的兩名同學(xué)來(lái)自同一

年級(jí)的概率為一.

16.（5分）在邊長(zhǎng)為3的菱形A8CD中，BD=36,將菱形4夕8沿其對(duì)角線(xiàn)AC折成直

二面角3-AC-。，若A,B,C,。四點(diǎn)均在某球面上，則該球的表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）在三角形A8C中，AB=2,AC=\,ZACB=-,。是線(xiàn)段8c上一點(diǎn)，且

2

BD=-DC,F為線(xiàn)段A3上一點(diǎn).

2

（1）若南=x/市+>恁，求x—y的值；

（2）求C戶(hù)雨的取值范圍.

18.（12分）如圖，在正方體A8C￡>-A4CQI中，棱長(zhǎng)為1，E為的中點(diǎn)，=O.

（1）求證：AC_L平面與8。2；

（2）求證：OE//平面ACg；

(3)求三棱錐E-ACq的體積.

19.(12分)在①bcosC+ccosB=2acosC;②csinZJ-75/?cosC=0；③

(a+A+c)(a+8-c)=3aA這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的

題目.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.

(1)求角C;

(2)若c=2,A4BC的面積為正，求AABC的周長(zhǎng).

4

20.(12分)某校為了解高一新生對(duì)文理科的選擇，對(duì)1000名高一新生發(fā)放文理科選擇調(diào)

查表，統(tǒng)計(jì)知，有600名學(xué)生選擇理科，400名學(xué)生選擇文科.分別從選擇理科和文科的

學(xué)生隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得如下累計(jì)表：

分?jǐn)?shù)段理科人數(shù)文科人數(shù)

[40,50)T

[50,60)一if

[60,70)Tif

[70,80)正一正

[80,90)正一T

[90,100]iFT

(1)從統(tǒng)計(jì)表分析，比較選擇文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分及學(xué)生選擇文理科的情況，并繪制

理科數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.

(2)從考分不低于70分的選擇理科和文科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，求選取理科

學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一定至少高于選取文科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率.

蛀

fflST

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

405060708090100成績(jī)

21.(12分)如圖，在三棱柱A8C-A4G中，平面A4CG_1底面ABC,AB=BC=2,

ZACB=30°,ZC,CB=60°,BC,1\C,E為AC的中點(diǎn)，側(cè)棱CG=2.

(1)求證：AC_LCE；

(2)求直線(xiàn)CG與平面MC所成角的余弦值?

22.(12分)杭州西溪國(guó)家濕地公園是以水為主題的公園，以濕地良好生態(tài)環(huán)境和多樣化濕

地景觀資源為基礎(chǔ)的生態(tài)型主題公園.欲在該公園內(nèi)搭建一個(gè)平面凸四邊形A8CD的休閑、

觀光及科普宣教的平臺(tái)，如圖所示，其中OC=4百米，D4=2百米，AABC為正三角形.建

成后ABCD將作為人們旅游觀光、休閑娛樂(lè)的區(qū)域，AAQ將作為科普宣教濕地功能利用、

弘揚(yáng)濕地文化的區(qū)域.

(1)當(dāng)NA￡>C=工時(shí)，求旅游觀光、休閑娛樂(lè)的區(qū)域ABC￡>的面積;

3

(2)求旅游觀光、休閑娛樂(lè)的區(qū)域的面積的最大值.

2020-2021學(xué)年廣東省梅州市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求.

1.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(2+i)(l—2i)(i是虛數(shù)單位)，則z=()

A.3+4zB.3-4/C.4-3/D.4+3/

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解：z=(2+i)(l-2i)=2-4i+i-2/=4-3i.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.(5分)一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個(gè)

邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為()

A.2gB.2&C.4GD.8夜

【考點(diǎn)】LB：平面圖形的直觀圖

【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法的過(guò)程把給出的直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個(gè)

頂點(diǎn)在原圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用直線(xiàn)段連結(jié)后得到原四邊形，再計(jì)算平行四邊形的面積即可.

【解答】解：還原直觀圖為原圖形如圖所示，

因?yàn)椤?=2,所以00=2夜，還原回原圖形后，

Q4=OA=2,O8=2Ob=4拒；

所以原圖形的面積為2x4a=8五.

故選：D.

y

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面圖形直觀圖的畫(huà)法于應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是還原成原圖形，是基

礎(chǔ)題.

3.(5分)設(shè)A、3為兩個(gè)互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,則下列各式錯(cuò)誤的是(

)

A.P(AB)=0B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A|jB)=lD.P(A|jB)=P(A)+P(B)

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥的概念，即可求解.

【解答】解：?.?4、B為兩個(gè)互斥事件，

.-.AB=0,即P(A8)=0,故A選項(xiàng)正確，3選項(xiàng)錯(cuò)誤，

wu豆是必然事件，

P(A|jB)=l,故C選項(xiàng)正確，

?.?A、8為兩個(gè)互斥事件，

AP(A|Jfi)=P(A)+P(B),故。選項(xiàng)正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互斥的概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知a,/?是兩個(gè)不同的平面，m,〃是兩條不同的直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.若“//〃，mlla,n!I/3,則a///B.若a//,"iuc，nu/3,則,*//〃

C.若mVa,則〃//aD.若/?_!_〃，tnVa,〃_L尸，則aJ■?

【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線(xiàn)與直

線(xiàn)之間的位置關(guān)系；平面與平面垂直

【分析】由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行、直線(xiàn)與平面平行的位置關(guān)系判定A；由平面與平面平行可得

兩平面中直線(xiàn)的位置關(guān)系判定5；由直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面垂直的關(guān)系分析C;由直線(xiàn)

與平面垂直的性質(zhì)及面面平行的判定判斷D.

【解答］解：若，"http://”,，〃//￡,"http:///，則a//￡或a與尸相交，故A錯(cuò)誤；

若aI/(3,mua,nu。,則"〃/〃或，〃與〃異面，故3錯(cuò)誤；

若〃?_!_〃，mVa,則”//a或“ua,故C錯(cuò)誤；

若“7J_",>則〃〃a或〃ua,又〃_L夕，則a_L￡,故￡>正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考

查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.

5.(5分)己知平面向量1=(1,一3),5=(4,-2),而+B與口垂直，則人是()

A.-1B.1C.-2D.2

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

【分析】由于(&i+5)_Ld,所以(4〉+&3=0,即(4+4)-3(—34—2)=0,整理得1=-1.

【解答】解：+

(26?4-/?)-a=0,

即(2+4)-3(-32-2)=0,

整理得104+10=0,

A=-1r

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】高考考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算及向量垂直；

易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算出錯(cuò)；

全品備考提示：高考中每年均有相當(dāng)一部分基礎(chǔ)題，要想得到高分，這些習(xí)題均不能大意，

要爭(zhēng)取多得分，最好得滿(mǎn)分.

6.(5分)已知一組樣本數(shù)據(jù)石，%,七，…，Mo，且/*+*+…+匕)=185,平均數(shù)

x=4,則該組數(shù)據(jù)的方差/=()

35

A.1B.-C.2D.-

22

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，即可求解.

【解答】解：由題意可知，x,+x2+x3+---+x10=4x10=40,

—

2-4）~+（的-4）~+（Xj4）~H---F（xJ0-4）~父+X；+W-I—,+工）-8（%+x>+巧HF與））+16xl0185—8x40+16x10

io-io=io-

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)和方差的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）祖曬（公元5-6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條

原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異.”這句話(huà)的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水

平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)

學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖眼晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖

將底面直徑皆為2b,高皆為。的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面?

上，以平行于平面力的平面于距平面尸任意高d處可橫截得到品及S環(huán)兩截面，可以證明

S網(wǎng)=S環(huán)總成立.據(jù)此，短軸A5長(zhǎng)為6cm,長(zhǎng)半軸8為4c〃?的橢半球體的體積是（）

A.24%CM?B.48%＜加C.192刀cn?D.384萬(wàn)。加!

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

【分析】利用題中給出的橢球的計(jì)算公式求解即可.

【解答】解：由題意可知，短軸A3長(zhǎng)為6?！埃L(zhǎng)半軸8為4cm的橢半球體的體積為：

"毛/球=%柱一%錐=乃于4?萬(wàn)3-4=24^（c/n3）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把

新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)

進(jìn)行解答即可，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）已知長(zhǎng)方體的高44,=2，AC=2瓜,ABt=x,ADt=y,則

當(dāng)x+y最大時(shí)，二面角A-線(xiàn)口-J的余弦值為（）

.V15RV15「石n石

5555

【考點(diǎn)】MJ：二面角的平面角及求法

【分析】推導(dǎo)出當(dāng)x+y最大時(shí)，AB=BC=2g,以。為原點(diǎn)，八4為x軸，ZJC為），軸，

。2為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

【解答】解：?.?長(zhǎng)方體A8CD-A4GA的高A4,=2,AC=2屈,AB}=x,ADt=y,

.,.當(dāng)x+y最大時(shí)，AB=BC=2出,

以。為原點(diǎn)，以為x軸，，心為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2石，0,0),6(2百,2后，2),0,(0,0,2),C,(0,273,2),

AB；=(0,2石，2),AD[=(-273,2),

設(shè)平面ABQ的法向量”=(x,y,z),

,n?AB.=2\/3y4-2z=0但不

則nis___，取x=l,得元=(1,—1,V3),

n?ADl=-2y/3x+2z=0

平面BQG的法向量m=(0,0,1),

設(shè)二面角A-BtD1-C,的平面角為a,結(jié)合圖形得a為鈍角,

|m?n\73_屈

則cosa=-

Im\?\ii\

二.二面角A_B]D[_C[的余弦值為—.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面角的余弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（l-i）z=22?是虛數(shù)單位），則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是（

A.|z|=&

B.復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)為5=-1-7

C.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第三象限

D.復(fù)數(shù)z是方程V+2x+2=0的一個(gè)根

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答

案.

■23AA-1AZ;U-i2/2/(1+1)-2+2’-2+2/

【解答】解：由(l-，)z=2i,得2=——=--_—=----h=—\+i.

l-i(1-z)(l+0l-i2

22

.-]Z|=7(-1)+1=>/2,故A正確;

z=-l-z,故8正確；

平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第二象限，故C錯(cuò)誤;

V(-l+02+2(-l+0+2=-2i-2+2i+2=0,

復(fù)數(shù)Z是方程j?+2x+2=o的一個(gè)根，故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念與復(fù)數(shù)模的求法，考查復(fù)

數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

10.(5分)已知AABC的內(nèi)角A,B>C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,A=—>a=m,b=4,

4

若滿(mǎn)足條件的AAfiC有兩個(gè)，則”的值可以是()

A.2&B.2y/3C.3D.4

【考點(diǎn)】正弦定理

【分析】因?yàn)锳,6已知，所以AABC的頂點(diǎn)A、C■為定點(diǎn)，3點(diǎn)為44一邊上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)

合圖象，利用垂線(xiàn)段最短，討論，"的取值范圍.

【解答】解：如圖，5點(diǎn)在射線(xiàn)4上運(yùn)動(dòng).過(guò)C點(diǎn)作C4_L/1,垂足為用.

在AAC4中，AC=4,所以C81=2后，

結(jié)合圖象，若滿(mǎn)足條件的AABC有兩個(gè)，則。=山6(20,4)；

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題是解三角形中解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.(5分)在疫情防護(hù)知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)某校的2000名生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖

所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

［80,90）,［90,100］,60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表

A.成績(jī)?cè)冢?0,80）的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為500

C.考生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為75分

D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為75分

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖

【分析】由頻率分布直方圖，求出該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和對(duì)應(yīng)的頻率和頻數(shù)，即可判斷

命題的正誤.

【解答】解：由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)冢?0,80］的頻率最大，

因此成績(jī)分布在此的考生人數(shù)最多，所以A正確；

成績(jī)?cè)冢?0,60］的頻率為0.005x10+0.015x10=0.2,

所以不及格的人數(shù)為2000x0.2=400（人），所以3錯(cuò)誤；

成績(jī)?cè)冢?0,80］的頻率最大，所以眾數(shù)為75,即C正確；

成績(jī)?cè)冢?0,70］的頻率和為0.4,

所以中位數(shù)為70+10x21x73.33,即。錯(cuò)誤.

0.3

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)據(jù)分析與運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

12.（5分）正方體ABC。-AAG.中，E是棱。2的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面8QG上運(yùn)動(dòng)，且

滿(mǎn)足片F(xiàn)//平面A8E.以下命題正確的有（）

A.側(cè)面C￡)AG上存在點(diǎn)F,使得8尸，?！?/p>

B.直線(xiàn)8尸與直線(xiàn)3c所成角可能為30。

C.平面A8E與平面CDRG所成銳二面角的正切值為20

D.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則過(guò)點(diǎn)E、F、A的平面截正方體所得的截面面積最大為更

2

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用：異面直線(xiàn)及其所成的角；二面角的平面角及求法

【分析】A：在平面內(nèi)找到點(diǎn)尸證明垂直即可；

3：找到B,F與BC所成角的最大值進(jìn)行驗(yàn)證即可；

C：找到二面角的平面角，進(jìn)而求出其正切值進(jìn)行驗(yàn)證；

。：找到截面面積大于正，即可證明。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

【解答】解：取CQ中點(diǎn)M,CC中點(diǎn)N,連接與M,B、N,MN,

易證與N//AE,MN//A.B,

從而平面B、MN//平面ABE,

所以點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)軌跡為線(xiàn)段MN,

取F為MN中點(diǎn)，

因?yàn)槭堑妊切危?/p>

所以屁F_LMN,

又因?yàn)镸N//G?,

所以81F_LCR,

故A正確;

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線(xiàn)用F與直線(xiàn)3c所成角最大,

11

此時(shí)tanNC|BL==tan30°,

3飛

所以8錯(cuò)誤;

平面81MN//平面A8E,

取尸為MV中點(diǎn)，則MNJ_GF,MNLB7,

3FQ即為平面B]MN與平面CDD?所成的銳二面角,

tanZB.FC,=箜=2收,

GF

所以C正確；

當(dāng)F為GE與交點(diǎn)時(shí)，易知截面為菱形AGGE（G為8M中點(diǎn)）,

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1,

所以AG="fG=夜，

此時(shí)截面面積可以為逅,

2

故￡?錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何中二面角的平面角，線(xiàn)面垂直，線(xiàn)線(xiàn)所成角，及截面積求解的相

關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.

13.（5分）向量5滿(mǎn)足|町=1,|5|=2,I與5的夾角為120。,則|2＜一萬(wàn)|=_2石

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

【分析】根據(jù)條件可求出a/=-i,再由|21一5|=J（2萬(wàn)一by,求出|24-b|的值.

【解答】解：由=1,|6|=2,<萬(wàn),6>=120。,

ab=-\,|2乙一6|==：4片一4萬(wàn)石+川=：4+4+4=2#.

故答案為：2G.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量的模，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

14.（5分）某校為了普及“一帶一路“知識(shí)，舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分10分，有10名

同學(xué)代表班級(jí)參加比賽，已知學(xué)生得分均為整數(shù)，比賽結(jié)束后統(tǒng)計(jì)這10名同學(xué)得分情況如

折線(xiàn)圖所示，則這10名同學(xué)成績(jī)的極差為7,80%分位數(shù)是.

【考點(diǎn)】BC-.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【分析】根據(jù)數(shù)表寫(xiě)出這組數(shù)據(jù)，再求極差和分位數(shù).

【解答】解：由題意知，

數(shù)據(jù)3,6,6,6,6,6,7,8,9,10的極差是10-3=7；

所以數(shù)據(jù)3,6,6,6,6,6,7,8,9,10的80%分位數(shù)是組=8.5.

2

故答案為：7,8.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)數(shù)表寫(xiě)出數(shù)據(jù)，以及極差和分位數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

15.（5分）重慶一中高一、高二、高三的模聯(lián)社團(tuán)的人數(shù)分別為25,15,10,現(xiàn)采用分層

抽樣的方法從中抽取部分學(xué)生參加模聯(lián)會(huì)議，已知在高二年級(jí)和高三年級(jí)中共抽取5名同

學(xué)，若從這5名同學(xué)中再隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)文件翻譯工作，則抽取的兩名同學(xué)來(lái)自同一

年級(jí)的概率為-.

-5-

【考點(diǎn)】33：分層抽樣方法；CB-.古典概型及其概率計(jì)算公式

【分析】在高二年級(jí)抽取3人，在高三年級(jí)抽取2人，從這5名同學(xué)中再隨機(jī)抽取2名同學(xué)

承擔(dān)文件翻譯工作，基本事件總數(shù)〃=C；=10,抽取的兩名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)包含的基本事

件個(gè)數(shù)機(jī)=C；+C；=4,由此能求出抽取的兩名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的概率.

【解答】解：重慶一中高一、高二、高三的模聯(lián)社團(tuán)的人數(shù)分別為25,15,10,

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取部分學(xué)生參加模聯(lián)會(huì)議，

在高二年級(jí)和高三年級(jí)中共抽取5名同學(xué)，

則在高二年級(jí)抽取：5x3—=3人，在高三年級(jí)抽?。?x—W—=2人，

15+1015+10

從這5名同學(xué)中再隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)文件翻譯工作，

基本事件總數(shù)〃=戲=10,

抽取的兩名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)〃?=C；+C；=4,

則抽取的兩名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的概率為p='=3=2.

n105

故答案為：

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.（5分）在邊長(zhǎng)為3的菱形中，8O=3g,將菱形ABCD沿其對(duì)角線(xiàn)AC折成直

二面角B-AC-D,若A,B,C,。四點(diǎn)均在某球面上，則該球的表面積為_(kāi)157_.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積

【分析】由菱形438,|=3,=求解底面ACD外接圓半徑，利用球心到

各頂點(diǎn)距離相等求解火，可得結(jié)論.

【解答】解：由題意菱形他8滿(mǎn)足，|A8|=3,BD=3y/3,:.ZBAC=-,

3

將菱形/WCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成一個(gè)直二面角B-AC-D,

底面AACD是正三角形，邊長(zhǎng)為3,外接圓半徑為：LXBX3=6,

32

外接球半徑為R，球心與圓心的距離為4=走，

2

AABC的外接圓的半徑為廣，AABC是正三角形，邊長(zhǎng)為3,

所以r=—x—X3=5/3.

32

d2+r2=R2,R=\）r2+d2=J（百）?+.

外接球的表面積S=4/rR2=15萬(wàn).

故答案為：15萬(wàn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的

培養(yǎng).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在三角形A8C中，AB=2,AC=1,ZACB=-,。是線(xiàn)段8c上一點(diǎn)，且

2

BD=-DC,F為線(xiàn)段AB上一點(diǎn).

2

(1)^AD=xAB+yAC,求x—y的值；

(2)求。戶(hù)網(wǎng)的取值范圍.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【分析】(1)由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得而=2都+,而，由平面向量基本定理即可求得

33

x,y的值，由此得解；

(2)設(shè)|而bx(0<x<2),而

CF-E4=|C4||M|cosZC4B-|AF|2=-x-^2=-(x--)2+—,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可

得解.

【解答】解：(1)???BD=-DC,,

2

AD-AB=-(AC-AD),BP-AD=AB+-AC,

222

AD=-AB+-AC,

33

又AD=xAB+yAC,

(2)?.?在AABC中，AB=2,AC=\,ZACB=-,

2

:.ZCAB=-,BC=6,

3

^FA=(CA+~MF)FA=CAFA+AFFA,

設(shè)|而|=x,由題意，xe[O,2],

CF-M=|C4||^i|cosZC4B-|AF|2=^x-x2=-(x-^)2+p,

又xe[O,2],

.■.-U--)2+—e[-3,—],即麗?麗的取值范圍為[-3,—].

4161616

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.(12分)如圖，在正方體4BCD-A4CQ中，棱長(zhǎng)為1,￡為BQ的中點(diǎn)，AC^BD=O.

(1)求證：ACJ_平面B乃。A；

(2)求證：DE//平面AC4：

(3)求三棱錐E-AC4的體積.

B

【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行；直線(xiàn)與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【分析】(1)利用正方體的幾何性質(zhì)可證明8耳，AC,結(jié)合ACJ.3。，由線(xiàn)面垂直的判定

定理可證明4c，平面；

(2)連接0片，利用四邊形88a力是平行四邊形，得到BD//BR且BD=BR,進(jìn)一步證

明四邊形。E80是平行四邊形，可得DE//OB,,由線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；

(3)由DE7/平面4c4，則E點(diǎn)到平面ACS的距離即為。點(diǎn)到平面ACS的距離，由等

體積法求解體積即可.

［解答］(1)證明：：在正方體ABCD-48clA中，±平面ABCD,

又ACu平面ABCE>,BB,±AC,

-.■ACA.BD,=B,BD,平面與BOR,

.?.47_1_平面與8?！?1；

(2)證明：連接04,

在正方體中，BBJ/DD\且BB、=DD、,

：.四邊形88QQ是平行四邊形，

:.BD//B、D\且BD=B\D「

-.O,E分別為BD,BQ中點(diǎn)，

.1.DO=EB、,

：.四邊形OEBQ是平行四邊形，

.-.DE//OB,,

-：DE9平面ACB,,OB,u平面ACB、,

.\?！?；//平面4。片；

(3)由(2)得DE//平面AC4，

E點(diǎn)到平面ACBi的距離即為D點(diǎn)到平面ACg的距離,

由等體積法可得，ACS=%

VCE-A/tVCDB|〃一AC■巧力一AriCCDLz=-3-SMISCniD-U-BB'1=~.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線(xiàn)面垂直與線(xiàn)面平行的判定定理的運(yùn)用，錐體體積公式的運(yùn)用，對(duì)于三

棱錐的體積問(wèn)題，常運(yùn)用等體積法求解，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

19.(12分)在①bcosC+ccosB=2acosC；②csinB-6ACOSC=0；③

(a+A+c)(a+A-c)=3a。這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的

題目.

在A48C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.

(1)求角C；

(2)若c=2,AA8C的面積為3,求AA8C的周長(zhǎng).

4

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理

【分析】(1)條件①：利用正弦定理邊化角，利用和差角公式求角C.條件②：利用正弦

定理邊化角，利用同角關(guān)系求角C;條件③：利用余弦定理求角C;

(2)利用余弦定理，面積公式構(gòu)造方程組求解.

【解答】解：(1)選①，,/bcosC+ccosB-cosC,

由正弦定理得sin8cosC+sinC8s8=2sinAcosC,

即sin(B+C)=2sinAcosC,

又在AABC中，sin(8+C)=sinA,As(0,%),sinA>0,

/.sinA=2sinAcosC,

cosC=—,

2

?.?OvCv4,

C=-.

3

選②，,/csinB-\/3Z?cosC=0,

由正弦定理得sinCsinB-Visin8cosc=0,

又在AABC中，sinB>0,

/.tanC=V5,

,.?OCCVTT,

..C=L

3

選③，,/(a+h+c)(a+h-c)=3ah，

(a+h)2-c2=3ah,即a2+b2-c2=ab,

c=-.

3

(2)vC=-,c=2,AA5c的面積為且，

34

1Q有

..S=—cibsinC=—cib=—,

MBC244

/.ah=\>

又由余弦定理得4=必，

BR(a+b)2=3ab+4=7,

a+h=y/l，

即a+〃+c=2+\/7,

所以AABC的周長(zhǎng)為2+?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理、三角形面積公式、和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(12分)某校為了解高一新生對(duì)文理科的選擇，對(duì)1000名高一新生發(fā)放文理科選擇調(diào)

查表，統(tǒng)計(jì)知，有600名學(xué)生選擇理科，400名學(xué)生選擇文科.分別從選擇理科和文科的

學(xué)生隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得如下累計(jì)表：

分?jǐn)?shù)段理科人數(shù)文科人數(shù)

[40,50)T

[50,60)一TP

[60,70)TiF

[70,80)正一正

[80,90)正一T

[90,100]IFT

（1）從統(tǒng)計(jì)表分析，比較選擇文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分及學(xué)生選擇文理科的情況，并繪制

理科數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.

（2）從考分不低于70分的選擇理科和文科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，求選取理科

學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一定至少高于選取文科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率.

頻率f

畫(huà)

0.040

0.035----1-,-1-:--：-,

0.030……彳

0.025?一”一:■一:一-卜???；??”

0.020-r---!----!

o.ois.J

0.010…；???；?一；一?；一十??十一J

0.005?--；一-?）???:???；-???：????：????；

?????t?

0405060708090100成績(jī)

【考點(diǎn)】88：頻率分布直方圖；CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

【分析】（1）從統(tǒng)計(jì)表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均

成績(jī)，反映了數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)學(xué)生選擇文理科有一定的影響；

（2）利用互斥事件的加法公式，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）從統(tǒng)計(jì)表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)

平均成績(jī)，反映了數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)學(xué)生選擇文理科有一定的影響，頻率分布直方圖如右.

（2）設(shè)選擇理科的學(xué)生考分在[70,80）,[80,90）,[90,100]分別為事件A,A,,&選

擇文科的學(xué)生考分在[70,80）,[80,90）,[90,100]的事件分別為片，B2,B、,事

件。=選取理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一定至少高于選取文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一個(gè)分?jǐn)?shù)段.

則c=4瓦+外（司（J。），-P?=P（4）?P（4）+P（A）（P（4）+P（B2）），

由累計(jì)表可得尸(C)=^-x—+—x(—+—)=—

161016101080

蛀

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

040$060708090100成績(jī)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，考查概率的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于

中檔題.

21.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，平面AACC|J_底面ABC,AB=BC=2,

ZACB=30°,ZC,CB=60°,,E為AC的中點(diǎn)，側(cè)棱CC；=2.

(1)求證：AC_LC|E；

(2)求直線(xiàn)CG與平面43c所成角的余弦值.

【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面垂直；直線(xiàn)與平面所成的角

【分析】(1)證明3EJ_AC,BEVA.C,結(jié)合推出平面即可證

明AC_LC；E.

(2)說(shuō)明GCA為直線(xiàn)GC與平面A8C所成的角，

解法一：過(guò)H作〃ML8c于連通過(guò)求解三角形，推出直線(xiàn)GC與面A8C所成

的角的余弦值.

解法二：NGCE為直線(xiàn)GC與平面43C所成的角，利用余弦定理，然后求解即可.

【解答】(1)證明：?,?A3=BC,E為AC的中點(diǎn)，

:.BEVAC,

又平面AACq1平面ABC,

平面A4CGC平面ABC=AC,

???BEu平面A4CC1,

又ACu平面AACG，.-.BEIA.C,

又BCJAC,BEQBC,=,

ACJL平面GEB,

???GEu平面C1￡B,.-.A.CA-QE.

(2)?.?平面AACG_L平面ABC,

:.C,在平面ABC上的射影〃在AC上,

N￡C4為直線(xiàn)C,C與平面ABC所成的角，

解法一：

過(guò)“作〃M_L8C于〃，連CM,vBC±ClW,,

可得8c_L平面CtMH,G"u平面C、MH,BC1C.M,

在心△QCM中，CM=CCtcosZ.CXCM=2cos60°=1,

CM_2^3

在RtACMH中,

cosZ.ACB3

c-也=2

x/3

;.在RtAC￡H中,

1cq2V

直線(xiàn)GC與面ABC所成的角的余弦值為立

解法二:

:.C,在平面ABC上的射影〃在AC上,

NCCE為直線(xiàn)C.C與平面ABC所成的角，

在A5C0中，BC=CC,=2,ZC,CB=60°,

二.ABCC1為等邊三角形，BC、=2,

在AA8C中，BEYAC,:.CE=￡,

由（1）得，.?.3E_L平面AACG，又GEu平面A