2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入知識能否憶起一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，br)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部假設(shè)b0，那么abi為實(shí)數(shù)；假設(shè)b0，那么abi為虛數(shù)；假設(shè)a0，b0，那么abi為純虛數(shù)2復(fù)數(shù)相等：abicdiac，bd(a，b，c，dr)3共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd0(a，b，c，dr)4復(fù)數(shù)的模：向量oz的長度叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|.二、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a，b)平面向量.三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法那么設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，那么：(1)加法：

2、z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)2復(fù)數(shù)加法、乘法的運(yùn)算律對任意z1，z2，z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)；z1·z2z2·z1，(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.小題能否全取1(教材習(xí)題改編)ar，i為虛數(shù)單位，假設(shè)(12i)(ai)為純虛數(shù)，那么a的值等于()a6b2c2d

3、6解析：選b由(12i)(ai)(a2)(12a)i是純虛數(shù)，得由此解得a2.2(2022·湖南高考)假設(shè)a，br，i為虛數(shù)單位，且(ai)ibi，那么()aa1，b1ba1，b1ca1，b1da1，b1解析：選d由(ai)ibi，得1aibi，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得a1，b1.3(2022·天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)()a1ib1ic1id1i解析：選c1i.4假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2i，那么z對應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限解析：z2i(1i)22i，因此z對應(yīng)的點(diǎn)為(2,2)，在第二象限內(nèi)答案：二5假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi，那么|z|_.解析：因?yàn)閦i13ii14i，那么|z|.答案：1

4、.復(fù)數(shù)的幾何意義除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意(1)|z|z0|a(a>0)表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；(2)|zz0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離2復(fù)數(shù)中的解題策略(1)證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：zabirb0(a，br)；zrz.(2)證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：zabi為純虛數(shù)a0，b0(a，br)；b0時(shí)，z2bi為純虛數(shù)；z是純虛數(shù)z0且z0.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念典題導(dǎo)入例1(1)(2022·陜西高考)設(shè)a，br，i是虛數(shù)單位，那么“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件

5、(2)(2022·鄭州質(zhì)檢)如果復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù))的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，那么b等于()ab.c.d2自主解答(1)假設(shè)復(fù)數(shù)aabi為純虛數(shù)，那么a0，b0，ab0；而ab0時(shí)a0或b0，a不一定是純虛數(shù)，故“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)的必要不充分條件(2)，依題意有22b4b，解得b.答案(1)b(2)a由題悟法處理有關(guān)復(fù)數(shù)的根本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來處理由于復(fù)數(shù)zabi(a，br)由它的實(shí)部與虛部唯一確定，故復(fù)數(shù)z與點(diǎn)z(a，b)相對應(yīng)以題試法1(2022·東北模擬)1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)

6、單位，那么xyi的共軛復(fù)數(shù)為()a12ib12ic2id2i解析：選d依題意得x(1i)(1yi)(1y)(1y)i；又x，yr，于是有解得x2，y1.xyi2i，因此xyi的共軛復(fù)數(shù)是2i.復(fù)數(shù)的幾何意義典題導(dǎo)入例2(2022·山西四校聯(lián)考)復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1，虛部為2，那么(i為虛部單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限自主解答選c依題意得，因此該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第三象限由題悟法復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量也是一一對應(yīng)的，因此復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可按平面向量加減法理解，利用平行四邊形法

7、那么或三角形法那么解決問題以題試法2(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對應(yīng)的點(diǎn)分別為a，b，假設(shè)c為線段ab的中點(diǎn)，那么點(diǎn)c對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()a48ib82ic24id4i(2)(2022·連云港模擬)復(fù)數(shù)z112i，z21i，z334i，它們在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為a，b，c，假設(shè)，(，r)，那么的值是_解析：(1)復(fù)數(shù)65i對應(yīng)的點(diǎn)為a(6,5)，復(fù)數(shù)23i對應(yīng)的點(diǎn)為b(2,3)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段ab的中點(diǎn)c(2,4)，故點(diǎn)c對應(yīng)的復(fù)數(shù)為24i.(2)由條件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根據(jù)得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.答案：(1)c(2)1復(fù)數(shù)的

8、代數(shù)運(yùn)算典題導(dǎo)入例3(1)(2022·山東高考)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2i)117i(i為虛數(shù)單位)，那么z為()a35ib35ic35id35i(2)(2022·重慶高考)復(fù)數(shù)()aibic.id.i自主解答(1)z35i.(2)i.答案(1)a(2)c由題悟法1復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法運(yùn)算是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式2記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度：(1±i)2±2i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn)以題試法3(1)(2022·山西四校聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛

9、復(fù)數(shù)為，假設(shè)z1i(i為虛數(shù)單位)，那么z2的值為()a3ib2icidi(2)i為虛數(shù)單位，4_.解析：(1)依題意得z2(1i)22ii2ii.(2)44i41.答案：(1)d(2)11(2022·江西高考)假設(shè)復(fù)數(shù)z1i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，那么z22的虛部為()a0b1c1d2解析：選az1i，1i，z22(z)22z440，z22的虛部為0.2(2022·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()a(1,3) b(3,1)c(1,3) d(3，1)解析：選a由13i得，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,3)3(2022·長春調(diào)研)假設(shè)復(fù)數(shù)(ai)2在

10、復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，那么實(shí)數(shù)a的值是()a1b1c.d解析：選b因?yàn)閺?fù)數(shù)(ai)2(a21)2ai，所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a21,2a)，又因?yàn)樵擖c(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，所以有解得a1.4(2022·萍鄉(xiāng)模擬)復(fù)數(shù)等于()a.bc.idi解析：選b.5(2022·河南三市調(diào)研)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z，那么|z|()aib1ic1idi解析：選b由得zi，|z|i|1i.6(2022·安徽名校模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，假設(shè)(2i)z3i，那么z·的值為()a1b2c.d4解析：選b設(shè)zabi(a，br)，代入(2i)z3i，得(2ab)(

11、2ba)i3i，從而可得a1，b1，那么z·(1i)(1i)2.7(2022·長沙模擬)集合m，i是虛數(shù)單位，z為整數(shù)集，那么集合zm中的元素個(gè)數(shù)是()a3個(gè)b2個(gè)c1個(gè)d0個(gè)解析：選b由得mi，1，i,2，z為整數(shù)集，zm1,2，即集合zm中有2個(gè)元素8定義：假設(shè)z2abi(a，br，i為虛數(shù)單位)，那么稱復(fù)數(shù)z是復(fù)數(shù)abi的平方根根據(jù)定義，那么復(fù)數(shù)34i的平方根是()a12i或12ib12i或12ic724id724i解析：選b設(shè)(xyi)234i(x，yr)，那么解得或9在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1i與13i分別對應(yīng)向量和，其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|_.解析：由題意知a(1,1)

12、，b(1,3)，故|2.答案：210復(fù)數(shù)z1i，那么_.解析：z1(i)i2i.答案：2i11設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|5且(34i)z是純虛數(shù)，那么_.解析：設(shè)zabi(a，br)，那么有5.于是(34i)z(3a4b)(4a3b)i.由題設(shè)得得ba代入得a2225，a±4，或43i或43i.答案：±(43i)12._.解析：13i.答案：13i13(2022·上海高考改編)復(fù)數(shù)z1滿足(z12)(1i)1i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，那么z2_.解析：(z12)(1i)1iz12i.設(shè)z2a2i，ar.那么z1·z2(

13、2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1·z2r，a4.z242i.答案：42i14假設(shè)復(fù)數(shù)za21(a1)i(ar)是純虛數(shù)，那么的虛部為_解析：由題意得所以a1，所以i，根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為.答案：1(2022·山東日照一模)在復(fù)數(shù)集c上的函數(shù)f(x)滿足f(x)那么f(1i)等于()a2ib2c0d2解析：選d1ir，f(1i)(1i)(1i)2.2i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z(12i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為m，那么“a>是“點(diǎn)m在第四象限的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選cz(12i)(ai)(

14、a2)(12a)i，假設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，那么a2>0，且12a<0，解得a>.即“a>是“點(diǎn)m在第四象限的充要條件3復(fù)數(shù)zxyi(x，yr)，且|z2|，那么的最大值為_解析：|z2|，(x2)2y23.由圖可知max.答案：4復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i，與復(fù)數(shù)1216i互為共軛復(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)m_.解析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得解之得m1.答案：15z是復(fù)數(shù)，z2i，均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)zxyi(x，yr)，那么z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4

15、)i.由題意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.由于(zai)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，解得2<a<6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)6設(shè)z是虛數(shù)，z，且1<<2.(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；(2)設(shè)u，求證：u為純虛數(shù)解：(1)設(shè)zabi(a，br，b0)，abii，是實(shí)數(shù)，b0.又b0，a2b21.|z|1，2a.1<<2，<a<1，即z的實(shí)部的取值范圍是.(2)ui.<a<1，b0，u為純虛數(shù)1bi(a，br)，其中i為虛數(shù)單位，那么ab()a1b1c2d3解析：選b2aibi，由復(fù)數(shù)相等

16、的條件得b2，a1，那么ab1.2對任意復(fù)數(shù)zxyi(x，yr)，i為虛數(shù)單位，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()a|z|2ybz2x2y2c|z|2xd|z|x|y|解析：選dz2yi，|z|2|y|，選項(xiàng)a、c錯(cuò)誤；而z2(xyi)2x2y22xyi，選項(xiàng)b錯(cuò)誤；而|z|，|z|2x2y2，(|x|y|)2x2y22|xy|x2y2，因此|z|x|y|.3虛數(shù)z，使得z1和z2都為實(shí)數(shù)，求z.解：設(shè)zxyi(x，yr，且y0)，那么z2x2y22xyi，z1，z1r，又y0，x2y21，同理，由z2r得x22xy20，解得z±i.三角函數(shù)、解三角形平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入一、選

17、擇題(此題共12小題，每題5分，共60分)1(2022·新課標(biāo)全國卷)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是()a2ib2ic1id1i解析：選dz1i，所以1i.2(2022·濰坊模擬)x，cosx，那么tan2x()a.bc.d解析：選d依題意得sinx，tanx，所以tan2x.3(2022·廣州調(diào)研)設(shè)復(fù)數(shù)z113i，z232i，那么在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析：選d因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限4(2022·邵陽模擬)a(1，sin2x)，b(2，sin2x)，其中x(0，)假設(shè)|a·b|a|b|，那么

18、tanx的值等于()a1b1c.d.解析：選a由|a·b|a|b|知，ab，所以sin2x2sin2x，即2sinxcosx2sin2x，而x(0，)，所以sinxcosx，tanx1.5(2022·福州質(zhì)檢查)“cos是“cos2的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選acos，cos22cos212×1，由cos可推出cos2.由cos2得cos±，由cos2不能推出cos.綜上，“cos是“cos2的充分而不必要條件6假設(shè)函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù)，那么()a.b.c.d.解析：選cf(x)為偶函

19、數(shù)，k(kz)，3k(kz)又0,2，.7在abc中，a，b，c分別為角a，b，c所對的邊，假設(shè)ccosab，那么abc()a一定是銳角三角形b一定是鈍角三角形c一定是直角三角形d一定是斜三角形解析：選c在abc中，因?yàn)閏cosab，根據(jù)余弦定理，得c·b，故c2a2b2，因此abc一定是直角三角形8設(shè)點(diǎn)a(2,0)，b(4,2)，假設(shè)點(diǎn)p在直線ab上，且|2|，那么點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a(3,1) b(1，1)c(3,1)或(1，1) d無數(shù)多個(gè)解析：選c設(shè)p(x，y)，那么由|2|，得2或2.(2,2)，(x2，y)，即(2,2)2(x2，y)，x3，y1，p(3,1)，或(2,2)

20、2(x2，y)，x1，y1，p(1，1)9(2022·福州質(zhì)檢)將函數(shù)f(x)sin2x(xr)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()a.b.c.d.解析：選b將函數(shù)f(x)sin2x(xr)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)sin2cos2x的圖象，那么函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz，而滿足條件的只有b.10(2022·西安名校三檢)tan，sin()，且，(0，)，那么sin的值為()a.b.c.d.或解析：選a依題意得sin，cos；注意到sin()<sin，因此有>(否那么，假設(shè)，那么有0<<，0<

21、;sin<sin()，這與“sin()<sin矛盾)，cos()，sinsin()sin()coscos()sin.11(2022·河南三市調(diào)研)在abc中，三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且b2a2acc2，ca90°，那么cosacosc()a.b.cd解析：選c依題意得a2c2b2ac，cosb.又0°<b<180°，所以b60°，ca120°.又ca90°，所以c90°a，a15°，cosacosccosacos(90°a)sin2asin30

22、6;.12(2022·廣東高考)對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義.假設(shè)兩個(gè)非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角，且ab和ba都在集合中，那么ab()a.b.c1d.解析：選dab，ba.，0<cos<.×得(ab)(ba)cos2.因?yàn)閍b和ba都在集合中，設(shè)ab，ba(n1，n2z)，即(ab)·(ba)cos2，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均為1，故ab.二、填空題(此題共4小題，每題5分，共20分)13abc的三個(gè)內(nèi)角a、b、c所對邊的長分別為a、b、c，a2，b3，那么_.解析：.答案：14(2022·安徽高考

23、)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)假設(shè)(ac)b，那么|a|_.解析：ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)·b(3,3m)·(m1,1)6m30.m.a(1，1)|a|.答案：15.如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位所在直線ab與旗桿所在直線mn共面，在該列的第一個(gè)座位a和最后一個(gè)座位b測得旗桿頂端n的仰角分別為60°和30°，且座位a、b的距離為10米，那么旗桿的高度為_米解析：由題可知ban105°，bna30°，由正弦定理得，解得an20(米)，在rtamn中，mn20s

24、in60°30(米)故旗桿的高度為30米答案：3016函數(shù)f(x)2sin2cos2x1，xr，假設(shè)函數(shù)h(x)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且(0，)，那么的值為_解析：f(x)2sin2cos2x12sin，h(x)f(x)2sin.函數(shù)h(x)的圖象的對稱中心為2k.，kz.又(0，)，.答案：三、解答題(此題共6小題，共70分)17(本小題總分值10分)(2022·廣州二測)函數(shù)f(x)asin(a>0，>0)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.(1)求a和的值；(2)，且sin，求f()的值解：(1)函數(shù)f(x)在某一周期內(nèi)的圖象的最高坐標(biāo)

25、為，a2，得函數(shù)f(x)的周期t2，2.(2)由(1)知f(x)2sin.，且sin，cos，sin22sincos，cos2cos2sin2.f()2sin22.18(本小題總分值12分)(2022·天津高考)函數(shù)f(x)sinsin2cos2x1，xr.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin2x·coscos2x·sinsin2x·coscos2x·sincos2xsin2xcos2xsin.所以f(x)的最小正周期t.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又f

26、1，f，f1，故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為1.19(本小題總分值12分)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且滿足(2ac)cosbbcosc.(1)求角b的大??；(2)設(shè)m(sina，cos2a)，n(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值解：(1)因?yàn)?2ac)cosbbcosc，所以在abc中，由正弦定理，得(2sinasinc)cosbsinbcosc，所以2sin acos bsin bcos ccos bsin c，即2sin acos bsin a.又在abc中，sin a>0，b(0，)，所以cos b.所以b.(2)因?yàn)閙(sin a，cos 2a)，n(4k,1)(k>1)，所以m·n4ksin acos 2a2sin2a4ksin a1，即m·n2(sin ak)22k21.又b，所以a.所以sin a(0,1所以當(dāng)sina1時(shí)，m·n的最大