數(shù)學分析選講

河南省“十四五”普通高等教育規(guī)劃教材

數(shù)學分析選講

主編郝涌

副主編王玉磊李金偉李倩

別瀟杜金姬苑倩倩

內(nèi)容簡介

本書對數(shù)學分析的實數(shù)與實函數(shù)數(shù)列的極限一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的連續(xù)

、、、

性導數(shù)與微分微分中值定理及導數(shù)的應用不定積分定積分廣義積分含參量的積

、、、、、、

分數(shù)項級數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元

、、、、、

函數(shù)微分學重積分及曲線積分與曲面積分等重要知識點進行了系統(tǒng)的講解和辨析對

、,

近年來一些重點高校的典型考研試題進行了獨到的分析和討論將數(shù)學分析的內(nèi)容按

,

知識點進行整合使得整個知識結(jié)構清晰明了全書敘述簡明扼要重點突出方法

,。,,

典型

。

本書適合作為普通高等學校數(shù)學類各專業(yè)的考研輔導教材也可作為理工科學生學

,

習數(shù)學分析高等數(shù)學課程的輔助教材

“”“”。

圖書在版編目CIP數(shù)據(jù)

()

數(shù)學分析選講郝涌主編版北京中國鐵道

/.—2.—:

出版社有限公司

,2022.9

河南省十四五普通高等教育規(guī)劃教材

“”

ISBN978-7-113-29351-2

數(shù)郝數(shù)學分析高等學校教材

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①--

Ⅳ.①O17

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2022)111698

書名:數(shù)學分析選講

作者:郝涌

策劃:韓從付編輯部電話:

(010)63549508

責任編輯:陸慧萍徐盼欣

封面設計:付巍

封面制作:劉穎

責任校對:孫玫

責任印制:樊啟鵬

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址::

http//www.tdpress.com/51eds/

印刷:三河市興博印務有限公司

版次:年月第版年月第版年月第次印刷

202011202292202291

開本:印張:字數(shù):千

787mm×1092mm1/1620460

書號:

ISBN978-7-113-29351-2

定價:元

54.00

版權所有侵權必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

根據(jù)目前我國高等教育的形勢,越來越多的本科畢業(yè)生選擇了考研。

“數(shù)學分析”是數(shù)學專業(yè)考研的必考科目,同時它也包含了理工科研究生招生考試

中“高等數(shù)學”的主要內(nèi)容。在“考研熱”“考研難”的浪潮下,高校師生越來越迫切希望

有一部專門用于考研輔導的優(yōu)秀教材面世。

編者根據(jù)數(shù)十年考研輔導課的教學經(jīng)驗與體會編寫了本書。自年月出版以

20201

來,受到了廣大讀者的歡迎,并于年月獲批河南省“十四五”普通高等教育規(guī)劃

202012

教材。為了保證圖書質(zhì)量,編寫組經(jīng)過多次研討,結(jié)合使用過程中發(fā)現(xiàn)的一些可以繼續(xù)

完善的地方,最終確定再版的修訂方案。本次修訂的主要工作有:

()更正了書中的計算和證明中出現(xiàn)的錯誤;

1

()第講中,刪去了例原來的證明方法,給出了新的證明;

233.6

()第講中,刪去了勒讓德多項式的相關內(nèi)容;

38

()第講中,刪去了例原來的求解方法,給出了更為簡便的求解方法;

41717.17

()對部分例題進行了適當增減,并補充了一些習題及習題參考答案。

5

本書共講,每講都附有適當數(shù)量的練習題,大約需用學時。全書主要特點

1772

包括:

()知識結(jié)構的整體性。本書有別于數(shù)學分析教材,對知識點按塊分類,進行歸納、

1

比較,便于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)經(jīng)驗。

()知識結(jié)構的聯(lián)系性。數(shù)學分析的考研題不僅涉及本課程的知識點,還常常涉及

2

其他相關科目的知識,如實變函數(shù)、泛函分析、復變函數(shù)、微分方程等,因此,本書根據(jù)需

要對數(shù)學分析的相關知識點進行了適當?shù)耐卣埂?/p>

()強調(diào)對基本概念的理解和辨析。

3

()專題性。本書對許多重要的知識點進行了專題性的討論。

4

()注重解題方法的分析與創(chuàng)新。

5

()力求簡明扼要。本書略去了數(shù)學分析教材中詳細講解的一般知識點,去粗取

6

精,側(cè)重基本概念的分析和解題方法的討論,努力啟發(fā)讀者思維。

本書不僅能加深學生對數(shù)學概念的理解及其對數(shù)學知識框架的整體認識,而且能

大大提高學生分析問題、解決問題的能力,適合作為普通高等學校數(shù)學類各專業(yè)的考研

輔導教材,也可作為理工科學生學習“數(shù)學分析”“高等數(shù)學”課程的輔助教材。

數(shù)學分析選講

參加本書編寫的教師都長期工作在教學第一線,具有豐富的經(jīng)驗。本書由郝涌任

主編,由王玉磊、李金偉、李倩、別瀟、杜金姬、苑倩倩任副主編。具體編寫分工如下:

第講由李倩編寫,第講由別瀟編寫,第講由苑倩倩編寫,第講由

1~34~67~910~12

李金偉編寫,第講由杜金姬編寫,第、講由王玉磊編寫。全書由郝涌統(tǒng)稿

13~151617

定稿。

衷心感謝中國鐵道出版社有限公司在本書出版過程中給予的支持和幫助,同時還

要感謝廣大讀者在閱讀和使用初版過程中提出的寶貴意見!

編者

年月

20224

Ⅱ

第1講實數(shù)與實函數(shù)…………………

1

實數(shù)及實函數(shù)的基本概念………

1.11

實數(shù)…………

1.1.11

實數(shù)的性質(zhì)…………………

1.1.21

關于實數(shù)點集的一些重要概念……………

1.1.32

實函數(shù)………………………

1.1.45

實數(shù)及實函數(shù)的典型問題及討論………………

1.26

習題……………………

9

第2講數(shù)列的極限……………………

11

數(shù)列極限的基本概念…………

2.111

數(shù)列收斂與發(fā)散的定義…………………

2.1.111

數(shù)列收斂的條件…………

2.1.212

求數(shù)列極限的方法……………

2.214

利用單調(diào)有界原理………

2.2.114

利用迫斂法則……………

2.2.216

利用柯西準則……………

2.2.316

利用施篤茲定理…………

2.2.417

利用特殊極限……………

2.2.518

利用定積分………………

2.2.618

利用級數(shù)…………………

2.2.719

轉(zhuǎn)換為函數(shù)的極限………

2.2.820

各種方法的綜合應用……………………

2.2.921

習題……………………

22

第3講一元函數(shù)的極限………………

24

一元函數(shù)極限的基本概念……………………

3.124

一元函數(shù)極限的類型和極限定義………

3.1.124

一元函數(shù)極限存在的條件………………

3.1.224

一元函數(shù)極限的性質(zhì)……………………

3.1.325

Ⅰ

數(shù)學分析選講

無窮小量與無窮大量……………………

3.1.425

關于函數(shù)極限的典型例題及方法……………

3.226

利用定義…………………

3.2.126

利用雙側(cè)極限……………

3.2.229

利用特殊極限……………

3.2.329

利用無窮小量……………

3.2.430

利用泰勒展式……………

3.2.530

利用洛必達法則…………

3.2.631

綜合方法的應用…………

3.2.732

習題……………………

33

第4講一元函數(shù)的連續(xù)性…………

35

一元函數(shù)的連續(xù)與間斷………

4.135

函數(shù)在一點的連續(xù)性……………………

4.1.135

函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性…………………

4.1.236

關于函數(shù)連續(xù)性的問題討論…………………

4.236

利用定義討論連續(xù)性……………………

4.2.136

關于連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的討論……………

4.2.240

關于一致連續(xù)性的討論…………………

4.2.343

習題……………………

47

第5講導數(shù)與微分……………………

48

導數(shù)與微分的基本概念………

5.148

可導與導數(shù)………………

5.1.148

可微與微分………………

5.1.249

關于導數(shù)與微分的一些問題討論……………

5.251

用導數(shù)的定義證明問題…………………

5.2.151

導函數(shù)的特性……………

5.2.252

導數(shù)與微分的計算………

5.2.353

習題……………………

58

第6講微分中值定理及導數(shù)的應用………………

60

微分中值定理及導數(shù)應用的基本概念………

6.160

微分中值定理……………

6.1.160

導數(shù)的應用………………

6.1.263

微分中值定理及導數(shù)應用中的典型問題……

6.266

Ⅱ

目錄

有關中值定理問題的證明技巧…………

6.2.166

凸函數(shù)及其特性…………

6.2.272

習題……………………

78

第7講不定積分………………………

80

不定積分的概念………………

7.180

原函數(shù)……………………

7.1.180

不定積分…………………

7.1.280

不定積分的幾個問題討論……………………

7.284

原函數(shù)的存在問題………

7.2.184

求解不定積分的技巧……………………

7.2.285

習題……………………

89

第8講定積分…………

91

定積分的概念…………………

8.191

定積分定義………………

8.1.191

可積條件…………………

8.1.291

可積函數(shù)類………………

8.1.392

定積分性質(zhì)………………

8.1.494

定積分的計算……………

8.1.598

定積分中的問題討論…………

8.2102

用定積分的定義證明問題………………

8.2.1102

柯西施瓦茨不等式系列………………

8.2.2-106

函數(shù)的零點個數(shù)問題……………………

8.2.3107

雜例………………………

8.2.4108

習題…………………

112

第9講廣義積分……………………

114

廣義積分的基本概念…………

9.1114

無窮區(qū)間的廣義積分……………………

9.1.1114

無界函數(shù)的廣義積分……………………

9.1.2116

廣義積分中的問題討論………

9.2118

廣義積分斂散的判別……………………

9.2.1118

被積函數(shù)趨于零的問題…………………

9.2.2122

廣義積分的計算…………

9.2.3124

習題…………………

129

Ⅲ

數(shù)學分析選講

第10講含參量的積分………………

130

含參量積分的基本概念……………………

10.1130

含參量的正常積分……………………

10.1.1130

含參量的廣義積分……………………

10.1.2132

含參量廣義積分重點問題討論……………

10.2135

關于一致收斂問題……………………

10.2.1135

含參量廣義積分的性質(zhì)………………

10.2.2136

利用含參量積分的性質(zhì)計算廣義積分………………

10.2.3138

習題…………………………

141

第11講數(shù)項級數(shù)……………………

142

數(shù)項級數(shù)的基本概念………

11.1142

數(shù)項級數(shù)的一般性概念………………

11.1.1142

正項級數(shù)………………

11.1.2143

一般項級數(shù)的斂散性…………………

11.1.3145

數(shù)項級數(shù)的一些重要問題討論……………

11.2146

關于斂散的概念問題…………………

11.2.1146

關于級數(shù)斂散的判別問題……………

11.2.2151

習題…………………

155

第12講函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)……………………

156

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂…………………

12.1156

函數(shù)列…………………

12.1.1156

函數(shù)項級數(shù)……………

12.1.2159

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的主要問題討論……

12.2162

關于一致收斂的判定…………………

12.2.1162

關于極限函數(shù)或和函數(shù)的性質(zhì)………

12.2.2169

習題…………………

171

第13講冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)……………………

173

冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)的一般概念…………

13.1173

冪級數(shù)…………………

13.1.1173

傅里葉級數(shù)……………

13.1.2177

冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)主要問題討論………

13.2179

一致收斂及其他性質(zhì)的證明問題……

13.2.1179

求收斂域和函數(shù)及展成冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)問題…

13.2.2、184

Ⅳ

目錄

習題…………………

189

第14講多元函數(shù)的極限與連續(xù)…………………

190

多元函數(shù)極限與連續(xù)的基本概念…………

14.1190

關于平面點集…………

14.1.1190

二元函數(shù)及極限………

14.1.2192

二元函數(shù)的連續(xù)性……………………

14.1.3195

多元函數(shù)極限與連續(xù)一些主要問題討論…………………

14.2197

對一類在原點處為0型的函數(shù)其極限存在與否的判定…………

14.2.1“”197

0

關于連續(xù)性問題的討論………………

14.2.2198

二元函數(shù)連續(xù)與關于各變元分別連續(xù)問題…………

14.2.3199

雜例……………………

14.2.4201

習題…………………………

202

第15講多元函數(shù)微分學……………

203

多元函數(shù)微分的基本概念…………………

15.1203

偏導與全微分…………

15.1.1203

偏導和全微分的計算…………………

15.1.2205

隱函數(shù)和隱函數(shù)組……………………

15.1.3208

偏導與全微分的應用…………………

15.1.4211

多元函數(shù)微分學中重點問題討論…………

15.2217

可微偏導連續(xù)及偏導函數(shù)連續(xù)之間關系…………

15.2.1、、217

關于求偏導及微分……………………

15.2.2218

變量代換化簡偏微分方程……………

15.2.3221

混合偏導與求導順序無關問題………

15.2.4222

應用問題………………

15.2.5223

習題…………………

227

第16講重積分………………………

229

重積分的基本概念…………

16.1229

二重積分………………

16.1.1229

三重積分………………

16.1.2235

重積分的應用…………

16.1.3238

重積分的一些問題討論……………………

16.2242

關于重積分計算的典型例題…………

16.2.1242

Ⅴ

數(shù)學分析選講

重積分的證明問題……………………

16.2.2245

習題…………………

248

第17講曲線積分與曲面積分……………………

250

曲線積分與曲面積分的概念………………

17.1250

第一型曲線積分………

17.1.1250

第二型曲線積分………

17.1.2252

第一型曲面積分………

17.1.3