微積分基本公式

1§5.2

微積分基本公式

問題的提出積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Newton—Leibniz公式小結(jié)作業(yè)(v(t)和s(t)的關(guān)系)★☆☆fundamentalformulaofcalculus

第五章定積分?jǐn)?shù)學(xué)小故事2

通過定積分的物理意義,例變速直線運(yùn)動的路程為另一方面這段路程可表示為(v(t)和s(t)的關(guān)系)設(shè)某物體作直線運(yùn)動,已知速度的一個連續(xù)函數(shù),求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.是時間間隔一、問題的提出其中積分的有效、簡便的方法.找到一個計算定3

如果能從v(t)求出s(t),

這正是第四章已經(jīng)解決了的微分運(yùn)算的？定積分的計算有捷徑可尋下面進(jìn)行一般性的討論.運(yùn)算.定積分運(yùn)算就可化為減法啟發(fā)不定積分問題.逆運(yùn)算—4二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

注一定要分清函數(shù)的與自變量x積分變量t.設(shè)f(x)在[a,b]上可積,則對任一點5積分上限函數(shù)所以，我們只需討論積分上限函數(shù).6證定理1(原函數(shù)存在定理)因為從而下面討論積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性:7

積分中值定理定積分性質(zhì)3故8

定理1指出:積分聯(lián)結(jié)為一個有機(jī)的整體(2)連續(xù)函數(shù)f(x)一定有原函數(shù),就是f(x)的一個原函數(shù).(1)積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系,它把微分和所以它是微積分學(xué)基本定理.函數(shù)—微積分,9推論?10例

解例

解11例

解12例解這是型不定式,分析應(yīng)用L’Hospital法則13證例證明函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).14為單調(diào)增加函數(shù).故15證令為單調(diào)增加函數(shù).證明:只有一個解.例所以原方程只有一個解.或16

分析求必須先化掉積分號,只要對所給積分方程兩邊求導(dǎo)即可.解對所給積分方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得練習(xí)需先求出即)1(2xx+][f17定理2（Newton-Leibniz公式）證牛頓(英)1642―1727

萊布尼茨(德)1646―1716如果是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),則都是f(x)在[a,b]因為上的原函數(shù),故有C是待定常數(shù),即有三、Newton—Leibniz公式)(aFC-=18牛頓(Newton)—萊布尼茨(Leibniz)公式又稱為微積分基本公式，即特別,注微積分基本公式表明：（2）N-L公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題——不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系（3）求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.（4）為定積分的計算提供了一個普遍、有效而又簡便的方法，使得定積分的計算大為簡化。注意20例例例問題的關(guān)鍵是如何求一個函數(shù)的原函數(shù).例解怎么辦？去絕對值符號(如果是分段函數(shù)，則利用積分的性質(zhì)將積分分成幾個部分的和的形式.)2122例

原式解

面積例

解平面圖形的面積.所圍成的23例

解24例

解由圖形可知注如被積函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)分段分成幾個再用牛—萊公式.積分,25練習(xí)解如被積函數(shù)有絕對值,注再用去掉后,N--L公式.應(yīng)分區(qū)間將絕對值26思考題1問:對嗎?錯!分析其中的x對積分過程是常數(shù),而積分結(jié)果是x的函數(shù).若被積函數(shù)是積分上限(或下限)的函數(shù)中的注意變量x及積分變量t的函數(shù)時,應(yīng)注意x與t的區(qū)別.對x求導(dǎo)時,絕不能用積分上限(或下限)的變量x替換積分變量.27思考題1問:對嗎?故正確解答因為28思考題2已知兩曲線在點處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限解故所求切線方程為2002年考研數(shù)學(xué)(一)7分29練習(xí)12002年考研數(shù)學(xué)(二)填空3分

填空題解原式30練習(xí)2解原式=31確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0，故又由～，得練習(xí)332

微積分基本公式積分上限函數(shù)(變上限積分)

積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．四、小結(jié)注意其推論.33作業(yè)習(xí)題5-2(240頁)

4.5.6（雙數(shù)）.9.10.11.微積分基本公式34公主能嫁出去嗎？

很久以前有位國王，住在一座通風(fēng)良好的城堡里，他有三個既漂亮又聰明的公主。三位公主漸漸長大，到了該結(jié)婚的年齡，但是對她們感興趣的年輕人，沒有一個是有出息的，不是飆車族，就是身無一技之長的流浪漢。于是國王設(shè)計了一個題目，來考察她們的追求者，主要目的就是要難倒那些飆車族。他向全國臣民宣布：任何人只要能夠告訴他全國農(nóng)民的正確人數(shù)，就可以得到1000塊金幣的獎賞，并得以任娶一位公主為妻；若是答錯了，就得砍掉腦袋。（注：按照該國的法律規(guī)定，農(nóng)民的人口密度必須剛好等于每平方英里15/8人）

國王知道他這個問題不簡單，因為該國的領(lǐng)土面積很不好計算。怎么說呢？它是一個不規(guī)則四邊形，其中三邊是直線，長度分部是100英里、110英里和10英里，但是第四條邊界是沿著一條彎曲的河流，使得面積計算看起來幾乎不可能。數(shù)學(xué)小故事35

由于受到高額獎金與公主美色的誘惑，國內(nèi)許多年輕人都舍命前來一試，不過不幸全都猜錯了，當(dāng)然也都丟掉了腦袋。懸賞不到一年，全國飆車族已經(jīng)絕跡，國王非常滿意，但是公主們卻非常失望，他們埋怨道：“老爸！拜托你別再搞這個鬼名堂了吧。這么做實在是無聊透頂！我們的人民連微分都不會，何況積分呢？看樣子我們這輩子是永遠(yuǎn)嫁不出去啦！”

終于有一天，來了一個其貌不揚(yáng)的外國年輕人，他向國王說：“我特地前來領(lǐng)取獎金，順便娶走你的一位女兒?！眹趼犓f得這么有把握，啞然失笑道：“你確定你辦得到嗎？且先告訴我，在我的王國里一共有多少個農(nóng)民？”

“8125”,年輕人毫不遲疑地答道。頓時國王張口結(jié)舌，下巴往下掉了一英尺長。這是哪門子的魔術(shù)呀！居然被讓猜個正著。國王所不知道的是，這位看似靦腆的青年是周游各地的微積分教授，他騎著自行車來到此王國，路上聽說了國王的這些獎賞，即刻知道這是他有生以來能找到對象的最佳機(jī)會。36

他騎著自行車?yán)@了過境一周，在沿著界河前進(jìn)時，他發(fā)現(xiàn)河道正好是這條曲線，而其他邊界界皆為直線并相互垂直，這個王國的疆域如右圖所示：經(jīng)過如此這般的仔細(xì)分析后，他知道了王國的面積可由下面這個定積分計算出來：37

由于問題問的是農(nóng)民問題，所以還得把領(lǐng)土面積乘以農(nóng)民人口密度的15/8，于是他就求出了農(nóng)民人數(shù)：

這回國王倒是言而有信，馬上下令找來內(nèi)務(wù)大臣，