2024屆炎德英才大聯(lián)考高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆炎德英才大聯(lián)考高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則的值為（）A． B．1 C． D．2．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則()A． B． C． D．4．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．5．圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中間一個(gè)小正三角形拼成一個(gè)大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長(zhǎng)為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個(gè)正方體的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．獲7．在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則等于（）A． B． C． D．8．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”．現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么（）A．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)，該命題成立C．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)，該命題成立9．若，則t=（）A．32 B．23 C．14 D．1310．在中，，，，則B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不對(duì)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)n的值是_______．12．已知向量a=(2,-4)，b=(-3,-4)，則向量a與13．若、是方程的兩根，則__________.14．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)____15．如圖所示，梯形中，，于，，分別是，的中點(diǎn)，將四邊形沿折起（不與平面重合），以下結(jié)論①面；②；③．則不論折至何位置都有_______．16．已知，且，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x+π3)-4cos（1）求函數(shù)g(x)的解析式；（2）求函數(shù)g(x)在[π18．已知三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.19．某校舉行漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，為了了解本次比賽成績(jī)情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計(jì)1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績(jī)較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．20．已知點(diǎn)，，均在圓上.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相交于,兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在直線，使得恰好平分的外接圓？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知向量，，且.（1）求向量在上的投影；（2）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

化為齊次分式，分子分母同除以，化弦為切，即可求解.【題目詳解】.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查已知三角函數(shù)值求值，通過(guò)齊次分式化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】由題意不妨令棱長(zhǎng)為，如圖在底面內(nèi)的射影為的中心，故由勾股定理得過(guò)作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點(diǎn)與底面所成角的正弦值故答案選點(diǎn)睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過(guò)點(diǎn)作垂線構(gòu)造出線面角，然后計(jì)算出各邊長(zhǎng)度，在直角三角形中解三角形．3、C【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：成等比數(shù)列，計(jì)算得到，，，計(jì)算得到答案.【題目詳解】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：成等比數(shù)列，設(shè)則，；故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的前N項(xiàng)和，利用性質(zhì)成等比數(shù)列可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.4、B【解題分析】

根據(jù)母線長(zhǎng)和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，底面半徑；圓錐的高圓錐體積本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查錐體體積的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

設(shè)，可得，求得，在中，運(yùn)用余弦定理，解方程可得所求值．【題目詳解】設(shè)，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

利用正方體及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)以及題意解題，把“努”在正方體的后面，然后把平面展開(kāi)圖折成正方體，然后看“努”相對(duì)面．【題目詳解】解：這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，共有六個(gè)面，其中面“努”與面“有”相對(duì)，所以圖中“努”在正方體的后面，則這個(gè)正方體的前面是“有”．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方形相對(duì)兩個(gè)面上的文字問(wèn)題，同時(shí)考查空間想象能力．注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

由正弦定理將邊化角可求得，根據(jù)三角形為銳角三角形可求得.【題目詳解】由正弦定理得：，即故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理邊化角的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【題目詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立，則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”，由于當(dāng)時(shí)，該命題不成立，則當(dāng)時(shí)，該命題也不成立，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用，解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.9、B【解題分析】

先計(jì)算得到，再根據(jù)得到等式解得答案.【題目詳解】故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)于向量運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用及計(jì)算能力.10、C【解題分析】試題分析：由正弦定理得，得，結(jié)合得，故選C．考點(diǎn)：正弦定理.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q，由于是正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得a1，a5，利用通項(xiàng)公式可得q，an．利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化簡(jiǎn)即可得出．【題目詳解】數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，，a2?a4=81=a1a5，即解得，則公比，∴，則，∴，即，得，此時(shí)正整數(shù)的最大值為6.故答案為6.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、5【解題分析】

先求出a?b，再求【題目詳解】由題得a所以向量a與b夾角的余弦值為cosα=故答案為5【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)求兩個(gè)向量的夾角一般有兩種方法,方法一：cos<a,b>=a·bab,方法二：設(shè)a=(x1,y13、【解題分析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【題目詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．14、1．【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】解：由實(shí)數(shù)滿足作出可行域如圖，

由圖形可知：．

令，化為，

由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為1．

故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15、①②【解題分析】

根據(jù)題意作出折起后的幾何圖形，再根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識(shí)即可判斷各選項(xiàng)的真假．【題目詳解】作出折起后的幾何圖形，如圖所示：．因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以．而面，所以面，①正確；無(wú)論怎樣折起，始終有，所以面，即有，而，所以，②正確；折起后，面，面，且，故與是異面直線，③錯(cuò)誤．故答案為：①②．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識(shí)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】試題分析：由得：解方程組：得：或因?yàn)?，所以所以不合題意，舍去所以，所以，答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的三角函數(shù)公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)g(x)=sin【解題分析】

(1)首先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，然后確定平移變換之后的函數(shù)解析式即可；(2)結(jié)合(1)中函數(shù)的解析式確定函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】（1）f(x)==3(sin2xcos=3由題意得g(x)=sin[2(x+π化簡(jiǎn)得g(x)=sin(2x+π（2）∵π12可得π3∴-1當(dāng)x=π6時(shí)，函數(shù)當(dāng)x=π2時(shí)，函數(shù)g(x)有最小值【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換，三角函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）由題意結(jié)合正弦定理可得，據(jù)此可證得平面，從而可得題中的結(jié)論；（2）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的結(jié)論求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【題目詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得，，即設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(1)35，0.30;(2).【解題分析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學(xué)生數(shù)，利用列舉法寫(xiě)出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來(lái)自第四組的事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1、A2、A3，第4組的2位同學(xué)為B1、B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學(xué)至少有1位同學(xué)入選的概率為＝點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.20、（1）；（2）；（3）存在，和.【解題分析】

（1）根據(jù)圓心在，的中垂線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)求出的值，從而可得結(jié)果；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理可得結(jié)果；（3）首先驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)符合題意，然后斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，根據(jù)列方程求解即可.【題目詳解】解：（1）由題意可得：圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，解得，即圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）圓心到直線的距離為：，；（