吉林省吉林市普通高中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

吉林省吉林市普通高中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這三天的下雨情況．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.152．已知直線l過點(diǎn)且與直線垂直，則l的方程是（）A． B．C． D．3．下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是A． B．C． D．4．設(shè)向量，，若三點(diǎn)共線，則（）A． B． C． D．25．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．已知圓，過點(diǎn)作圓的最長弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．7．若直線過兩點(diǎn)，，則的斜率為（）A． B． C．2 D．8．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么（）A． B． C． D．9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．10．在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為,且則最大角為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.12．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時(shí)n的值為____________．13．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．14．若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.15．已知一組數(shù)據(jù)，，，的方差為，則這組數(shù)據(jù)，，，的方差為______．16．函數(shù)f（x）＝log2（x+1）的定義域?yàn)開____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．18．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期及值域；（2）求方程的解.19．已知數(shù)列中，，.(1)令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，數(shù)列滿足，對(duì)任意的，且成等比數(shù)列，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）記，證明：當(dāng)且時(shí)，21．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a3=9，a（1）求{a（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=1n(

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、932、812、393，共5組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為=0.1．故選B2、A【解題分析】

直線2x–3y+1=0的斜率為則直線l的斜率為所以直線l的方程為故選A3、A【解題分析】試題分析：對(duì)A，函數(shù)在上為增函數(shù)，符合要求；對(duì)B，在上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)C，為上的減函數(shù)，不符合題意；對(duì)D，在上為減函數(shù)，不符合題意.故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，容易題.4、A【解題分析】

利用向量共線的坐標(biāo)表示可得，解方程即可.【題目詳解】三點(diǎn)共線，，又，，，解得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量共線的坐標(biāo)表示，需掌握向量共線，坐標(biāo)滿足：，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出異面直線AE與BF所成角的余弦值．【題目詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），設(shè)異面直線AE與BF所成角的平面角為θ，則cosθ＝＝＝,∴異面直線AE與BF所成角的余弦值為．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計(jì)算斜率，并求和.【題目詳解】由題意得，直線經(jīng)過點(diǎn)和圓的圓心弦長最長，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時(shí)弦長最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡單題型.7、C【解題分析】

直接運(yùn)用斜率計(jì)算公式求解.【題目詳解】因?yàn)橹本€過兩點(diǎn)，，所以直線的斜率，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了斜率的計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、識(shí)記公式的能力.8、C【解題分析】試題分析：由題意得，，故，故選C．考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用.9、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)棱錐體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐三棱錐體積為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定幾何體為三棱錐，且通過三視圖確定三棱錐的底面和高.10、C【解題分析】

根據(jù)正弦定理可得三邊的比例關(guān)系；由大邊對(duì)大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，從而求得角的大小.【題目詳解】由正弦定理可得：設(shè)，，最大為最大角本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角形中大邊對(duì)大角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對(duì)值不等式，對(duì)分成三種情況，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【題目詳解】由于，故可化簡得恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，可得，，可得且，可得，即，解得.當(dāng)時(shí)，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.12、7【解題分析】

利用，得的值【題目詳解】因?yàn)?，，所以?.故答案為：7【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)及單調(diào)性，找到與1的分界是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題13、1【解題分析】因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為1．點(diǎn)睛：本題考查創(chuàng)新意識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識(shí)較多，要熟練掌握各方面的知識(shí)與方法，才能正確求解．14、－14【解題分析】

由不等式的解集求出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，從而可得結(jié)果.【題目詳解】不等式的解集是，所以對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關(guān)系，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于簡單題.15、【解題分析】

利用方差的性質(zhì)直接求解．【題目詳解】一組數(shù)據(jù)，，，的方差為5，這組數(shù)據(jù)，，，的方差為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的性質(zhì)應(yīng)用。若的方差為，則的方差為。16、{x|x＞﹣1}【解題分析】

利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于，即可得解.【題目詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?解得：，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，考查學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)定義的理解，是基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不存在（3）1【解題分析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因?yàn)?，所?故，整理，得，即．因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，故，因此．則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以.………………5分（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：假設(shè)存在，使得，則．整理，得，①顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．故滿足條件的正整數(shù)不存在．……1分（Ⅲ），不等式可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.所以，即當(dāng)增大時(shí)，也增大．要使不等式對(duì)于任意的恒成立，只需即可．因?yàn)椋?即.所以，正整數(shù)的最大值為1．………14分18、(1)最小正周期為,值域?yàn)椋?2),或,【解題分析】

先用降冪公式,再用輔助角公式將化簡成的形式,再求最小正周期,值域與的解.【題目詳解】(1)故最小正周期為,又,故,所以值域?yàn)?故最小正周期為,值域?yàn)?(2)由(1),故得化簡得,所以或,.即,或,.故方程的解為：,或,【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)公式,一般方法是先將三角函數(shù)化簡為的形式,再根據(jù)題意求解相關(guān)內(nèi)容.19、（1）見解析（2）（3）【解題分析】

(1)計(jì)算，得證數(shù)列為等比數(shù)列.(2)先求出的通項(xiàng)公式，再計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)計(jì)算，根據(jù)錯(cuò)位相減法和分組求和法得到答案.【題目詳解】(1)，，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，由，得數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(3)由(2)知，記.有.兩式作差得，得，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的證明，數(shù)列通項(xiàng)公式，分組求和，錯(cuò)位相減法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、（1）.；.（2）證明見解析.【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，由，兩式相減得，用等差中項(xiàng)確定是等差數(shù)列再求通項(xiàng)公式.令，根據(jù)成等比數(shù)列，求得，從而得到（2）由（1）知根據(jù)證明的結(jié)構(gòu)使用放縮法，得到，再相消法求和.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，所以是等差數(shù)列.又因?yàn)椋?，所以，所?.令，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，又因?yàn)?